苏科版九级上直线与圆的位置关系专题练习(三)含答案

1、1（2016大连）如图，AB是O的直径，点C、D在O上，A=2BCD，点E在AB的延长线上，AED=ABC（1）求证：DE与O相切；（2）若BF=2，DF=，求O的半径2（2016锦州）如图，已知ABC，ACB=90°，ACBC，点D为AB的中点，过点D作BC的垂线，垂足为点F，过点A、C、D作O交BC于点E，连接CD、DE（1）求证：DF为O的切线；（2）若AC=3，BC=9，求DE的长3（2016兰州）如图，ABC是O的内接三角形，AB是O的直径，ODAB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且DE=DC（1）求证：CF是O的切线；（2）若O的半径为5，BC=，求DE的长4（201

2、6宿迁）如图1，在ABC中，点D在边BC上，ABC：ACB：ADB=1：2：3，O是ABD的外接圆（1）求证：AC是O的切线；（2）当BD是O的直径时（如图2），求CAD的度数5（2016菏泽）如图，直角ABC内接于O，点D是直角ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作ECP=AED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交O于点F（1）求证：PC是O的切线；（2）若PC=3，PF=1，求AB的长6（2016荆州）如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长A

3、F交直线CD于点H（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=63，求EF和半径OA的长7（2016本溪）如图，ABC中，AB=AC，点E是线段BC延长线上一点，EDAB，垂足为D，ED交线段AC于点F，点O在线段EF上，O经过C、E两点，交ED于点G（1）求证：AC是O的切线；（2）若E=30°，AD=1，BD=5，求O的半径8（2016茂名）如图，在ABC中，C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的O与BC相交于点E，连接EF，过F作FGBC于点G，其中OFE=A（1）求证：BC是O的切线；（2）若sinB=，O的半径为r，求EHG的面积（用含r的代数式表示

4、）9（2016宜宾）如图1，在APE中，PAE=90°，PO是APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G（1）求证：直线PE是O的切线；（2）在图2中，设PE与O相切于点H，连结AH，点D是O的劣弧上一点，过点D作O的切线，交PA于点B，交PE于点C，已知PBC的周长为4，tanEAH=，求EH的长10（2016西宁）如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CDA=CBD（1）求证：CD是O的切线；（2）过点B作O的切线交CD的延长线于点E，BC=6，求BE的长11（2016凉山州）阅读下列材料并回答问题：材料1：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么

5、三角形的面积为 古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名他在度量一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称海伦公式我国南宋数学家秦九韶（约1202约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式： 下面我们对公式进行变形：=这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称为海伦秦九韶公式问题：如图，在ABC中，AB=13，BC=12，AC=7，O内切于ABC，切点分别是D、E、F（1）求ABC的面积；（2）求O的半径12（2016桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作度量论一书中给出了

6、计算公式海伦公式S=（其中a，b，c是三角形的三边长，p=，S为三角形的面积），并给出了证明例如：在ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：a=3，b=4，c=5p=6S=6事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决如图，在ABC中，BC=5，AC=6，AB=9（1）用海伦公式求ABC的面积；（2）求ABC的内切圆半径r13已知：AB为O的直径，P为AB延长线上的任意一点，过点P作O的切线，切点为C，APC的平分线PD与AC交于点D（1）如图1，若CPA恰好等于30°，求CDP的度数；（2）如图2，若

7、点P位于（1）中不同的位置，（1）的结论是否仍然成立？说明你的理由14如图，已知AB是O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作O的切线与CD长线交于点F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3求：（1）AB的长度；（2）tanECB的值15如图，点P在y轴上，P交x轴于A、B两点，连结BP并延长交P于C，过点C的直线y=2x+b交x轴于D，且P的半径为，AB=4（1）求点B、P、C的坐标；（2）求证：CD是P的切线16已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DFAC，垂足为F，过点F作FGAB，垂足为G，连接GD，（1）求证：DF与O的位置关系并

8、证明；（2）求FG的长17如图一，AB是O的直径，AC是弦，直线EF和O相切于点C，ADEF，垂足为D（1）求证：CAD=BAC；（2）如图二，若把直线EF向上移动，使得EF与O相交于G，C两点（点C在点G的右侧），连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与CAD相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由18完成下列各题：（1）如图，在矩形ABCD中，AF=BE，求证：DE=CF；（2）如图，AB是O的直径，CA与O相切于点A，连接CO交O于点D，CO的延长线交O于点E，连接BE，BD，ABD=25°，求C的度数19（2016扬州）如图1，以ABC的边

9、AB为直径的O交边BC于点E，过点E作O的切线交AC于点D，且EDAC（1）试判断ABC的形状，并说明理由；（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，C=75°，CD=2，求O的半径和BF的长20如图，在ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，ADBC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）（1）求x为何值时，PQAC；（2）设PQD的面积为y（cm2），当0x2时，求y与x的函数关系式；（3）当0x2时，求证：AD平分PQD的面积；（4）探索以PQ为直径的圆

10、与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）21（2015德阳）如图，已知BC是O的弦，A是O外一点，ABC为正三角形，D为BC的中点，M为O上一点，并且BMC=60°（1）求证：AB是O的切线；（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且EDF=120°，O的半径为2，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由22（2015厦门）已知四边形ABCD内接于O，ADC=90°，DCB90°，对角线AC平分DCB，延长DA，CB相交于点E（1）如图1，EB=AD，求证：ABE是等腰直角三角形；（2）如图2

11、，连接OE，过点E作直线EF，使得OEF=30°，当ACE30°时，判断直线EF与O的位置关系，并说明理由23如图，在ABC中，AB=AC，A=30°，以AB为直径的O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交O于点P，连接EP、CP、OP（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求BOP的度数；（3）求证：CP是O的切线；如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证AOGCPG”；小强说：“过点C作CHAB于点H，证

12、四边形CHOP是矩形”24等腰直角ABC和O如图放置，已知AB=BC=1，ABC=90°，O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5现ABC以每秒2个单位的速度向右移动，同时ABC的边长AB、BC又以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大（1）当ABC的边（BC边除外）与圆第一次相切时，点B移动了多少距离？（2）若在ABC移动的同时，O也以每秒1个单位的速度向右移动，则ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻，ABC与O的公共部分等于O的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由25如图1在

13、平面直角坐标系中，O1与x轴切于A（3，0）与y轴交于B、C两点，BC=8，连AB（1）求证：ABO1=ABO；（2）求AB的长；（3）如图2，过A、B两点作O2与y轴的正半轴交于M，与O1B的延长线交于N，当O2的大小变化时，得出下列两个结论：BMBN的值不变；BM+BN的值不变其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论并证明26如图，在ABC中，ACB=90°，ABC=30°，BC=6cm，点D、E从点C同时出发，分别以1cm/s和2cm/s的速度沿着射线CB向右移动，以DE为一边在直线BC的上方作等边DEF，连接CF，设点D、E运动的时间为t秒（1）DEF的边长为（用含

14、有t的代数式表示），当t=秒时，点F落在AB上；（2）t为何值时，以点A为圆心，AF为半径的圆与CDF的边所在的直线相切？（3）设点F关于直线AB的对称点为G，在DEF运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以A、C、E、G为顶点的四边形为梯形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由27在半径为4的O中，点C是以AB为直径的半圆的中点，ODAC，垂足为D，点E是射线AB上的任意一点，DFAB，DF与CE相交于点F，设EF=x，DF=y（1）如图1，当点E在射线OB上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（2）如图2，当点F在O上时，求线段DF的长；（3）如果以点E为圆心、EF为半径

15、的圆与O相切，求线段DF的长28如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的O的半径为1，直线l：y=x与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（4，1），B与x轴相切于点M（1）求点A的坐标及CAO的度数；（2）B以每秒1个单位长度的速度沿想x轴负方向平移，同时，直线l绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转，当B第一次与O相切时，请判断直线l与B的位置关系，并说明理由：（3）如图2，过A、O、C三点作O1，点E是O1上任意一点，连接EC、EA、EO若点E在劣弧OC上，试说明：EAEC=EO；若点E在优弧OAC上，的结论中EC、EA、EO的关系式是否仍然成立？若成立，请你说

16、明理由？若不成立，请你直接写出正确的结论29在RtABC中，A=90°，AB=AC=4，O是BC边上的点且O与AB、AC都相切，切点分别为D、E（1）求O的半径；（2）如果F为上的一个动点（不与D、E），过点F作O的切线分别与边AB、AC相交于G、H，连接OG、OH，有两个结论：四边形BCHG的周长不变，GOH的度数不变已知这两个结论只有一个正确，找出正确的结论并证明；（3）探究：在（2）的条件下，设BG=x，CH=y，试问y与x之间满足怎样的函数关系，写出你的探究过程并确定自变量x的取值范围，并说明当x=y时F点的位置参考答案与解析1（2016大连）如图，AB是O的直径，点C、D在

17、O上，A=2BCD，点E在AB的延长线上，AED=ABC（1）求证：DE与O相切；（2）若BF=2，DF=，求O的半径【分析】（1）连接OD，由AB是O的直径，得到ACB=90°，求得A+ABC=90°，等量代换得到BOD=A，推出ODE=90°，即可得到结论；（2）连接BD，过D作DHBF于H，由弦且角定理得到BDE=BCD，推出ACF与FDB都是等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得到FH=BH=BF=1，则FH=1，根据勾股定理得到HD=3，然后根据勾股定理列方程即可得到结论【解答】（1）证明：连接OD，AB是O的直径，ACB=90°，A+ABC=

18、90°，BOD=2BCD，A=2BCD，BOD=A，AED=ABC，BOD+AED=90°，ODE=90°，即ODDE，DE与O相切；（2）解：连接BD，过D作DHBF于H，DE与O相切，BDE=BCD，AED=ABC，AFC=DBF，AFC=DFB，ACF与FDB都是等腰三角形，FH=BH=BF=1，则FH=1，HD=3，在RtODH中，OH2+DH2=OD2，即（OD1）2+32=OD2，OD=5，O的半径是5【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键2（2016锦州）如图，已知ABC，ACB

19、=90°，ACBC，点D为AB的中点，过点D作BC的垂线，垂足为点F，过点A、C、D作O交BC于点E，连接CD、DE（1）求证：DF为O的切线；（2）若AC=3，BC=9，求DE的长【分析】（1）连接DO并延长交AC于M，证出，由垂径定理得出DMAC，证出DMBC，由已知得出DFDO，即可得出DF为O的切线；（2）由（1）得出DF=AC=1.5，CF=BF=BC=4.5，作ONCE于N，连接OA，由垂径定理得出CN=EN=CE，AM=CM=ON=DF=1.5，设O的半径为r，在AOM中，由勾股定理求出半径，得出CN=EN=OM=2，CE=4，求出EF=4.54=0.5，再由勾股定理求

20、出DE即可【解答】（1）证明：连接DO并延长交AC于M，如图1所示：ACB=90°，ACBC，点D为AB的中点，CD=AB=AD，DMAC，DMBC，DFBC，DFDO，DF为O的切线；（2）解：由（1）得：ACDF，点D为AB的中点，DF=AC=1.5，CF=BF=BC=4.5，作ONCE于N，连接OA，如图2所示：则CN=EN=CE，AM=CM=ON=DF=1.5，设O的半径为r，在AOM中，由勾股定理得：r2+（4.5r）2=r2，解得：r=2.5，2.5=2，CE=4，4=0.5，DE=【点评】本题考查了切线的判定、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理，垂径定理等知识；熟练掌

21、握切线的判定，由勾股定理求出半径是解决问题（2）的关键3（2016兰州）如图，ABC是O的内接三角形，AB是O的直径，ODAB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且DE=DC（1）求证：CF是O的切线；（2）若O的半径为5，BC=，求DE的长【分析】（1）连接OC，欲证明CF是O的切线，只要证明OCF=90°（2）作DHAC于H，由AEOABC，得=求出AE，EC，再根据sinA=sinEDH，得到=，求出DE即可【解答】证明：连接OC，OA=OC，A=OCA，ODAB，A+AEO=90°，DE=DC，DEC=DCE，AEO=DEC，AEO=DCE，OCE+DCE=90&#

22、176;，OCF=90°，OCCF，CF是O切线（2）作DHAC于H，则EDH=A，DE=DC，EH=HC=EC，O的半径为5，BC=，AB=10，AC=3，AEOABC，=，AE=，EC=ACAE=，EH=EC=，EDH=A，sinA=sinEDH，=，DE=，【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形，属于中考常考题型4（2016宿迁）如图1，在ABC中，点D在边BC上，ABC：ACB：ADB=1：2：3，O是ABD的外接圆（1）求证：AC是O的切线；（2）当BD是O的直径时（如图2），求CAD的度数【分析】（1）连

23、接AO，延长AO交O于点E，则AE为O的直径，连接DE，由已知条件得出ABC=CAD，由圆周角定理得出ADE=90°，证出AED=ABC=CAD，求出EAAC，即可得出结论；（2）由圆周角定理得出BAD=90°，由角的关系和已知条件得出ABC=22.5°，由（1）知：ABC=CAD，即可得出结果【解答】（1）证明：连接AO，延长AO交O于点E，则AE为O的直径，连接DE，如图所示：ABC：ACB：ADB=1：2：3，ADB=ACB+CAD，ABC=CAD，AE为O的直径，ADE=90°，EAD=90°AED，AED=ABD，AED=ABC=CA

24、D，EAD=90°CAD，即EAD+CAD=90°，EAAC，AC是O的切线；（2）解：BD是O的直径，BAD=90°，ABC+ADB=90°，ABC：ACB：ADB=1：2：3，4ABC=90°，ABC=22.5°，由（1）知：ABC=CAD，CAD=22.5°【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、角的互余关系；熟练掌握切线的判定方法，由圆周角定理得出直角是解决问题的关键5（2016菏泽）如图，直角ABC内接于O，点D是直角ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作ECP=AED，CP交DE的延长线

25、于点P，连结PO交O于点F（1）求证：PC是O的切线；（2）若PC=3，PF=1，求AB的长【分析】（1）连接OC，欲证明PC是O的切线，只要证明PCOC即可（2）延长PO交圆于G点，由切割线定理求出PG即可解决问题【解答】解：（1）如图，连接OC，PDAB，ADE=90°，ECP=AED，又EAD=ACO，PCO=ECP+ACO=AED+EAD=90°，PCOC，PC是O切线（2）延长PO交圆于G点，PF×PG=PC2，PC=3，PF=1，PG=9，FG=91=8，AB=FG=8【点评】本题考查切线的判定、切割线定理、等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练运用这

26、些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型6（2016荆州）如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=63，求EF和半径OA的长【分析】（1）连接OB，根据已知条件得到AOB是等边三角形，得到AOB=60°，根据圆周角定理得到AOF=BOF=30°，根据平行线的性质得到OCCD，由切线的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到DBC=EAO=60°，解直角三角形得

27、到BD=BC=AB，推出AE=AD，根据相似三角形的性质得到，求得EF=2，根据直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：（1）连接OB，OA=OB=OC，四边形OABC是平行四边形，AB=OC，AOB是等边三角形，AOB=60°，FAD=15°，BOF=30°，AOF=BOF=30°，OFAB，CDOF，CDAD，ADOC，OCCD，CD是半圆O的切线；（2）BCOA，DBC=EAO=60°，BD=BC=AB，AE=AD，EFDH，AEFADH，DH=63，EF=2，OF=OA，OE=OA（2），AOE=30°，=，解得：OA=2【点

28、评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接OB构造等边三角形是解题的关键7（2016本溪）如图，ABC中，AB=AC，点E是线段BC延长线上一点，EDAB，垂足为D，ED交线段AC于点F，点O在线段EF上，O经过C、E两点，交ED于点G（1）求证：AC是O的切线；（2）若E=30°，AD=1，BD=5，求O的半径【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到B=ACB，OCE=E，推出ACO=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到CFO=30°，解直角三角形得到DF=，EF=3OE=4，即可得到结论【

29、解答】（1）证明：AB=AC，B=ACB，OC=OE，OCE=E，DEAB，BDE=90°，B+E=90°，ACB+OCE=90°，ACO=90°，ACOC，AC是O的切线；（2）解：E=30°，OCE=30°，FCE=120°，CFO=30°，AFD=CFO=30°，DF=，BD=5，DE=5，OF=2OC，EF=3OE=4，OE=，即O的半径=【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键8（2016茂名）如图，在ABC中，C=90°，D

30、、F是AB边上的两点，以DF为直径的O与BC相交于点E，连接EF，过F作FGBC于点G，其中OFE=A（1）求证：BC是O的切线；（2）若sinB=，O的半径为r，求EHG的面积（用含r的代数式表示）【分析】（1）首先连接OE，由在ABC中，C=90°，FGBC，可得FGAC，又由OFE=A，易得EF平分BFG，继而证得OEFG，证得OEBC，则可得BC是O的切线；（2）由在OBE中，sinB=，O的半径为r，可求得OB，BE的长，然后由在BFG中，求得BG，FG的长，则可求得EG的长，易证得EGHFGE，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案【解答】（1）证明：连接OE，

31、在ABC中，C=90°，FGBC，BGF=C=90°，FGAC，OFG=A，OFE=OFG，OFE=EFG，OE=OF，OFE=OEF，OEF=EFG，OEFG，OEBC，BC是O的切线；（2）解：在RtOBE中，sinB=，O的半径为r，OB=r，BE=r，BF=OB+OF=r，FG=BFsinB=r，BG=r，EG=BGBE=r，SFGE=EGFG=r2，EG：FG=1：2，BC是切线，GEH=EFG，EGH=FGE，EGHFGE，=（）2=，SEHG=SFGE=r2【点评】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识注意准确作出辅助线是解此题的关键9

32、（2016宜宾）如图1，在APE中，PAE=90°，PO是APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G（1）求证：直线PE是O的切线；（2）在图2中，设PE与O相切于点H，连结AH，点D是O的劣弧上一点，过点D作O的切线，交PA于点B，交PE于点C，已知PBC的周长为4，tanEAH=，求EH的长【分析】（1）作OHPE，由PO是APE的角平分线，得到APO=EPO，判断出PAOPHO，得到OH=OA，用“圆心到直线的距离等于半径”来得出直线PE是O的切线；（2）先利用切线的性质和PBC的周长为4求出PA=2，再用三角函数求出OA，AG，然后用三角形相似，得到EH=2EG

33、，AE=2EH，用勾股定理求出EG，最后用切割线定理即可【解答】证明：（1）如图1，作OHPE，OHP=90°，PAE=90，OHP=OAP，PO是APE的角平分线，APO=EPO，在PAO和PHO中，PAOPHO，OH=OA，OA是O的半径，OH是O的半径，OHPE，直线PE是O的切线（2）如图2，连接GH，BC，PA，PB是O的切线，DB=DA，DC=CH，PBC的周长为4，PB+PC+BC=4，PB+PC+DB+DC=4，PB+AB+PC+CH=4，PA+PH=4，PA，PH是O的切线，PA=PH，PA=2，由（1）得，PAOPHO，OFA=90°，EAH+AOP=9

34、0°，OAP=90°，AOP+APO=90°，APO=EAH，tanEAH=，tanAPO=，OA=PA=1，AG=2，AHG=90°，tanEAH=，EGHEHA，=，EH=2EG，AE=2EH，AE=4EG，AE=EG+AG，EG+AG=4EG，EG=AG=，EH是O的切线，EGA是O的割线，EH2=EG×EA=EG×（EG+AG）=×（+2）=，EH=【点评】此题是切线的性质和判定题，主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角函数，解本题的关键是用三角函数求出OA10（2016西宁）如图，D为O

35、上一点，点C在直径BA的延长线上，且CDA=CBD（1）求证：CD是O的切线；（2）过点B作O的切线交CD的延长线于点E，BC=6，求BE的长【分析】（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到ADO+ODB=90°，而CDA=CBD，CBD=ODB，于是CDA+ADO=90°；（2）根据已知条件得到CDACBD由相似三角形的性质得到，求得CD=4，由切线的性质得到BE=DE，BEBC根据勾股定理列方程即可得到结论【解答】（1）证明：连结OD，OB=OD，OBD=BDO，CDA=CBD，CDA=ODB，又AB是O的直径，ADB=90°，ADO+ODB=90°，

36、ADO+CDA=90°，即CDO=90°，ODCD，OD是O半径，CD是O的切线（2）解：C=C，CDA=CBDCDACBD，BC=6，CD=4，CE，BE是O的切线BE=DE，BEBCBE2+BC2=EC2，即BE2+62=（4+BE）2解得：BE=【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质11（2016凉山州）阅读下列材料并回答问题：材料1：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为 古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名

37、他在度量一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称海伦公式我国南宋数学家秦九韶（约1202约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式： 下面我们对公式进行变形：=这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称为海伦秦九韶公式问题：如图，在ABC中，AB=13，BC=12，AC=7，O内切于ABC，切点分别是D、E、F（1）求ABC的面积；（2）求O的半径【分析】（1）由已知ABC的三边a=3，b=12，c=7，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦秦九韶公式求解即可；（2）由三角形的面积=lr，计算即可【解答】解：（1）AB=13，BC=12，AC=7，p=16，=24；（2

38、）ABC的周长l=AB+BC+AC=32，S=lr=24，r=【点评】此题考查了三角形面积的求解方法此题难度不大，注意选择适当的求解方法是关键12（2016桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作度量论一书中给出了计算公式海伦公式S=（其中a，b，c是三角形的三边长，p=，S为三角形的面积），并给出了证明例如：在ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：a=3，b=4，c=5p=6S=6事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决如图，在ABC中，BC=5，AC

39、=6，AB=9（1）用海伦公式求ABC的面积；（2）求ABC的内切圆半径r【分析】（1）先根据BC、AC、AB的长求出P，再代入到公式S=即可求得S的值；（2）根据公式S=r（AC+BC+AB），代入可得关于r的方程，解方程得r的值【解答】解：（1）BC=5，AC=6，AB=9，p=10，S=10；故ABC的面积10；（2）S=r（AC+BC+AB），10=r（5+6+9），解得：r=，故ABC的内切圆半径r=【点评】本题主要三角形的内切圆与内心、二次根式的应用，熟练掌握三角形的面积与内切圆半径间的公式是解题的关键13已知：AB为O的直径，P为AB延长线上的任意一点，过点P作O的切线，切点为C

40、，APC的平分线PD与AC交于点D（1）如图1，若CPA恰好等于30°，求CDP的度数；（2）如图2，若点P位于（1）中不同的位置，（1）的结论是否仍然成立？说明你的理由【分析】（1）连接OC，则OCP=90°，根据CPA=30°，求得COP，再由OA=OC，得出A=ACO，由PD平分APC，即可得出CDP=45°（2）由PC是O的切线，得OCP=90°再根据PD是CPA的平分线，得APC=2APD根据OA=OC，可得出A=ACO，即COP=2A，在RtOCP中，OCP=90°，则COP+OPC=90°，从而得出CDP=A+

41、APD=45°所以CDP的大小不发生变化【解答】解：（1）连接OC，PC是O的切线，OCPCOCP=90°CPA=30°，COP=60°OA=OC，A=ACO=30°PD平分APC，APD=15°，CDP=A+APD=45°（2）CDP的大小不发生变化PC是O的切线，OCP=90°PD是CPA的平分线，APC=2APDOA=OC，A=ACO，COP=2A，在RtOCP中，OCP=90°，COP+OPC=90°，2（A+APD）=90°，CDP=A+APD=45°即CDP的大小

42、不发生变化【点评】本题考查了切线的性质以及角平分线的性质、等腰三角形的性质，要注意各个知识点的衔接14如图，已知AB是O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作O的切线与CD长线交于点F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3求：（1）AB的长度；（2）tanECB的值【分析】（1）设CE=6k，ED=5k，AE=2a，BE=3a，过点O作OHCD垂足为H，则CH=HD，由OHEFAE，得=求出EF=，由CEED=BEAE求出k、a关系，得EF=10k，得到DE=DC，得DEA、BCE都是等腰三角形，在RTABC中利用勾股定理即可解决问题（2）根据tanECB=tanAEF=，求出AF

43、、AE即可【解答】解：（1）设CE=6k，ED=5k，AE=2a，BE=3a，过点O作OHCD垂足为H，则CH=HD，EH=0.5k，OE=，AF是切线，FAE=90°=OHE，OEH=FEA，OHEFAE，=即=，EF=，CEED=BEAE，6k5k=3a2a，a2=5k2，EF=10k，点D是EF中点，AD=ED=DF=5k，DEA、BCE都是等腰三角形，BC=BE=3a，AB是直径，ACB=90°，BC2+AC2=AB2，（3a）2+82=（5a）2，a=2，AB=5a=10（2）a=2，k=，AF2=DFFC=80k2=64，AF=8，tanECB=tanAEF=2

44、【点评】本题考查切线的性质、垂径定理、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设两个参数，想办法求出EF的长，发现点D是EF中点这个突破口，题目比较难，属于中考压轴题15如图，点P在y轴上，P交x轴于A、B两点，连结BP并延长交P于C，过点C的直线y=2x+b交x轴于D，且P的半径为，AB=4（1）求点B、P、C的坐标；（2）求证：CD是P的切线【分析】（1）连结AC，由于BC是圆P的直径，那么CAB=90°解RtABC，得出AC=2，由垂径定理得出OB=OA=2，根据三角形中位线定理得出OP=AC=1，从而求出点B、P、C的坐标；（2）将C（2，2）代

45、入y=2x+b，利用待定系数法求出过点C的直线解析式为y=2x+6，得到D（3，0），AD=1再利用SAS证明ADCOPB，得出DCA=B，然后证明BCD=90°，根据切线的判定定理证明CD是P的切线【解答】（1）解：连结ACBC是P的直径，CAB=90°在RtABC中，CAB=90°，BC=2，AB=4，AC=2，OPAB，OB=OA=2，OP=AC=1，P（0，1），B（2，0），C（2，2）；（2）证明：将C（2，2）代入y=2x+b，得4+b=2，解得b=6y=2x+6，当y=0时，则x=3，D（3，0），AD=1在ADC和OPB中，ADCOPB（SAS）

46、，DCA=BB+ACB=90°，DCA+ACB=90°，即BCD=90°，CD是P的切线【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可16已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DFAC，垂足为F，过点F作FGAB，垂足为G，连接GD，（1）求证：DF与O的位置关系并证明；（2）求FG的长【分析】（1）连接OD，证ODF=90°即可（2）利用ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用FH

47、C中的60°的三角函数值可求得FG长【解答】（1）证明：连接OD，以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，B=C=ODB=60°，ODAC，DFAC，CFD=ODF=90°，即ODDF，OD是以边AB为直径的半圆的半径，DF是圆O的切线；（2）OB=OD=AB=6，且B=60°，BD=OB=OD=6，CD=BCBD=ABBD=126=6，在RtCFD中，C=60°，CDF=30°，CF=CD=×6=3，AF=ACCF=123=9，FGAB，FGA=90°，FAG=60°，FG=AFsin6

48、0°=【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系、等边三角形的性质、垂径定理等知识，判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，那么证直线和半径的夹角为90°即可；注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长17如图一，AB是O的直径，AC是弦，直线EF和O相切于点C，ADEF，垂足为D（1）求证：CAD=BAC；（2）如图二，若把直线EF向上移动，使得EF与O相交于G，C两点（点C在点G的右侧），连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与CAD相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由【分析】（1）连接OC，根据切线的性质定理以及等角的余角

49、相等即可证明；（2）构造直径所对的圆周角，根据等弧所对的圆周角相等以及等角的余角相等，发现BAC=GAD，再根据等式的性质即可证明BAG=DAC【解答】（1）证明：如图一，连接OC，则OCEF，且OC=OA，易得OCA=OACADEF，OCADOCA=CAD，CAD=OAC即CAD=BAC（2）解：与CAD相等的角是BAG证明如下：如图二，连接BG四边形ACGB是O的内接四边形，ABG+ACG=180°D，C，G共线，ACD+ACG=180°ACD=ABGAB是O的直径，BAG+ABG=90°ADEFCAD+ACD=90°CAD=BAG【点评】此题运用了

50、切线的性质定理、圆周角定理的推论注意根据等角的余角相等是证明角相等的一种常用方法18完成下列各题：（1）如图，在矩形ABCD中，AF=BE，求证：DE=CF；（2）如图，AB是O的直径，CA与O相切于点A，连接CO交O于点D，CO的延长线交O于点E，连接BE，BD，ABD=25°，求C的度数【分析】（1）要证明DE=CF，只要证明ADEBCF即可根据全等三角形的判定定理，可以得出结论（2）先求出EBO，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可求出AOC，从而求出C的度数【解答】证明：（1）矩形ABCD，A=B、AD=BC，AF=BE，AE=BF，在ADE与BCF中，ADEBCF（S

51、AS）DE=CF；（2）AC是O的切线，CAO=90°又AOC=2ABD=50°，C=180°AOCCAO=180°50°90°=40°【点评】本题考查了矩形的性质，各内角为90°，对边相等根据三角形全等的判定定理求出全等三角形，是证明线段相等的常用方法19（2016扬州）如图1，以ABC的边AB为直径的O交边BC于点E，过点E作O的切线交AC于点D，且EDAC（1）试判断ABC的形状，并说明理由；（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，C=75°，CD=2，求O的半径和BF的长【分析】（1）连接

52、OE，根据切线性质得OEDE，与已知中的EDAC得平行，由此得1=C，再根据同圆的半径相等得1=B，可得出三角形为等腰三角形；（2）通过作辅助线构建矩形OGDE，再设与半径有关系的边OG=x，通过AB=AC列等量关系式，可求得结论【解答】解：（1）ABC是等腰三角形，理由是：如图1，连接OE，DE是O的切线，OEDE，EDAC，ACOE，1=C，OB=OE，1=B，B=C，ABC是等腰三角形；（2）如图2，过点O作OGAC，垂足为G，则得四边形OGDE是矩形，ABC是等腰三角形，B=C=75°，A=180°75°75°=30°，设OG=x，则OA=OB=OE=2x，AG=x，DG=0E=2x，根据AC=AB得：4x=x+2x+2，x=1，0E=OB=2，在直角OEF中，EOF=A=30°，cos30=，OF=2÷=，BF=2，O的半径为2【点评】本题考查了切线的性质，由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，由此得出平行和角的关系，根据两个角相等的三角形是等腰三角形可得ABC是等腰三角形