高数 对面积的曲面积分

1、19.3 曲面积分曲面积分9.3.1 对面积的曲面积分（第一类曲面积分）对面积的曲面积分（第一类曲面积分）9.3.3 两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系9.3.2 对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）2oxyz引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度),(zyx类似求曲线形构件质量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk “分割，近似，求和，取极限” 的方法,求质量 M.其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 9.3.1 对面积的曲面积分（第一类曲面积分）对面积的曲面积分（第一类曲面

2、积分）3定义定义9.3.1 设设 为光滑曲面为光滑曲面, ,“乘积乘积和式极限和式极限” ” kkkkSf ),( nk 10lim 都存在都存在, ,的的曲面积分曲面积分 Szyxfd),(其中其中 叫做被积叫做被积 是定义在是定义在 上的一上的一 个有界个有界函数函数, ,记作记作或或第一类曲面积分第一类曲面积分。若对若对 做做任意分割任意分割和局部区域和局部区域任意取点任意取点, , 则称此极限为函数则称此极限为函数 在曲面在曲面 上上对面积对面积函数函数, , 叫做积分曲面叫做积分曲面,dS,dS叫做曲面面积元素。叫做曲面面积元素。),(zyxf),(zyxf),(zyxf4( , ,

3、 )dMx y zS 据此定义据此定义, , 曲面形构件的质量为曲面形构件的质量为曲面面积为曲面面积为注：注：12,、则有：则有： Szyxfd),( 1d),(Szyxf 2d),(Szyxf若若 是分片光滑的是分片光滑的, ,例如分成两片光滑曲例如分成两片光滑曲面面dSS 5则对面积的曲面积分存在。则对面积的曲面积分存在。),(zyxf若若在光滑曲面在光滑曲面 上上连续连续, , 积分的存在性积分的存在性: : 6-与对弧长的曲线积分性质类似与对弧长的曲线积分性质类似（1 1）关于被积函数的线性性质）关于被积函数的线性性质（2 2）关于积分曲面的可加性）关于积分曲面的可加性（3 3）关于被

4、积函数的不等式性质）关于被积函数的不等式性质（4 4）估值定理）估值定理（5 5）积分中值定理）积分中值定理对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质7( , , ), ,x y zx y z 设设曲曲面面 的的面面密密度度为为，质质心心补补充充坐坐标标为为( ( ) )，则则：( , , )( , , )xx y z dSxx y z dS 0( , , )=x y z 若若，则则：xdSxdS ydSydS zdSzdS ( , , )( , , )yx y z dSyx y z dS ( , , )( , , )zx y z dSzx y z dS dSA 而而其其中中分分母母为为积积

5、分分曲曲面面面面积积。8oxyz定理定理 设有光滑曲面设有光滑曲面yxDyxyxzz ),(),(:在在 上连续上连续, ,存在存在, , 且有且有( , ,)x yDf x y ( , , )f x y z dS ),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122 对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法 则则曲面积分曲面积分证明证明 由定义知由定义知kkkkSf ),( nk 10lim yxD),(kkkyxk)(),(zyxf( , , )f x y z dS ( , , )f x y z dS 9 kS22()1( , )( , )d dkx yxyzx yzx yxy

6、yxkkkykkxzz)( ),(),(122 0lim nk 1yxkkkykkxzz)( ),(),(122 0lim nk 1yxkkkykkxzz)( ),(),(122 22( , ,)1( , )( , )d dx yxyDf x yzx yzx yx y ),(yxz ),(,(kkkkzf ),(,(kkkkzf ( , , )df x y zS 而而( ( 光滑光滑) )10说明说明 1）计算方法可概括为计算方法可概括为“一代、二换、三投影，一代、二换、三投影，曲面积分化为二重积分曲面积分化为二重积分”。“一代一代”将代入被积函数，将代入被积函数， 得；得；“二换二换”将将d

7、SdS换成相应的曲面面积元素的表达式：换成相应的曲面面积元素的表达式： 如，则如，则dxdyzzdSyx221 “三投影三投影”认清在平面上的投影区域，认清在平面上的投影区域，二重积分是在区域上进行的。二重积分是在区域上进行的。 ),(zyxf),(,(yxzyxf),(yxzz ),(:yxzz xoyxyDxyD11如：球面、柱面的面积元素如：球面、柱面的面积元素2sin,dSRd d ( , )dSh x y ds zyDzyzyxx ),(),(zxDzxzxyy ),(),(或或可有类似的公式可有类似的公式. .2)如果曲面方程为如果曲面方程为yzzxDD此此时时投投影影区区域域分分

8、别别为为和和3)若曲面为参数方程若曲面为参数方程, , 只要求出在参数意义下只要求出在参数意义下d dS S 的表达式的表达式, ,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分。二重积分。dSRd dz 12回顾回顾 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素 为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐标，用三组坐标平面面坐标，用三组坐标平面r r= =常数，常数， = =常数，常数，= =常常数把积分区域数把积分区域分成许多小闭区域。考虑由分成许多小闭区域。考虑由r r， , ,各取得微小增量各取得微小增量drdr，

9、 ，dd所成的六面体的体积所成的六面体的体积（如图）。不计高阶无穷小，可把这个六面体看作（如图）。不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方形，其经线方向的长为长方形，其经线方向的长为 ，纬线方向的宽，纬线方向的宽为为 ，向径方向的高为，向径方向的高为drdr，于是得，于是得 d rd drsin,sin2 ddrdrdv 这就是这就是球面坐标系中的体积元素球面坐标系中的体积元素。 ddx xy yz zr rdrdrr rO Odrsindsinrdd13yxD例例1 1 计算曲面积分计算曲面积分,dzS其中其中 是球面是球面222zyx被平面被平面)0(ahhz截出的顶部截出的顶部. .解解y

10、xDyxyxaz ),( ,:2222222:hayxDyx 221yxzz 222yxaa dSz 20da0)ln(2122222haraahaaln2222d dx yDax yaxy 22022dhararr2aoxzyha14思考思考若若 是球面是球面2222azyx被平行平面被平行平面 z z = =h h 截截出的上下两部分出的上下两部分, ,) (d zS) (d zS0hln4aa 则则hhoxzy15奇偶函数在对称曲面上的积分性质奇偶函数在对称曲面上的积分性质1,zox 、若若 积积分分曲曲面面 是是关关于于面面是是对对称称的的 则则1( , , )02( , , )f x

11、 y z dSfyf x y z dSfy 关于 是奇函数关于 是奇函数关于 是偶函数关于 是偶函数1其中是 的右半部分其中是 的右半部分162,yoz 、若若 积积分分曲曲面面 是是关关于于面面是是对对称称的的 则则1( , , )02( , , )f x y z dSff x y z dSf 关关于于x x是是奇奇函函数数关关于于x x是是偶偶函函数数1其中是 的前半部分其中是 的前半部分3,xoy 、若若积积分分曲曲面面 是是关关于于面面是是对对称称的的 则则1( , , )02( , , )f x y z dSff x y z dSf 关关于于z z是是奇奇函函数数关关于于z z是是偶

12、偶函函数数1其中是 的上半部分其中是 的上半部分17例例2解解5yxo18()xyz dS 故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy （或直接由对称性）（或直接由对称性）5yxo19例例3 计算计算,d Szyx其中其中 是由平面是由平面坐标面所围成的四面体的表面坐标面所围成的四面体的表面. . ozyx111解解 设设上的部分上的部分, , 则则4321, 4Sdzyx,yxz: 14 1010 xxy:D)y,x(yx xyd)yx(y1011203 1 zyx与

13、与, 0, 0, 0 zyx 103xdx1 zyx4321Szyxd 原式原式 = = 分别表示分别表示 在平面在平面 20例例4 4 计算计算 ，其中，其中 ： 被柱面被柱面 割下的有限部分。割下的有限部分。 dS)zxyzxy(22yxz 解解 dxdyzzdSyx221 dxdydxdyyxyyxx21222222 )0(222 aaxyx xyDdxdy)yxxyxyxy(I22222y ya a2 2a aO Ox x21 xyDdxdyyxx222042012 2cos(2 cos )4ad 454204 28 2cos8 215 3ada 2 cos2022cosadd 415

14、264a 说明说明 也可往也可往yOzyOz或或zOxzOx平面投影而计算此曲面积分，平面投影而计算此曲面积分，但投影区域的表示及二重积分的计算都较复杂。但投影区域的表示及二重积分的计算都较复杂。 y ya a2 2a aO Ox x22xozy例例5 设设2222:azyx ),(zyxf计算计算( , , )If x y z dS 解解 锥面锥面22yxz 的的222yxaz .,2222122azayx 1 设设 ,),(22122ayxyxDyx ,22yx ，022yxz 当当22yxz 当当与上半球面与上半球面交线为交线为为上半球面夹于锥面间的部分为上半球面夹于锥面间的部分, ,

15、它在它在 xoy xoy 面上的面上的投影域为投影域为1yxD则则 122()IxydS 23 yxDyx)(22 dd202222021 aaa)258(614 a 222yxaa yxddxozy1yxD思考思考 若例若例3 中被积函数改为中被积函数改为 ),(zyxf,22yx ，022yxz 当当22yxz 当当计算结果如何计算结果如何 ? ? 122()IxydS 24,)( dSzyx)0()(:2222 aazyax解解 关于关于xOyxOy平面对称，所以平面对称，所以 0 zdS关于关于zOxzOx平面对称，所以平面对称，所以 0 ydS所以所以 xdS 34 aI 例例6 求

16、求_x A 24aa x利用重心公式利用重心公式 Sxd SdA25例例7 计算计算,d)(22SyxI其中其中 是球面是球面22yx 利用对称性可知利用对称性可知 SzSySxddd222 SzSySxddd SzyxId)(32222 Szyxd)(34Sxd4 Sxd4 48)3(4142 解解 显然球心为显然球心为, )1 , 1 , 1(半径为半径为3 x利用重心公式利用重心公式 Sxd Sd).(22zyxz 26例例8 8 求半径为求半径为R R 的均匀半球壳的均匀半球壳 的重心。的重心。解解 设设 的方程为的方程为yxDyxyxRz ),( ,222利用对称性可知重心的坐标利用

17、对称性可知重心的坐标,0 yx而而 z 2223RRR 用球面坐标系用球面坐标系coszR 2dsinddSR Sd Szd 20032dcossindR22R 27例例9 计算计算),(dRzSI .:2222Rzyx 解解 取球面坐标系取球面坐标系, , 则则,cos:Rz I0d(cos)2cosRRR RRR ln22dsinddSR 20sindcosRR 20d28zzd例例10 计算计算,d222 zyxSI其中其中 是介于平面是介于平面之间的圆柱面之间的圆柱面222xyR分析分析 若将曲面分为前后若将曲面分为前后( (或左右或左右) )zRSd2d 则则 HzRzRI022d2

18、 RHarctan2 Hzz ,0oHxyz解解 取曲面面积元素取曲面面积元素两片两片, , 则计算较繁。则计算较繁。 29oyxzL例例11 11 求椭圆柱面求椭圆柱面19522 yx位于位于xoyxoy面上方及平面面上方及平面 z = yz = y 下方那部分柱面下方那部分柱面 的侧面积的侧面积 S S 。 解解 )0(sin3,cos5: ttytxL取取dSS szLd tt cosdcos45302 sd5ln4159 zszSdd ttttdcos9sin5sin3220 syLd 30内容小结内容小结1. 1. 定义定义: : Szyxfd),(iiiiSf ),( ni 10lim 2. 2. 计算计算: : 设设,),( , ),(:yxDyxyxzz 则则 Szyxfd),( yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd( (曲面的其他两种情况类似曲面的其他两种情况类似) )