模拟滤波器设计

1、实际信号除有用信号外，往往带有干扰，这些干扰有的是与有用信号同时产生的，有的是在信号传输与处理过程中由于不同系统间的相互作用引起的。在信号处理中从带有干扰的信号中分离出有用信号的装置称为滤波器。在电子测量、通信、电视等领域，滤波器的使用极为广泛。当有用信号与希望滤除的干扰占有不同的频带时，用一个在有用信号频带增益较高、而在干扰频带增益较低的选频滤波器则能分离出有用信号。当有用信号与干扰的频带有重叠时，需要按照随机信号内部的一些统计分布规律最佳地提取有用信号，如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。只介绍选频滤波器。根据处理的是模拟信号还是数字信号，滤波器可分为模拟和数字两大类。模

2、拟滤波器用电路实现，数字滤波器用计算机、数字信号处理芯片等完成有关数字处理，通过一定运算关系改变输入信号的频谱分布。数字滤波器和模拟滤波器都起改变频谱分布的作用，只是信号的形式和实现滤波的方法不同。一般来说，模拟滤波器成本低、功耗小，目前频率可达几十MHz。数字滤波器则精度高，稳定、灵活，便于实现模拟滤波器难以实现的特殊滤波功能。滤波器设计问题主要是根据给定的频率响应指标确定系统函数的问题，其内容相当广泛。本章介绍滤波器设计的基本概念和一些实用方法：首先介绍滤波器的一些典型逼近函数，主要为巴特沃思逼近和切比雪夫逼近；然后介绍频率变换，将低通滤波器的系统函数转换为带通、高通等的系统函数；接着再介

3、绍有源滤波器的概念。§1  滤波器的一些典型逼近函数一、滤波器的频率响应理想滤波器由于是不可实现的，它只有在理论分析中才有用。所幸的是，实际中并不严格要求系统函数的幅度在干扰信号频带绝对为零，只要非常小就行，在有用信号频带也不必一定为恒定值，可以在很小的范围内变化，只要其幅度相对较大；幅频特性曲线也不必在某一频率处特别陡峭。理论还证明，对物理可实现的滤波器，其系统函数的实部和虚部具有依从关系，因而实际滤波器也就不能同时满足幅度要求和相位要求。在滤波器设计中，由于幅度函数为角频率W的偶对称函数，相位函数为W的奇对称函数，因而以下只考虑W为正值时的频率响应。当幅度函数在某一频率

4、范围(Ws1，Ws2)内很小时，称该频率区间为阻带。当幅度函数在某一频率范围(WP1，WP2）内相对其它频率处的幅度较大，而且幅度的变化范围又比较小，称该频率区间为通带。此外，还定义通带与阻带间的频率范围为过渡带。为了实现滤波的目的，有用信号的频带应在滤波器的通带之内，干扰信号的频带应在阻带内。低通滤波器的幅频响应曲线如图1-1（a）所示，它的通带为(0，Wp），阻带为(Ws，)，过渡带为(Wp，Ws），Wp称为通带（截止）频率，Ws称为阻带（截止）频率。在通带或阻带内，幅度函数可以是单调的，也可以在一定范围内起伏变化。为了便于描述通带与阻带的相对变化量，定义|H(jw)|dB的最大值与通带内

5、最小值之差为通带波纹，用Ap表示，定义|H(jw)|dB的最大值（也可为通带内的其他值）与阻带内最大值之差为阻带衰减，用As表示，Ap和As都以分贝度量，为正值。若|H(jw)|的最大值为1，通带和阻带的变化量分别为dp和ds（见图1-1（b），根据Ap和As的定义，则有或或高通滤波器的通带为(Wp,），阻带为(0，Ws)，如图1-1(c)所示。带通滤波器的幅频曲线如图1-1(d)所示。WP1，WP2为通带频率，Ws1，Ws2为阻带频率，当幅频特性呈几何对称时，还定义中心频率          

6、                   （1-1）带阻滤波器的幅频曲线如图1-1(e)所示。全通滤波器在所有频率处的幅度相同，它主要用于相位补偿。（a）低通（幅度用dB表示）(b) 低通                    (c)

7、 高通（d）带通                   （e）带阻图1-1  滤波器的幅频特性二、逼近的一般方法滤波器设计的首要任务是要确定满足技术指标要求的系统函数，系统函数必须是物理可实现的，因而要满足因果性和稳定性。由于|H(s)|s=jw=|H(jw)|为复数则有           

8、0;                      （1-2）由于集总系统的系统函数H(s)是s的有理函数，则H(s)H(-s)是s2的有理函数，|H(jw)|2必为w2的有理函数。在研究滤波器的逼近函数问题中，一般由|H(jw)|2确定H(s)。当满足滤波器技术指标要求的|H(jw)|2给定后，将|H(jw)|2表达式中的w2用s2替换，得出与|H(jw)|2对应的H(s)H(-s)，而后求出H(s

9、)H(-s)的极点和零点，由于H(s)H(-s)是s2的有理函数，若p为H(s)H(-s)的一个极点（或零点），则-p也必然为极点（或零点），如图1-2所示。显然，虚轴上的极点（或零点）必是二重的。图1-2  H(s)H(-s)极点（或零点）分布的对称性根据s平面上H(s)H(-s)的零点与极点的分布图，考虑到H(s)必须是稳定的，因此，位于左半平面的极点应属于H(s)，而右半平面的极点属于H(-s)。然而，零点的分配则不是惟一的，现来考察它对频率特性的影响。系统在正弦输入下，输出信号相位与输入信号相位及系统函数相位存在下式关系系统的相移为，系统的相延迟时间和群延迟时间分别定义为&#

10、160;                        （1-3）如果与频率的成线性关系，则与相等，且为常数。对线性时不变系统，为超越函数，而群延迟时间总是的有理函数。设和具有相同的极点，；而二者的零点却以轴成镜像关系，如图1-3所示。因，因此和具有相同的幅频特性。再看二者的相移特性，分别为      

11、60;                                      当时，因，则以上讨论说明：极点均位于左半平面且具有相同幅频特性的两个系统函数，对任一大于零的，全部零点位于左半平面的系统函数的相移总小于在

12、右半平面有零点的系统函数的相移，故称极点和零点均在左半平面的系统函数为最小相移函数。(a)最小相移                    (b)非最小相移图1-3  最小相移函数与非最小相移函数的s平面图尽管系统的稳定性与系统函数零点的分布无关，但常见的滤波器用最小相移函数描述，否则在滤波器的输入与输出之间需要多个通路，从而导致了滤波器实现的复杂性，这在实际中应尽可能避免。以后均把H(s)取为最小

13、相移函数。滤波器在工程中使用相当普遍，一些逼近函数在滤波器设计中发挥着重要作用，低通滤波器常见的逼近函数有：（1）巴特沃思（Butterworth）逼近  该逼近函数在通带和阻带内具有单调衰减的幅频特性。（2）切比雪夫（Chebyshev）逼近  其幅频特性在通带内等波纹变化，在阻带内单调衰减。在相同阶数条件下，切比雪夫滤波器比巴特沃思滤波器有更好的衰减特性。（3）反切比雪夫逼近  其幅频特性在通带内单调衰减，在阻带内等波纹变化。（4）椭圆逼近（也称考尔（Cauer）逼近或双切比雪夫逼近）  其幅频特性在通带和阻带内均按等波纹变化。（5）贝塞尔（Bess

14、el）逼近  它是用泰勒级数逼近s=0附近的线性相位特性。图1-4给出了低通滤波器几种逼近函数的幅频特性，均为5阶函数，通带频率为1rad/s，最大增益为1。其中，图1-4 (a)为巴特沃思逼近；图1-4 (b)为切比雪夫逼近，通带波纹（或通带变化量）；图1-4 (c)为反切比雪夫逼近，阻带衰减（或阻带变化量）；图1-4 (d)为椭圆逼近，通带波纹，阻带衰减14dB 。由于任一通带频率的系统函数可以利用频率变换方法从rad/s的得到，以下取通带频率rad/s，只讨论低通滤波器的巴特沃思逼近函数和切比雪夫逼近函数，其他逼近函数可参考有关滤波器设计手册。(a)  &#

15、160;                          (b)(c)                       &

16、#160;    (d)图1-4 几种逼近函数的幅频特性三、巴特沃思逼近 巴特沃思低通滤波器幅度函数的平方用下式给出                                     

17、            （1-4）式中通带频率取为1rad/s，N是系统函数的阶数。由上式可计算出：时，；rad/s时，即在通带频率处衰减约3dB，故有时称巴特沃思滤波器3dB通带频率为1rad/s；时，。式（1-4）描述的的幅频特性如图1-5所示，它具有以下特点：图1-5  巴特沃思函数的幅频特性（1）为单调减函数，N愈大，愈接近理想低通滤波特性。当rad/s时，频率每增加十倍，特性曲线下降，即以的速率下降。（2）可以证明，这表明在通带内具有最大平直特性。下面根据

18、式（1-4）求系统函数。令，有                                      （1-5）上式极点为        

19、0;                            （1-6）图1-6给出了N=3和N=4时的极点分布，可见，2N个极点以为间隔均匀分布在半径为1的圆周上。（a）N=3            

20、           （b）N=4图1-6  式（1-5）的极点分布当取时，用式（1-6）求得的极点位于左半平面，用这些极点可构成稳定的。以N=3为例，有    ；    ；则为按以上方法，还可求得其他阶数的，巴特沃思系统函数的分母多项式如表1-1所示。表1-1  巴特沃思低通滤波器分母多项式的系数Na1a2a3a4a523456根据技术指标设计滤波器，首先要确定出滤波器的阶数。由于巴特沃思逼近函数及其有关表格和曲线

21、是按3dB通带频率1rad/s给出的，因此，需要对频率变量做尺度变换，将原始3dB通带频率折算为1rad/s，相应地将原始阻带角频率折算为，这一过程有时称之为频率归一化。将通带频率为1rad/s的低通滤波器转化为其他通带频率低通滤波器的过程为去归一化，可称为低通到低通（LP2LP）变换，如图1-7所示。将通带频率是1rad/s的系统函数变换为通带频率是的系统函数的变换关系为                   

22、60;   （1-7）图1-7  LP2LP变换系统函数的阶数可用式（1-4）确定，设阻带衰减的dB值式中为的阻带频率。可求得                                     

23、       （1-8）按式（1-8）求得滤波器的阶数后，查表就可得到，利用式（1-7），用替代中的s，即可得到满足技术指标要求的系统函数。例1-1  已知低通滤波器系统函数采用巴特沃思逼近，3dB通带角频率krad/s，阻带角频率krad/s，阻带衰减不小于15dB，求。解（1）确定阶数N将频率坐标在3dB通带角频率处归一化，有rad/s由式（1-8）阶数N只能为整数，故取N3。也可根据图1-5所示的幅频曲线确定阶数N，可看出，在rad/s处，N2时的衰减约为12dB，不满足要求，N3时衰减约为18dB，大于技术

24、指标15dB，故取N3。（2）求系统函数由表1-1，N3时按式（1-7）进行频率变换，得系统函数从上式可看出，当阶数N和通带频率比较大时，系统函数中各s项的系数值较大，直接利用设计电路有时会带来无法容许的数值误差，因此在高阶滤波电路设计中，一般先在频率归一化条件下设计，然后再调整电路动态元件的值进行频率变换，有关内容见例2-2。四、切比雪夫逼近  切比雪夫低通滤波器幅度函数的平方为                &#

25、160;      （1-9）式中是N阶切比雪夫多项式，定义为               （1-10）                （1-11）由式（1-10）可得       

26、0;                                       （1-12）         

27、0;                        （1-13）若令，并利用三角函数等式关系式（1-10）又可表示成递推形式                      &

28、#160;          （1-14）由式（1-12）（1-14）可递推出                         （1-15）当时，由式（1-11）仍得。利用双曲函数的关系式取，同样可得式（1-14）递推关系，故当时，式（1-15）结果也成立。式（1-9）中是决定通带波纹的参数。由式（

29、1-10），在rad/s处，与阶数N无关，因而与式（1-10）对应的滤波器的通带频率定义为rad/s。在通带内，由于，故在1和之间变化。设通带波纹的dB值为由上式得                       （1-16）在通带外，可以证明为单调减函数。图1-8给出了N4和N5时的幅频曲线，可见，通带内的极大值和极小值的总数等于阶数N，N为偶数时，N为奇数时，。阶数N根据阻带衰

30、减（用dB形式表示，0）确定，利用式（1-9）和式（1-11），有                                        （1-17）把式（1-16）代入式（1-17）得 &#

31、160;                               （1-18）例如给定通带波纹dB，阻带角频率rad/s，阻带衰减dB，由式（1-18）求得，则取。(a) N=4         

32、              (b) N=5图1-8  切比雪夫低通滤波器的幅频特性曲线（，也即dB）参数和阶数N确定后，可以求出的极点，求解过程请参考有关资料，下面仅介绍其结果。设的N个极点，其中                       

33、;                         （1-19）式中则为式中：由确定，时的各系数如表1-2所示。b0取决于通带最大幅度，若取最大幅度为1，则对奇次阶，由于在0处，故；对偶次阶，由于，则。表1-2  切比雪夫低通滤波器分母多项式的系数（）Na1a2a3a4a5a623456例71-2  导出三阶切比雪夫低通滤波器的系统函数，

34、已知通带频率rad/s，通带波纹dB。解   由式（1-16），参数为根据式（1-19）求3个极点，有                                        

35、0;                                           则的分母多项式由于N3为奇次阶，故系统函数§2  模拟滤波器的频率变换借助低通滤

36、波器的系统函数，经合适的频率变换，可以得到高通、带通、带阻滤波器的系统函数，因此不论那一种滤波器的设计，都可以先将该滤波器的技术指标转化为频率归一化的低通滤波器的技术指标，按照该指标先设计低通滤波器的系统函数，再通过频率变换，得到所需类型系统函数。频率变换也可直接用于无源滤波电路，把低通滤波电路通过适当的元件变换转化为其他类型的滤波电路。以下假定低通滤波器的通带频率为1rad/s，系统函数为。 一、低通到高通的变换低通到高通（LP2HP）的变换关系为或           &

37、#160;              （2-1）其中为高通滤波器的通带角频率。当低通滤器的角频率从经rad/s到0变化时，对应的高通滤器的角频率则从0经到变化，由于幅频特性偶对称，则滤波器的通带由（0, 1rad/s）变换为（, ），为高通滤波器的通带，如图2-1所示，曲线变换为。因此，式（2-1）具有把低通变换为高通的功能。图2-1  LP2HP变换以二阶巴特沃思低通滤波器的变换为例，系统函数    &#

38、160;                                  （2-2）利用式（2-1），设取，变换后的系统函数为            

39、;      （2-3） 例2-1  求巴特沃思高通滤波器的系统函数，要求通带频率为100Hz，在50Hz处衰减不小于10dB。解  （1）将高通滤波器的技术指标转化为归一化低通滤波器的技术指标HP2LP的转换关系为或，则低通指标为：阻带角频率                         rad

40、/s阻带衰减                           dB（2）求低通滤波器的系统函数由式（1-8），阶数取N2，系统函数见式（2-2）。（3）求高通滤波器的系统函数根据式（2-1），有若把频率变换直接用于电感和电容元件，可把无源低通滤波电路转换为高通形式。低通电路中电感的阻抗，经式（2-1）变换后其中  

41、                                              （2-4）即低通电路中的电感在高通电路中变换为电容C。类似

42、地，低通电路中的电容变换为电感L，其中                                            （2-5）按以上二式对电感和电容变换后，可得通带角频率为的高通电

43、路。考虑到实际中电阻值既不能太小，也不能太大，比如在kW量级，则还需要再次调整各元件值。由于给无源电路中各阻抗乘以相同系数K后，传递电压比（或电流比）保持不变，因此，对电阻、电感的值乘以适当的系数K，而对电容值除以K，使各元件值在一合适的范围内。例2-2  图2-2所示电路为归一化低通滤波电路，若要求高通电路的通带频率kHz，电阻为1kW，试求高通电路。图2-2  归一化低通电路解  通带角频率，利用式（2-4）和（2-5）对电感和电容进行变换，得图2-3(a)所示的高通电路。按题中要求，将电阻值调整为1kW，则同时对电感乘以103，对电容除以103，电路如图2-

44、3(b)所示。(a) 电阻值为1W       (b) 电阻值为1kW图2-3  高通电路二、低通到带通的变换低通到带通（LP2BP）的变换关系为                                 

45、;       （2-6）式中是带通滤波器的中心角频率，B为带宽，单位rad/s。若令低通滤波器的，有从上式求得即带通滤波器的为                                 （2-7）与间的映射关系如图2-4所

46、示。即曲线映射为。可见，变换后为带通滤波器。图2-4  LP2BP变换若只考虑的情况，由式（2-7），低通滤波器的和分别映射为                                      （2-8）  &#

47、160;                                 （2-9）从以上两式得当rad/s时，映射后分别为和，则有              

48、                                （2-10）可见，B为带通滤波器两个通带频率的差值，称为带宽。由式（2-8）和（2-9）还可得           

49、                                   （2-11）式(2-11)说明，用式(2-6)变换得到的带通滤波器具有几何对称性，为和的几何平均值。由于和均为rad/s和rad/s的映射，由式（2-11）有   

50、60;                                        （2-12）可见，中心频率为两个通带频率的几何平均值。为了描述带通滤波器幅频特性曲线的尖锐程度，还定义中心频率与带宽B的比值为品质因数Q，即&#

51、160;                                                （2-13）Q愈大，对同一则带宽B愈

52、小，故曲线愈尖锐。式（2-6）给出的变换关系也可用Q和表示，为                                            （2-14）若用式（2-14）

53、对一阶归一化低通滤波器的系统函数进行变换，得二阶带通滤波器的系统函数                       （2-15）该式为二阶带通滤波器的系统函数的一般形式。带通滤波器系统函数的求解与高通的类似，首先要求出低通滤波器的阻带频率，当已知阻带频率（或）时，由式（2-6）得        

54、60;                （2-16）再根据和阻带衰减确定逼近函数的类型和阶数，得到低通滤波器的系统函数，最后，用式（2-6）将其转化为带通滤波器的系统函数。例2-3  已知带通滤波器的通带带宽rad/s，中心频率rad/s，通带内最大衰减3dB，在rad/s和rad/s处最小衰减15dB，试求巴特沃思逼近的系统函数。解  （1）求归一化低通滤波器的系统函数。按式（2-16）得由于，则在处的衰减相对较小，故取。低通

55、滤波器的阶数取N3，查表1-1得（2）求带通滤波器的系统函数带通电路也可由低通电路经元件变换实现。低通电路中电感的阻抗经变换后为即在带通电路中为电感和电容的串联，其值分别为                                （2-17）对电容，变换后的导纳可见，低通电路中的电容

56、要用电容和电感的并联置换，其值分别为                               （2-18）       电路元件的变换如图2-5所示。图2-5  LP2BP电路的元件变换三、低通到带阻的变换变换关系为式中为带阻

57、滤波器的阻带中心频率，和为阻带频率；B为阻带带宽，。带阻滤波器的幅频特性如图2-6所示。图2-6  带阻滤波器的幅频特性由式（2-18）可得和时频率间的对应关系为                      （2-19）带阻滤波器系统函数的求解步骤和电路元件的变换与带通滤波器的类似，此处从略。§3  有源滤波器根据滤波电路是否含有有源器件，模拟滤波器分为无源和

58、有源两大类。无源滤波器由电阻、电容和电感构成，其设计理论已很成熟，电路一般为梯形结构，可用有关计算机软件设计。有源滤波器含有源器件，如：运算放大器，晶体管，电流传输器、跨导放大器等，一般不含电感，它可实现无源滤波器的所有功能，系统函数的极点可以在左半s平面的任一位置。无源滤波器受电感线圈电阻的影响，其精度有时难以满足实际要求，在低频应用场合，电感线圈的体积较大，不适合对体积有限制的电子装置，此外，无源电路的直流增益不可能大于1。自从20世纪50年代起，人们对用有源器件和电阻电容实现的有源滤波器的研究经久不衰，随着各种新器件的出现，有源滤波器的种类已有很多，表3-1给出了一些典型的滤波器。表中，

59、有些种类的滤波器不含电阻元件，主要是为了能够实现全集成化，从而极大地减小了滤波器的体积。本节介绍二阶有源RC滤波电路，主要是为了让读者了解滤波器的一些基本概念和分析方法，在实际电路设计时，则需要参考有关专门书籍，根据各个电路的特点和应用范围选取合适的电路。表3-1 一些典型的滤波器名称有源器件电阻电容其他元件说明有源RC滤波器运算放大器  有源R滤波器运算放大器  利用了运算放大器的寄生电容开关电容滤波器运算放大器 MOS开关 开关电流滤波器  MOS开关电流镜 MOSFETC滤波器运算放大器 

60、MOSFET用MOSFET实现电阻跨导电容滤波器跨导放大器  用跨导放大器实现电阻电流传输器有源滤波器电流传输器  电流模式滤波器  电流镜直接在晶体管级设计，输入输出均为电流一、二阶滤波器的频率特性二阶滤波器在实际中使用较多，它也是采用级联方法设计高阶滤波器的基本模块，尽管其电路结构非常多，但分析方法却基本相同。在滤波器理论中，常将二阶系统函数表示成如下形式：低通              &#

61、160;                 （3-1）带通                                （3-2）高通 &#

62、160;                              （3-3）陷波                      &#

63、160;         （3-4）全通                               （3-5）式中称为无阻尼固有频率或极点频率，对带通滤波器，也是中心频率；Q称为品质因数，它的大小直接影响幅频曲线的尖锐程度。图3-1给出了二阶滤波器

64、的幅频特性，其中Q分别取、2、10，Q愈大曲线愈尖锐；均归一化为1rad/s；系数；陷波滤波器的系数，。图3-1 二阶滤波器的频率响应如果对RLC串联电路（见图3-2）分别以电容、电阻、电感电压为输出列写系统函数，则分别对应于低通、带通、高通滤波器。以电容电压为例，可求得                  （3-6）比较式（3-6）和式（3-1），则极点频率和品质因数分别为    

65、60;   该结果与电路课中对谐振现象研究定义的一致。以下只讨论有源滤波电路。图3-2  RLC串联电路二、单运放有源RC滤波器有源RC滤波器电路种类很多，图3-3(a)给出了一种低通电路，它是由Sallen R. P.和Key E. L.于1955年提出的，图中三角符号表示电压放大器，可用运算放大器实现，如同图(b)所示，电压放大倍数对图3-3(a)列写结点方程，有结点2：               （3-7）结点3：  

66、                             （3-8）电压放大器的关系式为                      

67、;                                             （3-9）(a) 滤波器电路     

68、                (b) 同相比例器图3-3  Sallen-Key低通滤波器电路由以上三式得则系统函数      （3-10）比较式（3-10）与式（3-1），得在和Q给定时，用以上两式确定R1、R2、C1、C2、尚有三个自由参数，可按以下两种方法确定：（1）     取，指定、C1和C2的值，求解和K；（2）  

69、;   指定K、C1和C2的值，注意K必须大于1，求解和 。设给定系统函数的分母多项式为，由式（3-10）有                                    （3-11）  &#

70、160;                  （3-12）借助计算机求解以上两个方程则比较方便，可取多组数据设计，最后选取一个比较好的解。例3-1设二阶低通滤波器的品质因数，极点频率rad/s，直流增益，如果选用Sallen-Key电路实现，设取nF，nF，试确定电阻值。解  （1）在归一化条件下设计为了数值运算简单起见，将极点频率归一化为1rad/s，设取，在此条件下，根据和Q可求得由式（3-11）和式（3-12）得

71、由以上两式求得归一化条件下。（2）去归一化首先将极点频率变换为rad/s，则           由于要求F，故给电容乘以，给电阻除以，最终得           由于直流增益，电压放大器为跟随器，即图3-3(b)中去除，可用短路线替代。三、多运放有源RC滤波器二阶有源RC滤波器也可用多个运算放大器实现，它比单运算放大器电路灵敏度低、品质因数高、设计灵活、调试方便。下面介绍用状态变量方法设计的二阶

72、滤波器。设二阶系统函数为            （3-13）若将输出表示为     （3-14）实现上式关系的一种框图如图3-4所示，其中积分单元选取反相形式，主要是考虑采用运算放大器的反相积分电路要比同相电路简单。图3-4以虚线为界可视为两个子系统的级联，交换级联顺序得图3-5，由于虚线左、右对应积分单元的输出相等，积分单元可合并，如图3-6所示，该框图使用了最少的积分单元。如果仅实现带通或低通滤波器，图3-6可表示成图3-7形式，其中输出端的系数或移至输入端，用b表示，系统函数为                  （3-15）                  （3-16）图3-7能用一个多输入反相积分器（虚线框）、一个反