数形结合例题选集

1、一、在一些命题证明中的应用举例：1、 证明勾股定理：解析：上图中，四个小三角形（阴影部分）的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积，化简后得到勾股定理。2、 证明乘法公式（平方差与完全平方）：解析：在上图中，利用正方形和小正方形面积的转化，能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。3、 证明基本不等式：解析：如上图所示，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，长度为，根据直角三角形的相似关系，可以得到直角三角形斜边上的高的长度为，显然在直角三角形中，斜边上的中线的长度会大于等于高，利用这样简洁明了的几何图解，对基本不等式的理解也就更加简单了。4、 证明正（余）弦定

2、理：解析：（1）如上图所示，；即；根据圆的性质（等弧对等角）；综上，得正弦定理：。（2）根据勾股定理；整理可得余弦定理：；同理得出cosA、cosC的余弦定理。5、 证明结论解析：如上图所示，根据y=tanx、y=x、y=sinx在上的图像可看出tanx>x>sinx，。当然，实际考试作图不可能如此精确，那么转化到右图的单位圆中，当时，角的终边始终在第一象限内，根据三角函数线可知，蓝线表示正弦线，红线表示正切线，再根据弧长公式，即图中黑色弧线的长度表示x，显而易见。红线长度>弧线长度>蓝线长度，即tanx>x>sinx，。6、证明两角差的余弦公式：解析：如上

3、图所示，根据三角比的定义及单位圆的定义可知单位圆上的点的坐标表示。左图中，将B点旋转至（1，0）处（右图所示）。此时，因为线段AB的长度没有发生变化，即，化简：。当然也可以用向量的方法证明，利用向量数量积定义，证明更加简洁。如左图，。二、在考试中的具体应用：1、与函数的综合运用，主要体现在求零点、交点、解的个数及参数范围等方面：例1（14奉贤）已知定义在R上的函数y=f（x）对任意x都满足f（x+2）=-f（x），当只有四个零点，则a的取值范围是 答案：解析：根据已知条件，f（x）的周期为4，先画f（x）一个周期图像，当1x<3时，由此画出-1，3）的图像，此为一个周期，图像如下，只有四

4、个零点即f（x）与y=只有四个交点，需分类讨论：（1）当0<a<1时，有两个界值，如下图所示：此时5个交点，代入点（-5，-1），解得a=此时3个交点，代入点（3，-1），解得a=（2）当a>1时，也有两个界值，如下图所示：此时3个交点，代入（-3，1），解得a=3。评注：数形结合体型，一定要结合图像分析，并且一些用于定位的特殊点要善于把握；另一方面，必须熟悉初等函数的所有性质及函数图像的变换。例2 （14闵行），若a、b、c、d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是答案：（32，35）解析：根据题意，如下图所示，ab=1，abcd=cd=

5、，4<c<5，所以答案是（32，35）。评注：这类题出现很多，典型的数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图像及相关性质，尤其是对称性和周期性；在草稿纸上作图时，虽说是草图，但有必要做出一些特殊点进行定位；写区间时，务必考虑区间的开闭情况。变式 已知函数f（x）=|x-1|-1|，若关于x的方程f（x）=t（tR）恰有四个互不相等的实数根的取值范围是答案：（3，4）解析：根据题意，如下图所示，=。例3 （14杨浦）定义一种新运算：。已知函数f（x）=（1+，若函数g（x）=f（x）-k恰有两个零点，则k的取值范围是（ ）A.（1，2；B.（1，2）；C.（0，2）；D.（0，1）答案：

6、B解析：，如下图所示：令g（x）=f（x）-k=0，问题转化为函数y=f（x）与函数y=k有两个交点，则k（1，2）。评注：本题考查分段函数表达式求法，函数零点问题转化成两函数交点问题，数形结合很容易求解，可以作适当的延伸，比如，有一个零点，求k的取值范围等。例4 （14宝山）关于函数f（x）=，给出下列四个命题：当x>0时，y=f（x）单调递减且无最值；方程f（x）=kx+b（k0）一定有解；如果方程f（x）=k有解，则解的个数一定是偶数；y=f（x）是偶函数且有最小值。则其中真命题是答案：、解析：含绝对值、分类讨论。先画x>1和0<x<1的部分，然后根据偶函数的性质

7、（关于y轴对称）画出左半部分，函数图像如下图所示：明显错误；k=0时，解的个数为1；、正确。评注：含绝对值的数形结合题型，根据绝对值内的情况，进行分类讨论，画出函数图像，再结合函数性质，一般是对称性或奇偶性，然后根据函数图像对各项进行分析筛选。例5 （14奉贤）定义在上的函数f（x）满足：当时，；f（3x）=3f（x）。设关于x的函数F（x）=f（x）-1的零点从小到大依次记为、，则答案：50解析：结合已知条件，分析函数性质，画出函数图像，如下图所示，2+4+8+10+26=50评注：数学结合最直观，或根据函数的对称性，找到对称关系，图像就画出来了，答案也就呼之欲出，这就是数形结合在直观呈现方

8、面的快捷。2、与三角函数的综合运用：例1 （14十三校联考）已知f（x）=asin2x+bcos2x（a、b为常数），若对于任意答案：x=解析：根据“若对于任意”可知，当x=时，函数图像取最低点，再结合函数解析式可知函数周期为，因为函数的最值横坐标与相邻零点之间相差个周期，即，所以在区间0，内的解（即在区间0，内的零点）为x=。评注：本题看似复杂，因为有字母a、b，但只要理解了“三角函数的最值横坐标与相邻零点急间相差个周期”这样的图像性质，结合图像原理，就迎刃而解了。例2 （14闸北）设a>0且a1，已知函数f（x）=至少有5个零点，则a的取值范围为答案：（0，1）（1，2）解析：就是求

9、函数上的交点个数，分两种情况：（1）当0<a<1时，在两个函数图像有无数个交点，如下图所示：所以0<a<1时，满足至少有5个交点（2）当a>1时，如下图所示，在要至少5个交点，在x=1处要大于0即2-a>0，a<2，满足至少有5个交点。评注：这是一道典型的数形结合的题型，将零点问题转化成函数交点个数问题，注意理解题意、审清题意及数与形之间的转化。例3 （14虹口）函数f（x）=2sin与函数的图像所有交点的横坐标之和为答案：17解析：画出函数f（x）=2sin与函数的图像，如下图所示：这俩图像都是关于点（1，0）对称，所以它们的交点也是关于点（1，0）

10、对称，即一对对称交点的横坐标之和为2，总共有8对关于点（1，0）对称的点，再加上（1，0）点本身，即所有交点的横坐标之和为17。评注：本题首先要熟悉函数的图像变换，精确画出函数图像，然后再研究交点的特性，在这道题中，交点关于点（1，0）对称的，在这个前提下，求横坐标之和就转化成简单的中点问题。例4 已知函数y=f（x），任取tR，定义集合：，设，记（1）若函数f（x）=x，则h（1）=（2）若函数f（x）=sin，则h（t）的最大值为答案：（1）2；（2）2解析：定义的意思是函数y=f（x）在以定点P（点P在函数图像上）为圆心半径为的圆内的部分，这部分函数图像的值域即（1）定点P（1，1），如

11、下图所示，蓝色实线段部分为符合定义的图像部分，这部分图像最大值为2，最小值为0，所以h（1）=2（2）对于f（x）=sin，函数最大值与最小值之差2，如下图所示，通过理解观察，可得出能够同时包含最大值和最小值，所以h（t）的最大值为2，此时t=2k，k。评注：这是一道理解性的定义体型，理解题目的定义很重要，然后结合函数图像分析就不难了。例5 （14闵行）对于函数f（x）=，有以下四个命题：任取恒成立；f（x）=2kf（x+2k）（k），对于一切x恒成立；函数y=f（x）-In（x-1）有3个零点；对任意x>0，不等式f（x）恒成立，则实数k的取值范围是则其中所有命题的序号是答案：、解析：

12、根据下图所示可知：选项是，选项反比例函数图像至少要满足点（）上，此时，评注：数形结合的思想，国家题意画图帮助理解，然后利用一些特殊点定位，图像尽量做到精确，才能避免差错3、与解析几何的综合运用：例1 （14闸北）设曲线C：，则曲线C所围封闭图形的面积为答案：解析：因为图像关于x轴、y轴对称，所以可以先画第一象限的图像，第一象限x>0，y>0，绝对值直接去掉，可得一段圆弧，然后关于x轴、y轴对称翻折，如下图所示，根据题目数据，可得，AB=2，可以先算第一象限的面积，由一个扇形与一个四边形构成，然后再乘以4，全面积为。评注：方程图像问题，含绝对值，所以根据象限分类讨论，根据相关性质画出

13、方程图像，割补法求面积。变式 由曲线所围成的封闭图形的面积为答案：2+例2 （14金山）已知直线：4x-3y+6=0，抛物线C：图像上的一个动点P到直线与y轴的距离之和的最小值是答案：1解析：结合题意，画出直线与抛物线的草图，找到点P到直线与y轴的距离之和，如下图所示，即PH+PA=PH+PB-1=PH+PF-1用点到直线距离公式求出来等于2，所以答案为1。评注：注意圆锥曲线的相关定义，进行巧妙的转化，如本题中用到了“抛物线上的点到焦点的距离等于这个点到准线的距离”这个性质，然后结合图像进行转化。例3 （14金山）已知有相同焦点的椭圆=0（）A.；B.答案：解析：法一：如下图所示，由题意得：法

14、二：对于椭圆而言，焦点三角形的面积为，对于双曲线而言焦点三角形面积，而这是同一个三角形，所以，所以。评注：熟悉圆锥曲线的定义非常重要，根据条件找到变量之间恒定的关系，做数学题时，很多时候要辩证思考，透过变化的表象，发现不变的内在联系，动静结合，有机分析，以静制动，以不变应万变。例（14金山）设双曲线上动点到定点的距离三最小值是（）A.；B.；C.答案：解析：双曲线方程两边同时除以，得到，即方程，即求点的距离，选评注：这是一类要考虑极限位置的极限体型，在高考中出现过类似的题目，一般找到了极限的位置，题目就很容易解的，很多同学不会因为没有想到极限的位置，而像想把。例（14闵行）若曲线上存在两个不同

15、点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（）A.；B.；C.；D.答案：解析：A、B、C、D选项图像依次如下图所示，根据题意，选评注：利用数形结合的方法，考查了含绝对值曲线方程的画法，一般根据图像的对称性，或者分区间、分象限进行分类讨论函数方程在各个象限的图像，再结合题意解题。、与向量的运用：例（14徐汇）如下图所示，已知点两边分别交于答案：解析：法一：，因为法二：取特殊值，。评注：作为填空题，本题的第一做法是法二，同时也要知道具体过程，注意向量一些常用知识点及一些转化技巧。例（14闵行）设答案：解析：根据题意，的几何意义为一个点到的距离加上这个点到的距离等于

16、，如下图所示，即到点的距离加上到点的距离等于，而，所以这个点的轨迹为线段，而我们要求的取值范围的几何意义即转化成线段上的点到点（）的距离的取值范围，最短距离是下图中的长度，用点到直线的距离公式或等面积法可求得。评注：用代数的方法计算，因为有根号，过程很复杂，结合向量的模的几何意义，转化成图形问题就简明了，易于理解，教学过程中注意引导数形结合的使用。例3 （14徐汇）如下图所示，在边长为的正六边形中，动圆的半径为，圆心在线段答案：解析：如上图所示，。评注：本题结合动态图像考查了向量的分解，要求能够理解题意，本题也可建系分析5、与其他知识点的综合运用：例1 （14浦东）用有序三元组。如果集合的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为答案：解析：设，如下图所示，因为一个元素，将的元素排入，有种方法，由题意得，还剩下的一个元素，可排在种方法，由分步原理得。评注：本题要注意分步原理与分类原理的综合运用，抽象出解题模型，从而使问题得到解决，当然也可以用列举法，显然中为含有列举即可求解。对于新定义题型，要善于将陌生问题化为熟悉模型，注