一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用

1、南京理工大学硕士学位论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用姓名：张少钦申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：黄振友20100623堡主迨奎二耋堑堕丝坌簦至箜堂坌堡垄基型墼壁望堡塑查旦摘要本文主要讨论的是矩阵微分算子的谱分解，其中是半直线上的极限点型的非负自伴算子假定只有连续谱的情况下，分别对的谱下界大于零和等于零的两种情况作了讨论本文将该矩阵算子酉等价于某平方可积函数空间上的乘法算子，具体构造了这个酉等价，利用这个表示方法研究了这类微分算子生成的酉算子群在出射入射空间的作用关键词：算子；极限点型；谱表示；本性自伴硕士论文，一髓；，妇；龇一咖螂。酞印一鼹，玲，：；声明本学位论文是我

2、在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文中作了明确的说明。研究生签名：毯级二。年乡月衫日学位论文使用授权声明南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。研究生签名：。年月眵日硕士论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用引言算子讨论

3、这种类型的算子的动力大致来自如下两方面本姓要讨黼是胁心：卜拣辄是半直线郴一散射在研究波动方程的过程当中，与发展了一套以他们名字命名的散射理论【】，和其它散射理论，】一样，散射理论的目的也是构造波算子、研究散射矩阵的解析性质等，其基础是他们发展起来的出射空间和入射空间的技巧稍微具体地讲，的方法是用以构建具有下面性质的物理系统的散射理论：彤是一个空间，【，（），一是澎中的单参数强连续酉算子群，这个物理系统的演化可以由这个算子群刻画澎中存在两个子空间，分别称为出射和入射空间，它们满足下面的性质：（）（）一，（，：（）（）一（）；（）腺（力乡纩炬（）如果和一是正交的，那么：澎（一）是算子群（力的不变子

4、空间，令（力，这里是从澎到子空间的正交投影算子可以证明【】，算子族（）是上的强连续压缩半群，将它称为半群假设半群（）的生成元是算子曰，那么算子的谱的性质和散射理论中的散射矩阵的解析性质有密切的联系，可以参看【，以及这些文献中列出的其它资料关于散射理论的详细内容可以参看文献，引言硕士论文擗：散射理论是六十年代发展起来的，尔后，的作，】又进一步发展了这一理论然而，【指出，想要将后，做了一系列的工作【，他从算子微分方程百）一朋）（）降力掰【，则可将上面的抽象算子微分方程（）化为下面的形式：罨孑一，一】以其中吲，升我们有必要对算子的谱的性质做一些讨论目前，矩阵中的算子多是全空间（）上的甜算子【，文献】

5、简单地讨论了三维空间中的表示问题，【】处理的是有阻尼的二阶常微分方程，但他们实际上都没有给出确切的谱表示而关于算子的谱理论较维空间的砌算子要清楚，所以受虱，的启发，本文利用近年来关于算子的谱和谱表示的理论来讨论算子的谱表示利用谱表示，我们可以推导一些）于出射入射空间的结论，给出有关抽象理论的一些具体应用硕士论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用共振问题另一方面，在共振的研究中也涉及到了这种矩阵微分算子，共振的严格数学理论发展的时间并不是很长，但是发展很快，关于共振的详细内容可以参考，】，和他们列出的参考文献，以下三方面的工作是本文讨论算子的谱分解的又一动力：在文章【】中证明了在一维情

6、况下，具有快速下降的势函数的算子（即算子）各种共振的定义是一致的这些定义最终都可以用某些边值问题来刻画。与。在【】证明了聊仍）的奇数维情况下，具有紧支撑势的算子一导出的矩阵算子（一三】得到的半群的生成元的特征值与一，的预解式定义的共振点一致，这提供了一种将共振点和某个算子的特征值联系起来的方法、缸等人同样希望用半群的生成元去刻画共振【，】，但是，一方面他们是直接利用系统的算子而不是转化成矩阵（化成矩阵只是解决问题的一种可能性，至于是转化到矩阵算子还是直接用系统的量臀是需要认真考虑的问题），另一方面他们利用了装备空间的理论，但值得注意的是在【曾经指出装备空间的方法对共振问题是否有效也是存有疑问的

7、在上面第、点的启发下，为了迸一步研究一维共振问题，我们有必要研究是半直线的算子的情况下矩阵微分算子的谱的性质及其表示，并预备知识硕士论文希望在后续的工作通过研究半群的生成元而能够得到与瞰】类似的结论，即用边值问题去描述共振，这样可以使实际应用更为方便，这也是物理学家感兴趣的，本文第一部分介绍文章涉及的一些基本知识，主要是稠定闭算子的性质，以及的本性自伴性，第二部分假定是满足（）（【，）和“）陋，），的半直线上的极限点型算子，利用极限点型算子的谱表示给出了的自伴延拓的谱表示（定理，定理），并且利用这个谱表示研究了算子微分方程导出的酉算子群在出射入射空间的作用（定理，定理）预备知识自伴算子谱理论这

8、节介绍有关对称算子的一些有关性质由于闭算子、对称算子、自伴算子的概念在普通的泛函分析的书中都可以找到，这里就不再给出它们的定义，而是着重给出与这些算子的性质有关的定理定理、推论见】的页，定理见【的页，定义和定理见【】的页和页的注定理设；是空间上的稠定算子刚（）为闭算子：）可闭的从要条件是（丁）稠，这对于“；（）若可闭则于推论设是稠定对称算子，赃可闭定理设是对称算子，则下面两条等价；（）自伴；（）是闭算子，且（）硕士论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用定义船是闭算子，玩为勿（）的线性子空问，若图（丁玩）在（）中瓤的图范数稠，则称为的核定理圣丁是稠定闭算子，那么（丁丁）包含丁的一个核下

9、面的定理和推论是关于对称算子的谱的刻画定理设为闭对称算子，（）表昶的谱集合，那么（）只有下列情况：（）闭的上半平面；（）闭的下半平面（）全平面（）实数轴陵上的一个闭集推论设丁为闭对称算子，贝归自伴的充要条件是矿（丁）在上常微分算子谱理论在这里就本文涉及到的常微分算子的理论作介绍，所考虑的只是和本文相关的最简单的内容极限点型算子考虑如下方程（力（）（曲，工，（）】证明了此类方程可以分为极限点和极限圆两类，本文只涉及该方程的极限点的情况定义方程）有两个线性无关序，）解，则称其在无穷远点为极限圆型的，否则称其在无穷远点为极限点型预备知识硕士论文边界条件对方程理论是极为重要的，而微分算子的自伴性可以通

10、过边条件刻画，为了描述微分算子的自伴性，还需要一些其他的概念令，即坳），秽定义；：，）上生成的最大的算子丁（脚定义如下：勿（乃（加）杪，），广（，），一广弘，）（肘），（丁（加）（加限制在”（，）得到的算子的最小闭延拓成为肘在乎假）上生成的最小算子，记为（）对于极限点型算子，它的自伴边界条件有如下刻画：定理设在无穷远为极限点型的，是文的伴延拓，则（）（蚴）吖（）一（）自伴的极限点蚕算子的谱表示下面给出极限点型自伴孤算子的谱表示和特征展开定理假设（，是初始问题瞄），（，抑的解首先给出空间的表示定理定理？存在上的非降函黄劬，称为谱函数，使得对任意盼，），存在，（，），使得。一。穴一：（）（，）和抑

11、。，穴加”八曲抑出即（在，（一，）意义下）硕士论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用（称为韵广义沌变换）并且有恻仨，呻，咔（局哦坶纵玎等式厂（工）姒）（）一”定理（特征展开定理）若，则粤佃卜一衲吲卜。，即在口【，）的意义，叶八力穴抑伙工，）（），一有了前面这两个定理，可以定义如下的等距变换定义对任意盼，），定义，那么是等距算子可以证明还是【，）到砰（一，）的酉算子，即下面的定理定理设砗（一，），则存在丁，），使得，粤佃忙（）（，）删卜。目舰（）（，）出删，即在醇（一，）的意义下，删厂”删厌蹦）出：穴下面给出关于极限点型自伴算子的谱的表示定理和相关推论定理邝谢是（）的自伴延拓，勿（丁）

12、（孔（膨），（）一，（）预备知识贝硕士论文（）（），税，）且（聊（航允）；）（）§弓，）推论航棚和（抑，勿（丁）推论，（谱分解的乘法算子形式）宦时是（）的自伴延拓，则：，）一鬈（一，），（）（是酉算子，而？与鬈（一，）上的乘法算子（），）砑，），砧，勿（）酉等价矩阵微分算子的本性自伴性设浇夕是空间，其上的内积记为（，）第我们考虑抽象算子微分方程”玎一“，“。多纩，其中是彤上的非负自伴算子，定义域为勿（，那么的谱满足（）【，），如果假设岳），那么在其上可以定义范数屹一（，）澎；勿（硕士论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用记勿（在范数”毛下的完备化记为）定义新的空间（：“，掰

13、，。彩，“，纩将算子微分方程化为如下形式：笔芋一，一，】其中（兰小料缆设的定义域勿（）（叨），直和中的第一个旺）应当理解为的子空间，下面是关于的本性自伴性的结论定理是兹中的本性自伴算子，记吼西砜先证明是税中的可闭对称算子对任意的啷纵咧，（：，（：（：，（：一，力劳么，彤，力厶，澎，一（：】，（，即证得是对称算子因为勿（）在鲵中稠密，于是是可闭算子（：】，（：）“：】，（：】。规预备知识硕士论文下面证明己是自伴的令例一（：二小一（）。嚣）！】，（；：。“，“。，而当比取遍了（）时，犯沁取遍澎，围（）（）澎于是（芝“】尺口似，“。，（，“勿。，（二：一（二二（，忍研，“，“，勿。而（）（）形，因此

14、；“胁而一（，可见的值域的第一变元只能是勿（）中的元，于是（）（澎因为是的闭延拓，所以硕士论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用且（一订）在旎中稠密，于是对（：），（：），）（“，（），取遍勿（），则（缆一田，取遍砌，（缆一，于是“，（），同样的，可以证明（：），由定理，自伴口主要结果当一鸟时，的谱表示预备知识中已经给出了自伴性的讨论，从本节开始，我们讨论为特殊的算子的情形，即澎，），算子一萨为驴，）上的算子，势函数留使得是极限点型的，它的边条件具有下面的形式（加）这里（）一厂（）口），（加），），厂加（【，），丫盯铲【，），并且势函数和边条件要使得的谱为矿（）【，），这样的势函数和

15、边条件是存在的并且有具体的例子，例女【】，工口；目（劝，石易；，并附以艺条件，这咖；当（力，工，附以边条件时，更多的例子可以参见【】我们先假受（）【，），这时此和讵的图范数是不同的，而时，此与讵的图范数等价【】琨驴限，的定义如前下面的定理给出算子吼的谱的情况，在证明中利用了极限点型算子的谱表示定理主要结果硕士论文（）扫霹（一，）船（，），委爰。勿（）鬈（一，）砑鬈（一，），硕士论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用协至（）兰于是对任意的（：勿。口限定义编似（，蚓（认叫训）矿（，（）（川）牡矿（）（，。）”诹妇咄，记州卜”期，则妒（力一似一们：缸”“（曲瞰，二），而（，所以（妒（力一（

16、）（，办（矿），将（，（）：的范数记为，那么矿。删伙五。上）（批。上）（驰，上）“力。（曲吣，）抓力）厂”“（工）吠五矿）（）”咔。，伙五矿）和（力即（，州们）主要结果硕士论文另一方面，阶：卜（）（，：）（）（，上）批”眠抽一。批，舶！：俐胁”批，嘞忙（）（，恤旷榔，批聃“惦因此是勿（口（）到编的等距映射，下面证明它是满射设驴编，那么妒（们至半至垒半，矿（曲“（曲（）令丝掣鲤口（工，）和（矿），丝掣吠五，）和（矿）矿、，。、，（）（）、一”¨。”证扣又，“、由编的定义比形矿形”丝与笋旦，拟）。脚（力一卅回驯啾）佃于是（从而驴铋因此是勿（口限）到编的等距同构硕士论文一类矩阵微分算子的谱

17、分解及其对散射理论的应用注意到勿（）在瑰中稠，下面只要证明编在偎，矗“）中稠，则可延拓为缆到弘（酞，“矿）的等距同构在证明之前，我们先简述一下证明的想法由（）和（）式，需要将驴褊分解成一个奇函数和一个偶函数的和，即分解为（）式，相应地，疡也分解成奇函数空间和偶函数空间的直和粥，鹚，同样，我们也将平方可积函数空间限，分解为奇函数构成的空间砰偎，）和偶函数空间鼋皿，）拘直和若磁，在日限，）中稠且鹚（，在鼋假，）中稠，则韶在口，）中稠下面是编在口限，（矿）中稠的证明由确的定义，妒的奇函数部分塑型墨型满足下面的结论：却顸（）令迎裂跚砌佩们蛾瓮一。哆认抑咝亟二鍪二亟！，因为为连续谱，所以（），所以沙在点

18、的取值不影响范数，那么（）就变为沙氓，），坜多（弘（，），于是由定理司得螂，警加咖编卜恸训，（妒（们一（一一）删驴编）（）酽（，）由定理，、亿（）在弘【，）中稠密，于是，（、敏（）在，）中稠密，因此主要结果硕士论文在霹（，）中稠密，注意到认力一烈一的对称性，则可知粥（力一妒（一力¨编）在碍（一，）的全体奇函数空间写皿，）中稠密另一方面，确中全体偶函数空间鹚限制在上构成的集合为（们妒（一矿）妒搦）由（）式和推论可得（力妒（一力）。乡昂）（，）于是鹚中全体函数限制在上构成的集合在鲜（，）中稠密，粥中的偶函数在鼋（，州拘偶函数构成的集合中稠密，因此，编在口但，（力）中稠下面计算的表示，船】

19、（力一打（）（，矿）出一（）（）（，）出（）（，）（）（力巩五。上）矿（。矿吠五。上）。眠沪，州讲可见吼表示为皿，（）的乘法算子注意到函数，在上是连续增长的，因此口限，（）上的乘法算子的谱都是连续谱且为所以吼的谱都是连续谱且为口知道的本性自伴性，利用吼的谱表示给出算子的定义域的刻画硕士论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用推论勿（纯）留（俩，其中劈仇卜”妒锄等棚奇函数，妒参）参：鹭（一，）叫鹭（，），这里积分收敛的是翻的意义下的，记为”妒（坜等和（抛口烛佃妒（怕等和（，勿注事实上若将表示为（）上的乘法算子，则囝是这个乘法算子的定义域证明由定理，（）可以表示为参，于是并且型掣印一）坜型

20、掣删勿从而，令则（厕反之，对任意的（怕，令妒（力一则西勿舭。华眠矿础晚心口瓴矿）出，下面刻画勿（）的第一变元由定理的证明，（吼）的第一变元应该变为中的奇函数，因此设矽是勿中的奇函数，定义什碍【删，痂（力巧【删）注意到似矿）勿兮认）：（怕玩，主要结果硕士论文于是，讨论【，在奇函数上的作用（见（）式）就是对下式赋以新的收敛意义广”则）等妒嘞、，（）注意到掣未必属于【，），由定理，上面的积分交换式（）的定义就成问题了，对上面的变换式赋以新的意义，可以将酉变换表达得更清楚先考虑满足下面条件的函数沙：沙玩，沙口，纠，那么沙共伺、阴任厕：去鬈【）；砂鬈【，）；饭沙鬈【，）于是时”则）等咧）且劳（等，等一崛

21、从而般。以抑等和旺鼯。妖删拟棚。，沙玩，¨骢。峥力等刊卜恐。小驯删，沙慨于是，由收敛原理，¨等在仇中收敛，记为”则等一汹。等吼口硕士论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用定理设互是满足畎均（陋，），的极限点型的自稿算子，那么存在的非降函数使得与砰（一，）的乘法算子勿（），（，）船霹（一，），抛，（）酉等价，从而的谱集为（一，一口】，）并且都是连续谱证明因为矿（【口，），所以（，“）彤（佤，佤）彩于是仇（面，说（词。澎，这时候（）式就可以在旄上定义了：胂矿（）（，）卜批，恤，另外，在口上谱函郯（抑取零，于是相应的函数定义如下：（力，下（），矿诟一牮，矿一垢，证明的其

22、余部分和定理是一样的对出射入射空间的应用由于【】中主要涉及谱下界是零的情况，因此本节只利用定理得到的谱表示研究吼生成的酉算子群在出射和入射空间上的作用，下面的几个命题的结论可以在参考文献【】中找到，那里需要知道算子半群的技巧、方法，这里由于有定理，为了得到下面的结论只需要做积分变换和一些简单的运算势为零的情况考虑下面的边值问题荆。，主要结果硕士论文凇邮鼾讷嗥撇一【三升勰场觚委曼伙，口工）（），工，矿，可以算得谱函数为】和（矿）万记饥生成的酉算子群为肌至（，定义耻印（碥，定理五（肌。二，】力（一仍曲，。，“一磷，（肌瑶力（二曲一（肌：（）（。，】曲力汐。“劝等竽出一”“曲宰，呻沙“（功（）一据折

23、“（工）（）鼹（）（）“（妁（）广”鲫（曲墅尘幽出一。广”（一以力）墅掣出盯旷广、）（一以工一力）坐螋出扎，肛硕士论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用于是哗川功能卜口注从推论可以看到，对中元素的刻画不是直接的这在，也是如此，因此在参考文献中得到的结论虽然比定理全面。但是显得很抽象，而在后面豹结论中定理中的情况已经足够雨我们可以通过对算子的谱表示的研究，通过积分变换，在常微分算子理论下得到定理的结论却不是很困难推论（），（），证明这是定理的直接推论，只需注意到肌瑶（力是光上的酉算子，于是于是证得肌（力，第一个式子的证明只要注意到瓦把函数的支撑平移至，），详细的证明可以参看】入射空间为

24、口吲一习一，院一，伍伽。而具有紧支撑势的情况下面考虑【，】的情况，以记由下面的边值问题主要结果硕士论文导的算子求解初值问题而，沪），（，）（，矿）：可得时的解（，矿）已虮已一栅，其中，一，吠，一）矿（，）伙，矿）矿（，矿）并且可以计算出【】和（）昙而丽妣矿，队记导出的酉算子群为），可以证明】是相应的出射空间，令理戊（），则有下面的结论一卜匕胁（一嚣卜地一碥，证明记那、“【，十）按照定理的证明，只要在谱表示下计算上面算子的作用，并将得到的函数对其偶函数部分和奇函数部分做逆表示既可以得到我们要的结论因此，只要做下面的计算，过程和定理相似卜南研泖矿旷”“毗，矿）出一”（嵋吠五，）。眠。）矿”姒曲（）

25、硕士论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用沙（矿。聊钢叫矿“（力（一一坼矿厂”（）（，（）矿，啼）（广。（妨攀嘶）出（妨掣龇卅出“（砂矿（，）（），呻，叶矿（曲吠，矿）（）广（劝厌，上）（）（工）矿（，）（）一，厂。一“；（畎，）（似茗）亟生垒（矿）出一。叫，咖（嘶卅华（嘶伽出（一。乃功；们，矿，卜娜（一圳力吲叫二卜扎妇倒嘞注这是文献，），的结论那里使用算子半群的理论。在泛函分析的理论下证叨虽简洁但抽象，也看不出势函数支撑的直接影响，而在上面的证明当中只需要将问题换到谱的表示空间上作计算就可以并且可以明显看到一咣生成的半群一蚪、）在上作用之后可将函数都平移到势函数的支撑外丁这样当矸，（傲用到跳上去的时候，谱表示的积分就可以从势函数的支撑外开始即在定理的证明中积分都是“，就是势函数支撑的右端点记珥阢瑶（），注意到忙卜辨勘主要结果硕士论文其中的定义见定理的证明，那么可以得到与推论类似的结论推论舢（）：），）：，证明和出射空间的情况就不再这里重复了，详细的结论和过程可以参考】硕士论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用致谢谨在此对我的导师黄振友副教授致以崇高的敬意和衷心的感谢，从论文选题到论文撰写都得到黄振友老师的悉心指导，特别重要的是在南京理工大学求学的这几年，