考研线性代数讲义-铁军(零财富)

1、2011年万学海文线性代数 主讲 铁军教授 铁军教授简介：著名考研数学辅导专家，近几年在全国各大城市声名鹊起，成为与王式安、赵达夫齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一。铁军教授从事考研数学辅导工作以来，以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度负责的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷。特别是铁军老师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴！2011年，考研竞争空前激烈！万学海文邀请铁军教授亲临面授，为您考研成功保驾护航。您的理想将在您我的共同努力下实现。这是我们的信心，也将是您的

2、信心！ 线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视。线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，主要用证明题的方法技巧来解决计算题。因此，必须掌握证明题的证明技巧，并会在计算题中灵活应用。难点在于线性代数的内容比较抽象，综合性强，特别是关于向量的线性相关性、矩阵的秩与线性方程组的解的结构定理的综合题难度较大，必须突破这一难点。第一章 行列式 行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。【大纲内容】行列式

3、的概念和基本性质；行列式按行（列）展开定理。【大纲要求】了解行列式的概念，掌握行列式的性质。会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。【考点分析】考研试题中关于行列式的题型主要是填空题,纯粹考行列式的题目很少，但行列式是线性代数中必不可少的工具，它在处理以下问题中都有重要应用： 1判定方阵是否可逆以及应用公式求逆矩阵； 2判定个维向量的线性相关性； 3计算矩阵的秩； 4讨论系数矩阵为方阵的线性方程组的解的情况并利用克莱姆法则求方程组的解； 5求方阵的特征值； 6判定二次型及实对称矩阵的正定性。同时，上述内容也可与行列式知识相结合构造新的关于行列式的题型。在复习过程中，请大家注意及

4、时归纳总结。【重要考点】1行列式按行、按列展开公式为： 2两个特殊公式：设是阶方阵，是阶方阵，则 （1） ；（2） 3范德蒙行列式：4余子式和代数余子式的定义，其中的余子式为，的代数余子式为。【典型例题】1. 计算阶行列式2. 阶行列式. 范德蒙行列式：，阶范德蒙行列式的结构特点是每列元素 按的升幂排列，构成一个等比数列。3. 计算四阶行列式.4. 计算四阶行列式 （其中均不为0）5. 计算四阶行列式 形如 的行列式称为三对角型（三斜线形）行列式。三对角型行列式的特点是沿主对角线方向三列元素不为零，其余元素均为零。对于这类三对角型行列式通常可用递推法。6. 计算阶行列式 7五阶行列式 的值为8

5、. 五阶行列式 . 形如的行列式称为箭形、爪形或扇形行列式，其特点是行列式中主对角线上的元素和第一行、第一列上的元素不为零，其余元素均为零。对于箭形、爪形或扇形行列式，可用主对角线上的元素化其为上（下）三角型行列式进行计算。9.计算阶行列式 10. 计算阶行列式11. 计算阶行列式 计算含子块的四分块的分块矩阵的行列式：掌握简化行列式运算的两个重要公式：设是阶方阵，是阶方阵，则 （1）；（2）. 12 计算 13. 计算五阶行列式 14设均是阶矩阵， 则15. 四阶行列式的值等于( )（A） （B）（C）（D） 若行列式中含有变量，则该行列式展开后成为关于的多项式，可考查该多项式的次数、零点等

6、问题。16. 设行列式，则的展开式中，的系数是 ，的系数是 。17. 设行列式 ，则方程的根的个数为（ ）（A）1（B）2（C）3（D）418.设多项式 则的次数至多是（ ）。（A）1（B）2（C）3（D）4 计算代数余子式线性组合的值：1余子式和代数余子式在n阶行列式，余下的元素按原有顺序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记作之前加上符号，称为元素的代数余子式，记作 2代数余子式的性质： （1）和的大小无关；（2） ， （3） （4）的伴随矩阵， 则 由于中的元素为，可先求，再求和 设的特征值为，则 【评注】设，的代数余子式为，则只与的位置有关，而与的大小无关。所以若改变中的值而其他元素不变

7、，则的值不变，因此可用元素置换法计算代数余子式线性组合的值。 19. 设 ，求（1）；（2）.20. 设行列式 ，则第四行各元素余子式之和的值为 。21设是三阶可逆矩阵，的特征值为求的代数余子式之和： 计算抽象矩阵的行列式：主要利用矩阵行列式的性质。 设为阶矩阵，则有（1） （2） （3） （4）设为阶可逆矩阵，则 （5）利用行列式加法运算的性质： 设为维列向量，为维行向量，则 ， 22. 设A为3×3矩阵，把A按列分块为，其中是A的第列，则 。23. 设均为4维列向量，且，则 .24. 设阶矩阵，其中为维列向量。已知行列式，求行列式的值。 25若A是阶方阵，且，证明 . 26设A、

8、B均为阶矩阵，则_第二章 矩阵矩阵是线性代数的主要研究对象，有着广泛的应用。矩阵考试的重点是：矩阵的乘法运算，逆矩阵，伴随矩阵，初等矩阵。以计算题为主，技巧性强。【大纲内容】矩阵的概念；矩阵的线性运算；矩阵的乘法；方阵的幂；方阵乘积的行列式；矩阵的转置；逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充分必要条件；伴随矩阵；矩阵的初等变换；初等矩阵；矩阵的等价；矩阵的秩；初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法；分块矩阵及其运算。【大纲要求】掌握矩阵的概念和矩阵的各种运算，特别是矩阵的乘法、矩阵的转置、逆矩阵、方阵的行列式等。要掌握它们的运算规律、逆矩阵的性质及矩阵可逆的充分必要条件，会用各种方法求出矩阵的逆矩阵，矩阵

9、的初等变换是研究矩阵各种性质和应用矩阵解决各种问题的重要方法，因此必须掌握矩阵的初等变换，会用初等变换解决有关问题。【考点分析】矩阵乘法有分配律，结合律，但是没有交换律，没有消去律。1.矩阵乘法运算一般不满足交换律，即，因此要注意运算次序。2.一般地，或，；3.，除非A是列满秩矩阵4.5.设，其中均为维行向量，即，则非零阵A可表为的形式的充要条件为：秩。注意：与相关的问题，是考研数学中常见题型。【典型例题】 计算阶矩阵的高次幂是一种重要题型，包括：（1） 计算一般矩阵的高次幂；（2） 计算能分解为一个列向量与一个行向量乘积的矩阵的高次幂； （3） 计算分块对角矩阵的高次幂：设 ，则 （4）计算

10、能相似对角化的矩阵的高次幂1设，而为正整数，则.2设, ，令，求。3已知，则,.4已知，设，则 5设维行向量，矩阵，其中为阶单位矩阵，则AB等于（ ）（A）O（B）（C）（D） 6设，若存在秩大于的三阶矩阵，使得，则 7设，求。 逆矩阵与伴随矩阵： 1. 求逆矩阵方法：用初等变换（不能行、列变换混用） ， 2. 矩阵A可逆的充要条件：（1）存在阶方阵B，使（2）（3）秩（A为阶方阵）（4）A与同阶单位矩阵E等价（5）A可以表示成若干个初等矩阵的乘积（6）齐次线性方程组只有零解（7）对任意维列向量，非齐次线性方程组有唯一解。（8）A的行（列）向量组线性无关。（9）A的特征值均不为3. 逆矩阵常用

11、公式：（1）（2）（3）（4）（5）4. 思维定势：（1）题设条件与有关，则立即联想到用公式（2）若涉及到A、B是否可交换，即，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析 （3）若题设阶方阵A满足，要证可逆，则先分解出因子再说。 5.伴随矩阵的主要定理和公式 （1） （2） （3） （4）（为常数，A为阶矩阵，） （5）（A为阶矩阵，） （6）（A为任阶矩阵，） （7） （8）（9）设A是阶矩阵，则 8设A为阶非零矩阵，证明当时，A可逆。9设维向量；E为阶单位矩阵，矩阵，其中A的逆矩阵为B，则。10设阶可逆矩阵A中每行元素之和均为常数。证明：（1）常数 （2）的每行元素之和均为。11 设A、B均为阶方阵

12、，且。 证明：（1）；（2）.12已知可逆，试证也可逆，并求 .13设A是阶方阵，且，则（ ） （A）A不可逆，且不可逆； （B）A可逆，但E+A不可逆；（C）及均可逆；（D）A不可逆，且必有.14已知A、B为3阶矩阵，且满足，其中E是3阶单位矩阵。（1）证明：矩阵A-2E可逆；（2）若，求矩阵A .15设矩阵A、B满足，其中，E为单位矩阵，为的伴随矩阵，则B=_。16已知三阶矩阵A的逆矩阵，试求。17 设矩阵，矩阵满足，求矩阵。18. 设矩阵A= 满足，其中是A的伴随矩阵，为A的转置矩阵. 若为三个相等的正数，则为( )(A) . (B) 3. (C) . (D) . 1. 只要把子块或子矩

13、阵当做通常的矩阵元素，分块矩阵的加、减、乘法、数乘与转置等运算就与通常矩阵的相应运算基本相同。2. 设A、B均为可逆方阵，则 。19 设A为阶非奇异矩阵，为维列向量，为常数，记分块矩阵，其中是矩阵A的伴随矩阵，I为阶单位矩阵。（1）计算并化简PQ（2）证明：矩阵Q可逆.20设A、B为阶矩阵，分别为、对应的伴随矩阵，分块矩阵，则C的伴随矩阵（ ）。（A）（B）（C）（D） 初等矩阵与初等变换：1. 单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 2. 对应于三种初等变换的三种初等矩阵为：（1）：交换E的两行或两列得到（2）：非零常数乘的i行或i列得到；（3）：E的行（列）的倍加到i行（列）.

14、3.初等矩阵的逆矩阵：（1）（2）（3）4.（1）初等矩阵P左乘A所得PA就是A作了一次与P同样的初等行变换。 （2）初等矩阵P右乘A所得AP就是A作了一次与P同样的初等列变换。21计算.22设A是阶可逆矩阵，将A的第行与第行对调后得到的矩阵记为B，证明B可逆，并求。23设，其中A可逆，则等于（ ）（A） （B） （C）（D） 24设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则（ ）(A) 交换的第1列与第2列得. (B) 交换的第1行与第2行得. (C) 交换的第1列与第2列得.(D) 交换的第1行与第2行得. 第三章 向量 本章是考研复习的重点，也是难

15、点。一定要吃透线性相关、线性无关的概念、性质和判别法，并能灵活运用。熟记一些常见结论，并能将线性相关、线性无关的概念与矩阵的秩、线性方程组的解的结构定理进行转换、连接，开阔思路，提高综合能力。【大纲内容】向量的概念;向量的线性组合和线性表示；向量组的线性相关与线性无关；向量组的极大线性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。数学一还要求掌握：向量空间以及相关概念；n维向量空间的基变换和坐标变换；过渡矩阵；向量的内积；线性无关向量组的正交规范化方法；规范正交基；正交矩阵及其性质。【大纲要求】理解n维向量的概念、向量的线性组合与线性表示；理解向量组线性相关与线性无关的概念；

16、了解并会用向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法，会求向量组的极大线性无关组和向量组的秩；了解向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，会用矩阵的秩解决有关问题。数学一还要求：了解n维向量空间、基、维数、坐标等概念，会求基变换的过渡矩阵，并通过过渡矩阵求向量在新、旧基下的坐标；了解内积的概念，掌握向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法，以及正交矩阵的概念与性质。【考点分析】判别向量组线性相关、线性无关的方法： 1定义法：（1）若存在不全为0的数，使，则线性相关；（2）令而，则线性无关。定义法的关键是恒等变形。 2思维定势：（1）若要证明向量组线性无关，先考虑用定义再说； （2）若已知条件涉及

17、线性相关的话，先用定义处理一下再说。 3利用向量组的秩： （1）当秩（）时，向量组线性相关； （2）当秩（）时，向量组线性无关。 4利用矩阵的秩： 设向量组线性无关，向量组可用线性表示。且有矩阵A，使得 则（1）秩=秩A （2）向量组线性无关秩。 5利用行列式：设为阶方阵。当时，维向量组 线性相关；当时，维向量组线性无关。 6利用线性表示： （1） 向量组线性相关至少存在一个向量可以用其余向量线性表示； （2） 若向量组线性无关，而向量组线性相关，则能由线性表示，且表示式是唯一的。 （3）若可由线性表示且，则线性相关。简记为：多数向量能用少数向量表示，则线性相关。 （4）逆否命题：若可由线性表

18、示，且线性无关，则必有。 7利用定理： （1）任个维向量必线性相关；（2）若向量组的一个部分组线性相关，则向量组亦线性相关；反之，若线性无关，则它的任一部分组都线性无关。 此定理简记为：部分组线性相关，则整体组线性相关；整体组线性无关，则其任一部分组也线性无关。 （3）设是维向量，是维向量，令 ，其中是维向量。通常称是向量组的延伸组；称为的缩短组。若缩短组线性无关，则延伸组也线性无关；若延伸组相关，则缩短组也线性相关。 （4）相同结论：对线性无关向量组中每个向量在相同位置上任意添加分量，所得向量组仍线性无关；对线性相关向量组中每个向量去掉相同位置上的分量，则所得向量组仍线性相关。 8用反证法；

19、 9用观察法； 10向量组线性无关对任意一组不全为0的数，都有。【典型例题】1设向量组线性无关，则（ ）（A），线性无关；（B），线性无关；（C），线性无关；（D），线性无关。2. 设向量组I：可由向量组：线性表示，则（ ）。（A）当时，向量组必线性相关；（B）当时，向量组必线性相关；（C）当时，向量组I必线性相关；（D）时，向量组I必线性相关。3. 对任意实数，线性无关的向量组是（ ）。（A），；（B），；（C），；（D），.4设A是阶矩阵，是维列向量，且，。证明：线性无关。5. 设向量组线性相关，则参数 。6.设三阶矩阵三维向量。已知与 线性相关，则 。7. 设向量组线性无关，若向量组也线

20、性无关，则参数满足的条件是 。8 设在向量组中，且每一个都不能由线性表示。证明：此向量组线性无关。9 设向量组线性相关，向量组线性无关。问：（1）能否由线性表出？证明你的结论；（2）能不由线性表出？证明你的结论。10 若向量组线性无关，线性相关，则（ ）。（A）必可由线性表示。（B）必不可由线性表示。（C）必可由线性表示。（D）必不可由线性表示。11. 设向量可由向量组线性表示，但不能由线性表示。证明：（1）不能由线性表示。 （2）能由线性表示。12. 设向量可由向量组线性表示，但不能由向量组（I）：线性表示，记向量组（）：，则（ ）（A）不能由（I）线性表示，也不能由（）线性表示。（B）不能

21、由（I）线性表示，但可由（）线性表示。（C）可由（I）线性表示，也可由（）线性表示。（D）可由（I）线性表示，但不可由（）线性表示。 1判别“是否可以由线性表示？表示法是否唯一？”，这就是问：向量方程，是否有解？解是否唯一？这个向量方程用分量写出来就是以为增广矩阵的线性方程组。具体解法是：作初等变换，由计算系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等来判定。当秩=秩时，即秩相等时，可由线性表示。2 维向量可由线性表示秩=秩；维向量不可由线性表示秩=秩。3维列向量组与等价的充要条件为 ，其中 4设为矩阵，则元齐次线性方程组有有非零解秩A的列向量组线性相关只有零解秩A的列向量组线性无关 5设为矩阵，为维非零

22、列向量，令，则元非齐次线性方程组有：无解秩不能由A的列向量组线性表出有唯一解秩可由A的列向量组唯一表出有无穷多解秩A=秩可由A的列向量组线性表出，但表示法不唯一 13确定常数a,使向量组 可由向量组线性表示，但向量组不能由向量组线性表示.14. 已知向量组及向量组.若可由线性表示，判断这两个向量组是否等价？并说明理由。15已知两个向量组与，问取何值时，两个向量组等价？并写出等价时的线性表示式。 1. 最大线性无关组：设有向量组A，如果在A中能选出r个向量，满足（1）线性无关，（2）向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量）都线性相关，则称向量组是向量组A的一个最大线性无关组，简称最大

23、无关组。一般来说，向量组的最大线性无关组不是惟一的，但这些最大线性无关组是等价的，从而每个最大线性无关组中所含向量的个数都是r，即个数r是由原向量组惟一确定的。2 向量组的秩：向量组的最大线性无关组中所含向量的个数称为该向量组的秩。只含零向量的向量组没有最大线性无关组，规定它的秩为0。若向量组B能由向量组A线性表出，则向量组B的秩不大于向量组A的秩。因此，等价的向量组有相同的秩。3 向量组的秩与矩阵的秩的关系：矩阵A的行向量组的秩=矩阵A的列向量组的秩=矩阵A的秩。因此，求向量组的最大线性无关组和向量组的秩时，可把此向量组的向量作为列（行）向量构成矩阵，再由矩阵的初等行（列）变换化成行（列）阶

24、梯形或行（列）最简形矩阵的方法解之。16. 设向量组问： 线性表出；为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个最大线性无关组。17. 已知向量组，与向量组，具有相同的秩，且可由线性表示， 求的值。18设向量组线性无关，已知，。（1）试求秩（）（2）试求向量组的一个极大无关组。 1秩中至少存在一个阶非零子式，且A中所有阶子式全为0。2设A为矩阵，则。3秩A=秩4设A、B均为矩阵，则56若A可逆，则秩（AB）=秩B；若B可逆，则秩（AB）=秩A。7设A为矩阵，秩，则存在阶可逆阵P及阶可逆阵Q，使 ，称为A的等价标准形。8设A为矩阵，B为矩阵，若，则。9设A为矩阵，B为矩阵，则。19. 若

25、矩阵和的秩分别为和，则矩阵的秩不大于，其中E是单位阵。20. 设线性方程组的系数矩阵为A，3阶矩阵，且，试求的值。21. 已知，为阶非零矩阵，且满足是，则（ ）（A）时，的秩必为1；（B）时，的秩必为2；（C）时，的秩必为1；（D）时，的秩必为2。22.设，B为3阶非零矩阵，且，则 _。23. 设A、B、C分别是，和矩阵，且，。证明：当时，必有。24. 设A、B都是阶非零矩阵，且，则A和B的秩（ ）。（A）必有一个等于零（B）都小于。（C）一个小于，一个等于（D）都等于.25. 设A、B是阶矩阵，且。证明： .26. 已知阶方阵A的秩为，则秩_。27. 设三阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩为1，则必

26、有（ ）。（A）或； （B）或；（C）且； （D）且.28. 设A是阶实矩阵，证明：（1）齐次线性方程组与同解；（2）.29. 设A为阶实矩阵，是A的转置矩阵，则对于线性方程组（I）：和（）：，必有（ ）（A）（）的解是（I）的解，（I）的解也是（）的解；（B）（）的解是（I）的解，但（I）的解不是（）的解；（C）（I）的解不是（）的解，（）的解也不是（I）的解；（D）（I）的解是（）的解，但（）的解不是（I）的解。 向量空间：1维向量的全体所构成的集合称为维向量空间。 2设是维向量的非空集合，若 （1），必有。 （2）及任一实数必有，则称是维向量空间的子空间，简称向量空间。 3设是向量空间，

27、若中个向量满足： （1）线性无关 （2），均有，即可由 线性表出，则称是的一个基，称为的维数，向量的表示系数称为在下的坐标。 4设是元齐次线性方程组的解向量的集合，根据齐次线性方程的性质，若是的解向量，则是的解向量，所以是维向量空间的子空间，常称为的解空间，而基础解系就是解空间的一个基，所以解空间的维数是（秩A）。 5设与是维向量空间的两个基，且则其中，称C为由基到基的过渡矩阵，且该矩阵C为可逆矩阵。6由向量组生成的向量空间为，且的维数等于的秩。 7设维向量空间有两组基及，且，则坐标变换公式为，其中C为由基到基的过渡矩阵。 8若维向量非零且两两正交，则线性无关。 9若是规范正交基，设，则是标准

28、正交基为正交矩阵。 10施密特正交化方法（线性无关向量组的正交规范化） 设是一组线性无关的向量，则可用下述方法把规范正交化。令则两两正交且与等价。再把单位化：令30. 已知向量组， 所生成的向量空间的维数是2，_。31. 设中的向量在基下的坐标为而在基 下的坐标为且则由基到基的过渡矩阵_。32. 设，且方程组的解空间的维数为2，则 _。33求齐次线性方程组解空间的规范正交基。第四章 线性方程组 线性方程组的理论及其解法是线性代数的重要内容之一。线性方程组有三种等价形式：线性方程组形式，矩阵方程形式，向量的线性组合方程形式，在讨论相关问题时可以相互转换。本章的题型均围绕线性方程组的解的结构和性质

29、进行命题，历年的真题灵活多变，题目众多，是复习中最好的资料。【大纲内容】线性方程组的克莱姆（Cramer）法则；齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；非齐次线性方程组有解的充分必要条件；线性方程组解的性质和解的结构；齐次线性方程组的基础解系和通解；非齐次线性方程组的通解。【大纲要求】理解齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的充分必要条件；理解齐次线性方程组的基础解系、通解和解空间的概念；掌握非齐次线性方程组的解集的结构；掌握用初等行变换求齐次和非齐次线性方程组的通解的方法。【考点分析】1根据克莱姆法则可知：（1）若线性方程组Ax=b无解或有无穷多组解，则该方程组的系数行列式必为零，即|

30、A|=0；（2）当b=0，即为齐次线性方程组Ax=0时，它有非零解的充分必要条件是A的行列式|A|=0。2齐次线性方程组Ax=0（其中A是矩阵）解的性质：（1）若是齐次线性方程组的解，则也是该齐次方程组的解；（2）若是齐次线性方程组的解，k为任意实数，则也是该齐次方程组的解。（3）齐次线性方程组Ax=0必有解，至少x=0是它的解，称为零解。其仅有零解的充分必要条件是。Ax=0有非零解的充分必要条件是特别地，若，则Ax=0必有非零解。3. 向量组称为的基础解系，如果：（1）是的解（2）线性无关（3）的任一解都可由线性表出。的基础解系中向量个数为-秩A。4判定向量组是的基础解系的条件为：（1）是的

31、解（2）线性无关（3）秩A5非齐次线性方程组有解【典型例题】1. 设方程组有无穷多解，则_。2. 已知4阶方阵，均为4维列向量，其中线性无关，。如果，求线性方程组的通解。3. 证明：对任意阶实矩阵A，一定有解，其中，。4. 设A是矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有（ ）。（A）如果，则有非零解（B）如果秩，则有非零解（C）如果A有阶子式不为0，则有唯一解（D）如果A有阶子式不为0，则只有零解。5. 设A是阶矩阵，是维列向量，若秩秩A，则线性方程组（ ）。（A）必有无穷多解（B）必有唯一解（C）仅有零解（D）必有非零解6设向量组是齐次线性方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，即。试证明：向量

32、组线性无关。7设四元非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为3，且它的三个解满足，则的通解为_。8已知，是方程组的三个解，求此方程组的通解。9已知线性方程组 （1）满足何种关系时，方程组仅有零解？（2）满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。10设 是维实向量，且线性无关，已知是线性方程组的非零解向量，试判断向量组的线性相关性。11已知齐次线性方程组（I）的解都满足方程，求和方程组（I）的通解。12已知，是齐次线性方程组（I）的基础解系，是齐次线性方程组（）的基础解系，求齐次线性方程组（I），（）的公共解。13 已知齐次线性方程组，其中，试讨论和满足何种关系时（1）方程组仅有零解

33、（2）方程组有非零解。在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。14设齐次线性方程组的系数矩阵为A，且3阶非零矩阵B满足，试求及的值。15已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.16设，。则3条直线（其中，）交于一点的充要条件是（ ）（A）线性相关；（B）线性无关；（C）秩；（D）线性相关，线性无关。第五章 特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量问题是线性代数的主要研究对象之一，它不仅在理论上有重要意义，而且在工程技术的实际应用中也起着重要的作用。本章主要包括特征值与特征向量的计算及证明与相似矩阵及矩阵对角化。本章是数学一、二、三均包括的重点

34、内容，应予以高度重视。【大纲内容】矩阵的特征值和特征向量的概念、性质及求法；相似变换、相似矩阵的概念及性质；矩阵可对角化的充分必要条件及相似对角矩阵；实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵。【大纲要求】理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量；了解相似变换、相似矩阵的概念及性质，掌握矩阵可相似对角化的充分必要条件及其方法；了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，掌握用正交相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法。【考点分析】1设A为阶方阵，若存在数与非零的维列向量，使，则称是方阵A的特征值，称为A的对应于特征值的特征向量。2及均称为方阵A的特征多项式，而方程及均称为A的特征方程。3性质定理：设是阶方阵A的特征值，则（1）（2）（3）若，则与对应的特征向量与线性无关。（