数学建模系列-常用模型

1、数学建模常用模型数学建模常用模型问题问题1 1 选择旅游地选择旅游地 现有三个旅游胜地可供选择，分别为苏现有三个旅游胜地可供选择，分别为苏杭、黄山、桂林，下面将作出旅游地的选杭、黄山、桂林，下面将作出旅游地的选择。择。 面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法解决问题带来不便。解决问题带来不便。T.L.saatyT.L.saaty等人等人2020世纪在七十年代提出了世纪在七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。一种能有效处理这类

2、问题的实用方法。 层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)Analytic Hierarchy Process, AHP)这是这是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发展的

3、系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析的数学工具之一。的数学工具之一。层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤1 1 建立层次结构模型建立层次结构模型 一般分为三层，最上面为目标层，最下一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。面为方案层，中间是准则层或指标层。 若上层的每个因素都支配着下一层的所有因若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。构，否则称为不完全层次结构。选择旅游地景色费用居住饮食旅途苏杭、

4、黄山、桂林建立选择旅游地层次结构建立选择旅游地层次结构 准则层准则层A A 方案层方案层B B目标层目标层Z ZZ1A2A3A4A5A1B2B3B54321,AAAAA321,BBB分别分别表示景色、费用、分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。居住、饮食、旅途。分别表示苏杭、黄山、桂林。分别表示苏杭、黄山、桂林。 设某层有个因素，设某层有个因素，n nxxxX,21 ijaijjiijaa1 nnnnnnnnijaaaaaaaaaaA212222111211An2 2 构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定要比较它们对上一层某一准则（或目标）的

5、影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把个因素对上在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把个因素对上层某一目标的影响程度排序）层某一目标的影响程度排序）用用 表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则则称为成对比较矩阵。则称为成对比较矩阵。上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1919尺度。尺度。 旅游问题中，第二层旅游问题中，第二层A A的各因素对目标层的各因素对目标层Z Z的影响的影响两两比较结果如下：两两比较结果如下：Z ZA A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A A5 5A A1

6、 1A A2 2A A3 3A A4 4A A5 511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/531154321,AAAAA分别表示分别表示景色、费用、景色、费用、居住、饮食、居住、饮食、旅途。旅途。由上表，可得成对比较矩阵由上表，可得成对比较矩阵 1135131112513131211714155712334211A旅游问题的成对比较矩阵共有旅游问题的成对比较矩阵共有6 6个（一个个（一个5 5阶，阶，5 5个个3 3阶）。阶）。问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上层某因素的影响程度的排序结果

7、呢？层某因素的影响程度的排序结果呢？3 层次单排序及一致性检验层次单排序及一致性检验nnwww,21 层次单排序：层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。例如例如 一块石头重量记为一块石头重量记为1 1，打碎分成，打碎分成 各小块，各块的重量各小块，各块的重量分别记为：则可得成对比较矩阵则可得成对比较矩阵 11121212121wwwwwwwwwwwwAnnnn由右面矩阵可以看出，由右面矩阵可以看出，jkkijiwwwwww 即，即

8、，nji, 2 , 1,1321231321234, 2, 7aaaaaa Aijkjikaaa ijkjikaaa Anjiaaaiijiij,2, 1, 1,1 .1 1 . 2ArankA的各行成比例，则但在例但在例2的成对比较矩阵中，的成对比较矩阵中，在正互反矩阵在正互反矩阵 中，若中，若 则称则称 为一致阵。为一致阵。一致阵的性质：一致阵的性质：。特征根均等于个其余的最大特征根（值）为0 1, . 3n-n AA4. 4. 的任一列的任一列( (行行) )都是对应于特征根都是对应于特征根 的特征向量。的特征向量。n若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最若成对比较矩阵是一致阵，

9、则我们自然会取对应于最大特征根大特征根 的归一化特征向量的归一化特征向量 定理：定理： 阶互反阵阶互反阵 的最大特征根的最大特征根 ，当且仅当当且仅当 时，时， 为一致阵。为一致阵。Annwww,2111 niiwiwinnn A表示下层第表示下层第 个因素对上层某因素影响程度的权值。个因素对上层某因素影响程度的权值。 若成对比较矩阵不是一致阵，若成对比较矩阵不是一致阵，SaatySaaty等人建议用其最大等人建议用其最大特征根对应的归一化特征向量作为权向量特征根对应的归一化特征向量作为权向量 ，则，则wwwAnwww,21w这样确定权向量的方法称为特征根法这样确定权向量的方法称为特征根法.

10、.1nnCI由于 连续的依赖于 ，则 比 大的越多， 的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 数值的大小来衡量 nijanAA的不一致程度。定义一致性指标一致性指标其中 为 的对角线元素之和，也为 的特征根之和。AnARI50021,AAA50021,CICICI15005005002150021nnCICICIRI则可得一致性指标 定义随机一致性指标随机一致性指标随机构造500个成对比较矩阵随机一致性指标 RI 的数值：n1 234567891011RI0 00.580.901.121.241.

11、321.411.451.491.511 .0RICICRAA一致性检验一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.1及随机一致性指标的数值表，对 进行检验的过程。 一般，当一致性比率 的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对 加以调整。时，认为A4 4 层次总排序及其一致性检验层次总排序及其一致性检验 确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，过程，称为层次总排序层次总排序 从最高层到最低层逐层进行。设： Z1A2AmA1B2BnB,21mAAAmA个因素层对总目标对总目标Z Z的排序为的排

12、序为maaa,21jAAnB中因素为个因素对上层层的层次单排序为的层次单排序为), 2 , 1( ,21mjbbbnjjj即 层第 个因素对总目标的权值为：BnmmnnnmmmmbababaBbababaBbababaB22112222211211221111:Bimjijjba1层的层次总排序为：B层的层次总排序mAAA,21maaa,21nBBB2112111nbbb22212nbbbnmmmbbb21AB111bbamjjj212bbamjjjnmjnjjbba1层次总排序的一致性检验层次总排序的一致性检验设 层 对上层( 层)中因素 的层次单排序一致性指标为 ，随机一致性指为 ，则层次

13、总排序的一致性比率为：BnBBB,21A), 2 , 1(mjAjjCIjRImmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR221122111 . 0CR当 时，认为层次总排序通过一致性检验。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。1.1.建立层次结构模型建立层次结构模型 该结构图包括目标层，准则层，方案层。层次分析法的基本步骤基本步骤归纳如下3.计算单排序权向量并做一致性检验计算单排序权向量并做一致性检验2.构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵从第二层开始用成对比较矩阵和19尺度。对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性

14、检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。计算最下层对最上层总排序的权向量。4.4.计算总排序权向量并做一致性检验计算总排序权向量并做一致性检验1 . 0CRCR进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率 较大的成对比较矩阵。mmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR22112211利用总排序一致性比率三三 层次分析法建模举例层次分析法建模举例Z1A2A3A4A5A1B2B3B54321,AAAAA321,BBB1 1 旅游问题旅游问题(1)建模分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途

15、。分别表示苏杭、黄山、桂林。 （2）构造成对比较矩阵1135131112513131211714155712334211A1215121215211B1383113813112B131313113113B114111314314B144411141115B(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验A073. 5110. 0 ,099. 0 ,055. 0 ,475. 0 ,263. 0018. 0155073. 5CI12. 1RI1 . 0016. 012. 1018. 0CRA成对比较矩阵 的最大特征值表明 通过了一致性验证。故则该特征值对应的归一化特征向量 对成对比较矩阵 可以求层次总排序

16、的权向量并进行一致性检验，结果如下： 54321,BBBBBk1k2k3kkkCIkRI12345595. 0082. 0429. 0633. 0166. 0277. 0236. 0429. 0193. 0166. 0129. 0682. 0142. 0175. 0668. 0005. 3002. 33009. 33003. 0001. 000005. 058. 058. 058. 058. 058. 0计算 可知 通过一致性检验。kCR54321,BBBBB对总目标的权值为：1B3 . 0110. 0166. 0099. 0633. 0055. 0429. 0475. 0082. 0263.

17、 0595. 032,BB,456. 0 ,246. 0456. 0 ,246. 0 , 3 . 01 . 0015. 058. 0/)0110. 0005. 0099. 00055. 0001. 0475. 0003. 0263. 0(CR（4）计算层次总排序权值和一致性检验又决策层对总目标的权向量为：同理得， 对总目标的权值分别为：故，层次总排序通过一致性检验。可作为最后的决策依据。456. 0 ,246. 0 , 3 . 0213BBB321,BBB故最后的决策应为去桂林桂林。又 分别表示苏杭、黄山、桂林，即各方案的权重排序为丁的蛙泳成绩退步到丁的蛙泳成绩退步到115”2；戊的自由泳成绩

18、进；戊的自由泳成绩进步到步到57”5, 组成接力队的方案是否应该调整组成接力队的方案是否应该调整？如何选拔队员组成如何选拔队员组成4 4 100100米混合泳接力队米混合泳接力队? ?问题二问题二 混合泳接力队的选拔混合泳接力队的选拔 甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊蝶泳蝶泳106”857”2118”110”107”4仰泳仰泳115”6106”107”8114”2111”蛙泳蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳自由泳58”653”59”457”2102”45名候选人的名候选人的百米成绩百米成绩穷举法穷举法：组成接力队的方案共有组成接力队的方案共有5!=120种种。目标目标函数函数若选

19、择队员若选择队员i参加泳姿参加泳姿j 的比赛，记的比赛，记xij=1, , 否则记否则记xij=0 0-1规划模型规划模型 cij( (秒秒) )队员队员i 第第j 种泳姿的百米成绩种泳姿的百米成绩约束约束条件条件每人最多入选泳姿之一每人最多入选泳姿之一 ciji=1i=2i=3i=4i=5j=166.857.2787067.4j=275.66667.874.271j=38766.484.669.683.8j=458.65359.457.262.44151jiijijxcZMin每种泳姿有且只有每种泳姿有且只有1 1人人 5, 1, 141ixjij4, 1, 151jxiij模型求解模型求解

20、 最优解：最优解：x14 = x21 = x32 = x43 = 1, 其它变量为其它变量为0;成绩为成绩为253.2( (秒秒) )=413”2 MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 + +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54SUBJECT TO x11+x12+x13+x14 =1 x41+x42+x43+x44 =1 x11+x21+x31+x41+x51 =1 x14+x24+x34+x44+x54 =1END INT 20 输入输入LINDO求解求解 甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊蝶泳蝶泳106”857”2118”110”107”4仰泳仰泳

21、115”6106”107”8114”2111”蛙泳蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳自由泳58”653”59”457”2102”4甲甲 自由泳、乙自由泳、乙 蝶泳、蝶泳、丙丙 仰泳、丁仰泳、丁 蛙泳蛙泳. .丁蛙泳丁蛙泳c43 = =69.675.2，戊自由泳，戊自由泳c54= =62.4 57.5, , 方案是否调整？方案是否调整？ 乙乙 蝶泳、丙蝶泳、丙 仰泳、仰泳、丁丁 蛙泳、戊蛙泳、戊 自由泳自由泳最优解：最优解：x21 = x32 = x43 = x51 = 1, 成绩为成绩为417”7 c43, c54 的新数据重新输入模型，用的新数据重新输入模型，用LIN

22、DO求解求解 指派指派( (Assignment) )问题问题：每项任务有且只有一人承担，每项任务有且只有一人承担，每人只能承担一项每人只能承担一项，效益不同，怎样分派使总效益最大，效益不同，怎样分派使总效益最大. 讨论讨论甲甲 自由泳、乙自由泳、乙 蝶泳、蝶泳、丙丙 仰泳、丁仰泳、丁 蛙泳蛙泳. .原原方方案案（一）（一）Malthus模型模型（三）传染病模型（房室模型）（三）传染病模型（房室模型）（二）（二）Logistic模型模型模型模型1 1 马尔萨斯（马尔萨斯（MalthusMalthus）模型）模型 马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的

23、资料后发现，人口净增长率口净增长率r r基本上是一常数，（基本上是一常数，（r r= =b b- -d d, ,b b为出生率，为出生率，d d为死为死亡率），即：亡率），即： 1 dNrN dtdNrNdt或或 （1） 0()0( )r t tN tN e（2） （1）的解为的解为：其中其中N0=N(t0)为初始时刻为初始时刻t0时的种群数。时的种群数。 马尔萨斯模型的一个显著特点马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的种群数量翻一番所需的时间是固定的。令种群数量翻一番所需的时间为令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：，则有： 002rTNN eln2Tr故故模型检验模型

24、检验 比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为年世界人口数为30.6 （即（即3.06109），人口增长率约为），人口增长率约为2%，人口数大约每，人口数大约每35年增加一倍。检查年增加一倍。检查1700年至年至1961的的260年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每模型计算，人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。年增加一倍，两者也几乎相同。 1950200

25、0205021002150220000.511.522.533.5x 1011t/年N/人马 尔 萨 斯 模 型 人 口 预 测模型预测模型预测 假如人口数真能保持每假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达年，人口达21014个，个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，平方英尺的活动范围，而到而到2670年，人口达年，人口达361015个，只好一个人站在另一人的个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。肩上排成二层了。 故故马尔

26、萨斯模型是不完善的。马尔萨斯模型是不完善的。几何级数的增长MalthusMalthus模型实际上只有在群体总数模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现等原因，就可能发生生存竞争等现象。象。所以所以MalthusMalthus模型假设的人口模型假设的人口净净增长率不可能始终保持常数，增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。它应当与人口数量有关。模型模型2 Logistic2 Logistic模型模

27、型 人口净增长率应当与人口数量有关，即：人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N) 从而有从而有：()dNr N Ndt（3）r( (N N) )是未知函数，但根是未知函数，但根据实际背景，它无法用据实际背景，它无法用拟合方法来求拟合方法来求 。为了得出一个有实际意义为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简型时，总是采用尽可能简单的方法。单的方法。 r(N)最简单的形式是常数，此最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。时得到的就是马尔萨斯模型。

28、对马尔萨斯模型的最简单的改对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）进就是引进一次项（竞争项） 对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(N)=r-aN 此时得到微分方程：此时得到微分方程： ()dNraN Ndt(1)dNNrNdtK或或（4）（4 4）可改写成：可改写成： ()dNk KN Ndt（5） (5)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降

29、及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为的种群数量的上界为K（近似地将（近似地将K看成常数），看成常数），N表示当前的种群数量，表示当前的种群数量，K-N恰为环境还能供养的种群数量，（恰为环境还能供养的种群数量，（5）指出，种群增长率与两者的乘）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（5）也）也被称为统计筹算律的原因。被称为统计筹算律的原因。 对对（5 5）分离变量：分离变量：11d

30、NkKdtNKN两边积分并整理得：两边积分并整理得： 1kKtKNCe令令N(0)=N0，求得：，求得： 00KNCN故故（5 5）的满足初始条件的满足初始条件N(0)=N0的解为：的解为： 000( )()kKtN KN tNKN e（6）易见：易见： N(0)=N0 ，lim( )tN tKN(t)的图形请看图的图形请看图 模型检验模型检验 用用LogisticLogistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？模型来描述种群增长的规律效果如何呢？19451945年克朗皮克（年克朗皮克（CrombicCrombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数学生物学

31、家高斯（学生物学家高斯（E EF FGaussGauss）也做了一个原生物草履虫实验，）也做了一个原生物草履虫实验，实验结果都和实验结果都和LogisticLogistic曲线十分吻合。曲线十分吻合。 大量实验资料表明用大量实验资料表明用LogisticLogistic模型来描述种群的增长，效模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高斯果还是相当不错的。例如，高斯把把5只草履虫放进一个盛有只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量的速率增长，此后增长

32、速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的的LogisticLogistic曲线：曲线： 几乎完全吻合，见图几乎完全吻合，见图2.309375( )174tN teMalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型的总结模型的总结 MalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型模型均为对微分方程所作的模拟近似方程。前均为对微分方程所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率一模型假设了种群增长率r为一常数，（为一常数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一被称为该种

33、群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。 用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。出不相符的主要原因，对模型进行修改。 Malthus Malthus模型与模型与LogisticLogistic模型虽然都是为了研究种群数量的模型虽然都是为

34、了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。 模型三模型三 传染病模型传染病模型 传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看

35、待传染病的在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的流行，并建立起相应的多房室模型。流行，并建立起相应的多房室模型。 医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。 问题的提出：问题的提出： 设某地区共有设某地区共有n+

36、1人，最初时刻共有人，最初时刻共有i人得病，人得病，t时刻已时刻已感染（感染（infective）的病人数为）的病人数为i(t)，假定每一已感染者在单位，假定每一已感染者在单位时间内将疾病传播给时间内将疾病传播给k个人（个人（k称为该疾病的传染强度），且称为该疾病的传染强度），且设此疾病既不导致死亡也不会康复设此疾病既不导致死亡也不会康复模型模型1 此模型即此模型即MalthusMalthus模型，它大体上反映了传染病流行初期模型，它大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推移，将越来越偏离实际情况。

37、推移，将越来越偏离实际情况。 已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体人群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体则不加任何区分，来建立两房室系统。则不加任何区分，来建立两房室系统。 ( )odikidti oi则可导出：则可导出：故可得：故可得： ( )ktoi ti e（3.1） 模型模型2 记记t时刻的病人数与易感染人数时刻的病人数与易感染人数（susceptible）分别为分别为i(t)与与s(t)，初始时刻的病人数为，初始时刻的病人数为 i。根据病人不死也不会康

38、。根据病人不死也不会康复的假设及（竞争项）统计筹算律，复的假设及（竞争项）统计筹算律， 1oooicni 其中：其中：(1)(1)(1)( )1k ntok ntoc nei tc e解得：解得：（3.17）( )( )1( )odikisdti ts tni oi可得：可得：（3.16） 统计结果显示，统计结果显示，( (3.173.17) )预报结果比预报结果比( (3.153.15) )更接近实际情况。医学上称曲线更接近实际情况。医学上称曲线 为传染病为传染病曲线，并称曲线，并称 最大值时刻最大值时刻t1为此传染病的流行为此传染病的流行高峰。高峰。ditdtdidt220d idt令：令

39、：1ln(1)octk n 得：得：此值与传染病的实际高峰期非常接近，可用作医学上的预报公式。 模型模型2 2仍有不足之处，它仍有不足之处，它无法解释医生们发现的现无法解释医生们发现的现象，且当时间趋与无穷时，象，且当时间趋与无穷时，模型预测最终所有人都得模型预测最终所有人都得病，与实际情况不符。病，与实际情况不符。 为了使模型更精为了使模型更精确，有必要再将确，有必要再将人群细分，建立人群细分，建立多房室系统多房室系统infectiverecoveredsusceptiblekl (1) (2)( )( )( )1 (3), ( )0odiksilidtdrlidts ti tr tni(o

40、)i r o（3.18） l 称为传染病恢复系数 求解过程如下：求解过程如下： 对（对（3）式求导，由（）式求导，由（1）、（）、（2）得：）得： dskdrksisdtldt ( )( )kr tlos ts e解得：解得：记：记： lk则：则：1( )( )r tos ts e 将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染者和已恢复者（者和已恢复者（recovered）。分别记）。分别记t时刻的三类人数为时刻的三类人数为s(t)、i(t)和和r(t)，则可建立下面的三房室模型：，则可建立下面的三房室模型： 模型模型3infectiverecoveredsusceptiblekl 由由(1)(1)式可得：式可得： didsdsdslidtdtdts dt 从而解得：从而解得：1( )( )( )( )ln( )( )1( )( )ooor tos ti tiss tss ts er tni ts t 积分得：积分得：( )( )( )lnooos ti tiss ts（3.19） 不难验证，当t+时，r(t)趋向于一个常数，从而可以解释医生们发现的现象。 为揭示产生上述现象的原因（为揭示产生上述现象的原因（3.183.18）中）中的第（的第（1