指数分布参数的区间估计和假设检验

1、嘉兴学院学报第16卷第3期2004年5月JournalofJiaxingCollegeVol.16No.32004.5指数分布参数的区间估计和假设检验蒋福坤,刘正春(嘉兴学院信息工程学院,浙江嘉兴314001)摘要:该文给出了指数分布参数的区间估计和假设检验的两种方法,并通过数值计算进行了比较。关键词:指数分布;区间估计;假设检验。中图分类号:O212.1Abstract:Thispaperexpoundstwomethods,intervalestimationandhypotheticaltestofparametersonindexdistribution,andmakescompari

2、sonbymeansofnumericalcalculation.Keywords:indexdistribution;intervalestimation;hypothesistest.CLC:O212.1文献标识码:A.文章编号:1008-6781(2004)03-0012-030引言随着科学技术和生产的不断发展,数理统计的应用更加广泛。而区间估计和假设检验问题在统计推断中占有很重要的地位。对于总体人们常常假设为正态分布,在正态总体下派生出了T分布、F分布、 2分布,并且研究了期望和方差的各种区间估计和假设检验。而总体服从指数分布也是实际问题中经常碰到的。在总体服从指数分布的情况下,本文利

3、用概率论知识对区间估计和假设检验问题进行了研究,并给出指数分布参数的区间估计和假设检验的两种方法。1区间估计和假设检验的方法1.1方法一1.1.1相关结论设总体X服从参数为 ( >0)的指数分布,X1,X2,Xn是X的一个容量为n的样本,样本的均值-,作统计量 n=nX-,由 分布的相关性质可得:为X-服从参数为 结论1统计量 n=nX,n的 分布,即随机变量 n分布密度函数Pn(x)为Pn(x)=由结论1可得到结论2统计量 n= n服从参数1,n的 分布,即 n的分布密度函数 (x)为(x)=n-1-xxe(n-1)!x<0x 0nn-1- xex(n-1)!x<0x 01

4、.1.2参数 的1- 的置信区间-服从设总体X服从参数为 ( >0)的指数分布,X1,X2,Xn是X的一个样本,统计量 n= nX参数为1,n的 分布,对于给定的 (0,1),由 n分布密度函数 (x)可以求出,使得-< 1-(n)=1- nXP (n)< 成立的临界值(n)和 1-(n),于是得到参数 的置信度为1- 的置信区间 (n) 1-(n),从,nXnX收稿日期:2003-09-27.作者简介:蒋福坤(1953),男,浙江桐乡人,嘉兴学院信息工程学院。蒋福坤,刘正春:指数分布参数的区间估计和假设检验而,总体的平均值的置信度为1- 的置信区间为其中:0 (x)dx=,

5、1.1.3参数 的假设检验-(, (n)1-(n)2(n)(n)1-2(x)dx=1-设总体X服从参数为 ( >0)的指数分布,用X的一个样本X1,X2,Xn检验原假设H0: = 0选-取统计量 n= 0nX,当原假设H0成立时, n服从参数为1,n的 分布。给定显著性水平 ,通过计算可2成立的临界值(n)和 1-(n),拒绝域是0,(n) 1-(n),+)。得:P (n)=P 1-(n)=由样本值算出统计量 n的值,若 n的值落入拒绝域,则拒绝原假设H0;否则,接受H0。1.2方法二1.2.1相关结论和定理设总体服从X参数为 ( >0)的指数分布,X1,X2,Xn是X的一个容量为

6、n的样本,记S=i,T=minXi,则由顺序统计量的有关分布可以得出:maxXii2是的一个无偏估计量。结论1二元随机向量(S,T)的联合分布密度函数是p(s,t)=n(n-1)F(s)-F(t)0n-2p(s)p(t)0<t<s其他其中:p(x),F(x)分别为X的密度函数与分布函数。由结论1又可得出:结论2二元随机向量(U,V)=( S, T)的分布密度函数为n(n-1)(e-e)f(u,v)=由结论2可得到定理1当n为奇数时,随机变量Z=U+V的分布函数为F(z)=(-1)0证明当z>0时,F(z)=PZ z=PU+V z=n(n-1)=n=(e0z-vn+1n-1-(

7、)!8en!2nz-kzkkn-1+nn-2kk=0n-1-v-un-2-u-vee0<v<u其他z>0z 0dv0vzz-v(e-v-e-u)n-2e-ue-vduedvedvkkn(-n-10k=0zn-1-e-z+v)n-1-v1)Cn-1ekkkk-kz-(n-2k)v=nek=0n-1n-1-kz+ne2k-nn-2kk=0-()!8en!2z-kzkkn-1+nn-2kk=0n-1n-1=(-1)1.2.2参数的的置信区间当z 0,F(z)=0时,定理得证。设总体X服从参数为 ( >0)的指数分布,X1,X2,Xn是X的一个容量为n的样本,统计量Z= (S+

8、T)的分布函数为F(z),对于给定的 (0,1),由分布函数F(z)可求出,使得Pz (S+T)(n)< <z1- (n)=1- 成立的临界值z (n)和z1- (n),于是得到参数 的置信度为1- 的置信区间为:嘉兴学院学报第16卷第3期z (n)z1- (n)S+T,S+T1.2.3参数 的假设检验设总体X服从参数为 ( >0)的指数分布,用X的一个样本X1,X2,Xn检验原假设H0: = 0选取统计量Z= 0(S+T),当原假设成立时,Z的分布函数为F(z),给定显著性水平 ,通过计算可满足PZ z (n)=PZ z1- (n)=成立的临界值z (n)和z1- (n),

9、拒绝域是(0,z ()z1-n2 (),+)。n由样本观测值算出统计量Z的值,若Z的值落入拒绝域,则拒绝原假设H0;否则,接受H0。1.3举例例:已知某种电子元件的使用寿命服从参数为 的指数分布。现从中抽取20个元件进行寿命测试,得数据如下(单位:小时)10501100108012001300106010901080118013201250134010601150115012501310109011401160(1)求平均寿命的95%的置信区间。(2)问这种电子元件的平均寿命可否认为是1170小时( =0.05)。解:采用方法一计算-(1)已知电子元件的使用寿命X服从参数为 的指数分布,样本容

10、量n=20,统计量 =n X服从参数为1,20的 分布,由1- =0.95,得 =0.05。经计算,得到临界值 0.025(20)=12.22, 0.975(20)=29.67,由样本观测值算出-x=1168,于是总体平均寿命的95%的置信区间是(29.67,12.22)=(787,1911)。(2)检验原假设H0:=,即 =11701170-因为n=20,当H0成立时,统计量 =X服从参数为1,20的 分布。由 =0.05,经计算得临界1170-值 0.025(20)=12.22, 0.975(20)=29.67,拒绝域为0,12.2229.67,+);由样本观测值得X=-1168,统计量

11、n=的值 =19.97 0,12.2229.67,+),所以接受原假设H0,即X11701170认为这种电子元件的平均寿命为1170小时。采用方法二计算(1)这里取样本容量n=19,用统计量Z= (S+T),当 =0.05时,由Z的分布函数F(z)可得到临界值z0.025(19)=1.777,z0.975(19)=6.68,用样本观测值中的前19个数据代入统计量,计算得z=2390,的95%的置信区间为(,)=(357.78,1344.96) 6.681.777(2)检验原假设H0:=1170(略)。2结束语于是总体的平均寿命以上给出了总体服从指数分布的区间估计和假设检验的两种方法,并给出了具体的算例。通过计算-和Z= 和比较,可看出分别采用统计量