探讨参考“PA+kPB”最值探究(胡不归+阿氏圆)

1、“PA+k PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1 时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型 来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无 法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研宄。 即点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。本文将分别从这两类入手与大家共同探宄线段最值问题的解决方案。【知识储备】线段最值

2、问题常用原理： 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 两点间线段最短； 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；(_)点P在直线上运动一I “胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sinZMBN=k，点P为角ZMBN其中一边BM上的一个动 点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当“PA+k.PB”的值最小时，P点的位置如何确定？分析：本题的关键在于如何确定“k.PB”的人小，过点P作PQ丄BN垂足为Q，则 k PB=PB sinZMBN=PQ，本题求“PA+k，PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)， 即A、P、Q三点共线时最小（如

3、图1-1-3)，本题得解。动态展示：见GIF格式！思考：当k值大于1时，“PA+k.PB”线段求和问题该如何转化呢? 提取系数k即可哦！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原 理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径AB (如图所示），而忽视了走折线虽 然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小 伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？ 胡不归？何以归”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到 家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线

4、呢？这就是风靡千百年的“胡不归问(二）点P在圆上运动“阿氏圆”问题如图所示2-1-1，©O的半径为r，点A、B都在©O外，P为©O上的动点， 已知r=k OB连接PA、PB，则当“PA+k PB”的值最小时，P点的位置如何确 定？上截取OC使OC=k r，则可说明ABPO与APCO相似，即k PB=PC。本题求“PA+k*PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即A、P、C 二点共线时最小（如图2-1-3)，本题得解。动态展示：见GIF格式！【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=kPB (k辛1)的点P的轨迹是一个圆，这

5、个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。“阿氏圆”一般解题步骤：第一步：连接动点至圆心0 (将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心 相连接），则连接OP、0B;第二步：计算出所连接的这两条线段OP、0B长度;第二步： 第四步：计算这两条线段长度的比 在0B上取点C，使得OCOpopOB 第五步：连接AC，与圆0交点即为点P.【典型例题】“胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数 起点构造所需角（k=sinZCAE)过终点作所构角边的垂线利用垂线段最短解决问题“阿氏圆”构造共边共角型相似构造 APABwACAP 推出 iM2 =BdC即：半径的平方=原有线段X构造线段1.(胡不归问题

6、)如图，四边形AB是菱形，AB=4，且ZABC=60°，M为对角线BD (不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为.分析：如何将1bm转化为其他线段呢？即本题k值为1,必须转化为某一角的正弦值啊， 即转化为30°角的正弦值。思考到这里，不难发现，只要作MN垂直于BC，B 则MN=1BM，即AM+1BM最小转化为AM+MN最小，本题得解。AD详解：如图，作AN丄于BC垂足为N， 四边形AB是菱形且ZABC=60 °，AZDBC=30°，1 MN即 sinZDBC=-=，2 BM：.1 BM=MN，2.AM+1 BM=AM+MN，即 AM+1 BM 的最

7、小值为 AN.在 RTAABN 中，AN=AB slnZABCsSx3:.2八皿+18皿的最小值为373.变式思考：（1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？答案：（1) 6n/3 (2) 63本题也可用“费马点”模型解决哦！详见：本公众号前文！2 (阿氏圆问题）如图，点A、B在O上，且OA=OB=6，且OA丄OB,点C是OA的中点，点D在OB上，且OD=4，动点P在 O上，贝2PC + PD的最小值为. 分析：如何将2PC转化为其他线段呢？不难发现本题出现了中点，即2倍关系 就出现了。套用“阿氏圆”模型：构造共边共角相似 半径的平

8、方=原有线段X构造线段 详解：连接OP，在射线OA上截取AE=6 即：op2 =CxE .AOPCAOEP A PE = 2PC2PC + PD = PE + PD，即 P、D、E 三点共线最小.在 RTAOED 中，DE “OD2 +OE2 = 716 + 144 = 0 即2PC + PD的最小值为410.变式思考：（1)本题如要求“PC + PD”的最小值你会求吗？ (2)本题如要求“pc + |pd”的最小值你会求吗？A答案：（1) 2# (2) 3#(胡不归问题变式)1如图，等腰AABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为 AO,点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿A

9、D-DC 运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=时，运动时间最短为秒.答案：力 2如图，在菱形AB中，AB=6，且ZABC=150°，点P是对角线AC上的一个动点，则PA+PB+PD的最小值为 答案：62 本题也可用“费马点”模型解决哦！則PM- PM M(JPH.1. (2016徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A (-1，0)，B (0，-V3)、C (2，0)，其中对称轴与x轴交于点D。若P为y轴上的一个动点，连接PD，则1P5 + PD的最小值为。22. (2014成都）如图，已知抛物线y

10、 = ¥(x + 2)(x-4)与x轴从左至右依次交于点A、B，与y轴交于点C，经过点B的直线y = -#x + 与抛物线的另一个交点为33D (-5， 3/3 )。设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F的坐标为时，点M在整个运动过程中用时最少？答案：3/3，（-2,2#)课外提升：2015日照、2015内江、2016随州多个城市均在压轴题考察了 “胡不 归”问题。要好好专研哦！ ！又见加权线段和这/1尺近期车.各Jtvey出如”今人*纠卜个H8. 各个JB中讨

11、论搿报蜱(K:如田.夜 fill 四边彤 AMC7)中，肩# - AC - I. AO - (7)- y/1. ZDAB Z0C7* 90% 点 A»屮点.Al. W 分WA线段W>. Kt； h. _4 Yw.V 的讀'卜傖为.江I元铒X參老人汊奸_味者岬.嬈羹幂博tip蛤出IB*断承，在MAC外有一!<-fl laMI, MA£l上鵰盧，Wi0C,拿PM小ir/ARi mhLinp -k - sma» MQM'in aMfliiw.v.靖妙的解法.1. (1)【问题提出】：如图 1，在 RtAABC 中，ZACB = 90°

12、;，CB = 4，CA = 6,OC半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值.2尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2,连接CP，在CD CP 1CB 上取点 D，使=1，则有 = & = ，又ZP=ZBCP，/.APABCP,/. PD =1, APD= 1 BP, AAP+1 BP=AP+PD.BP 222请你完成余下的思考，并肓接写出答案：AP+BP的最小倌为.2(2) .【自主探索】：在“问题提出”的条件不变的情况下，1AP+BP的最小 值为.(3) .【拓展延伸】：已知扇形COD中，ZCOD = 90°，OC = 6，OA =

13、 3，OB = 5, 点P是CD上一点，贝lj 2PA+PB的最小值为.答案：737，2#，13.172. 如图，在直角坐标系中，以原点0为圆心作半径为4的圆交X轴正半轴于点A,点M坐标为（6,3)，点N坐标为（8,0)，点P在圆上运动，求PM + PN的最小值3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为冗上 一动点，求fpC+PD的最小值为.答案：5(2017 甘肃兰州）如图，抛物线y = -x2+fcc + c与直线灿交于Z -4,-4，S 0,4 两点，直线ZC:j = -|x-6交.v轴与点C，点五 是直线AS上的动点，过点£作砂丄x轴交

14、JC 于点F，交抛物线于点G.求抛物线_y = -x2 +foc + c的表达式；(2) 连接GS，£0,当四边形是平行四边 形时，求点G的坐标；(3) 在轴上存在一点丑，连接£好，F，当点£运动到什么位置时，以為丑为顶点的四边形是矩形？求出此时点丑 的坐标；在的前提下，以点£为圆心，长为半径作圆，点M为£上一动点，求iM + CM的最小值.2答案： y= - x2 - 2x+4; (2) G (- 2, 4);_ 1)；(3)E (- 2, 0) H (0,写在最后:“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k，PB” (

15、k辛1的常数）型的最值问题。两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将 k PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短 或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角 的正弦值等于k (如k值> 1则要先提取k去构造某角的正弦值等于1或等于E)kk1将k倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要 信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如大于1则将线段扩大相同 的倍数取点，k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线 段

16、最短”解决问题。卫生管理制度1总则1.1为了加强公司的环境卫生管理，创造一个整洁、文明、温馨的购物、办公环境，根据公共场所卫生管理条例的要求，特制定本制度。1.2集团公司的卫生管理部门设在企管部，并负责将集团公司的卫生区域详细划分到各部室，各分公司所辖区域卫生由分公司客服部负责划分，确保无遗漏。2卫生标准2.1室内卫生标准2.1.1地面、墙面：无灰尘、无纸屑、无痰迹、无泡泡糖等粘合物、无积水，墙角无灰吊、无蜘蛛网。2.1.2门、窗、玻璃、镜子、柱子、电梯、楼梯、灯具等，做到明亮、无灰尘、无污迹、无粘合物，特别是玻璃，要求两面明亮。2.1.3柜台、货架：清洁干净，货架、柜台底层及周围无乱堆乱放现

17、象、无灰尘、无粘合物，货架顶部、背部和底部干净，不存放杂物和私人物品。2.1.4购物车（筐）、直接接触食品的售货工具（包括刀、叉等） ：做到内外洁净，无污垢和粘合物等。购物车（筐）要求每天营业前简单清理，周五全面清理消毒；售货工具要求每天消毒，并做好记录。2.1.5商品及包装：商品及外包装清洁无灰尘（外包装破损的或破旧的不得陈列）。2.1.6收款台、服务台、办公橱、存包柜：保持清洁、无灰尘，台面和侧面无灰尘、无灰吊和蜘蛛网。桌面上不得乱贴、乱画、乱堆放物品，用具摆放有序且干净，除当班的购物小票收款联外，其它单据不得存放在桌面上。2.1.7垃圾桶：桶内外干净，要求营业时间随时清理，不得溢出，每天下班前彻底清理，不得留有垃圾过夜。2.1.8窗帘：定期进行清理，要求干净、无污渍。2.1.9吊饰：屋顶的吊饰要求无灰尘、无蜘蛛网，短期内不适用的吊饰及时清理彻底。2.1.10内、外仓库：半年彻底清理一次，无垃圾、无积尘、无蜘蛛网等。2.1.11室内其他附属物及工作用具均以整洁为准，要求无灰尘、无粘合物等污垢。2.2室外卫生标准2.2.1门前卫生：地面每天班前清理，平时每一小时清理一次，每周四营业结束后有条件的用水冲洗地面（冬季可根据情况适当清理） ，墙面干净且无乱贴乱画。2.2.2院落卫生：院内地面卫生全天保洁，果皮箱、消防器械、护栏及配电箱等设施每周清理干净。垃圾池周边卫生清理彻底，