第12讲幂函数-人教A版高中数学必修一讲义（解析版）

1、第十二讲 幂函数教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.幂函数的概念数学抽象水平1水平11.了解幂函数的定义，能区别幂函数与指数函数。2.能够运用幂函数的简单性质进行实数大小比较。3.通过作出一些简单幂函数的图像，能根据图像描述出这些简单幂函数的基本性质。【考查内容】幂函数的图像与性质、指数幂的大小比较。【考查题型】选择题、填空题、解答题【分值情况】选择、填空题5分，解答题4分2.幂函数的图像与性质直观想象水平1水平23.幂指数对图像的影响数学运算水平1水平14.幂函数的凸凹性数学运算水平1水平1知识通关知识点1幂函数的概念一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数知识点2幂函数的

2、图象和性质(1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质：幂函数yxyx2yx3yx1定义域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，)，增x(，0，减增增x(0，)，减x(，0)，减公共点都经过点(1,1)题型一幂函数的概念规律方法判断函数为幂函数的方法(1)只有形如yx(其中为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：指数为常数，底数为自变量，底数系数为1.形如y(3x)，y2x，yx5形式的函数都不是幂函数反过来，若一

3、个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式例1、(1)在函数yx2，y2x2，y(x1)2，y3x中，幂函数的个数为()A0B1C2 D3(2)若f(x)(m24m4)xm是幂函数，则m_.解析：(1)根据幂函数定义可知，只有yx2是幂函数，所以选B(2)因为f(x)是幂函数，所以m24m41，即m24m50，解得m5或m1.答案(1)B(2)5或1【变式训练1】（1）幂函数的图像过点，则A. 8 B. 6 C. 4 D. 2（2）设，则使函数的定义域为R且函数为奇函数的所有的值为（ ） A . B. C. 1,3 D. 解析： （1）设幂函数，由函数的图像过点，可得，则幂函数，故选C （2）

4、是常见的5个幂函数，显然当为奇函数时， 的值为，又函数的定义域为R， ， 故的值为1,3。故选C。答案 （1）C （2）C题型二幂函数的图象及应用(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：幂函数图像在定义域(0,1)上的部分，指数越大，幂函数图象越靠近x轴 (简记为指大图低)；幂函数图像在定义域(1，)上的部分，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)(2)依据图象确定幂指数与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于yx1或或yx3)来判断（当时，在第一象限内为双曲线型；当时，在第一象限内为抛物线型，且开口向右；当时，在第一象限内为抛物线型，且开口向上）规律方法 解

5、决幂函数图象问题应把握的两个原则例2、(1)如图所示，图中的曲线是幂函数yxn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为()A2，2B2，2C，2,2，D2，2，(2)点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，分别有：f(x)>g(x)；f(x)g(x)；f(x)<g(x)解析：（1）根据幂函数yxn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，yxn递增速度越快，故C1的n2，C2的n；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n，曲线C4的n2，故选B（2）设f(x)x，

6、g(x)x.()2，(2)，2，1，f(x)x2，g(x)x1.分别作出它们的图象，如图所示由图象知：当x(，0)(1，)时，f(x)>g(x)；当x1时，f(x)g(x)；当x(0,1)时，f(x)<g(x)答案 B【变式训练2】如图是函数 (m，nN*，m，n互质)的图象，则()Am，n是奇数，且<1Bm是偶数，n是奇数，且>1Cm是偶数，n是奇数，且<1Dm是奇数，n是偶数，且>1解析：由图象可知yx是偶函数，而m，n是互质的，故m是偶数，n是奇数，又当x(1，)时，的图象在yx的图象下方，故<1.答案C题型三利用幂函数的性质比较大小规律方法比较

7、幂值大小的三种基本方法例3、比较下列各组数中两个数的大小：(1)与；(2)与解析：(1)因为幂函数yx0.3在(0，)上是单调递增的，又，所以.(2)因为幂函数yx1在(，0)上是单调递减的，又，所以.【探究1】(变换条件)若将例1(1)中的两数换为，则二者的大小关系如何？解析：因为，而yx0.3在(0，)上是单调递增的，又，所以.即.【探究2】(变换条件)若将例1(1)中的两数换为，则二者的大小关系如何？解析：因为在(0，)为上减函数，又0.3<，所以，又因为函数在(0，)上为增函数，且，所以， 所以.【变式训练3】比较下列各组数的大小：(1)；(2)；(3).解析：(1)幂函数在上为

8、减函数，又(2)在上为增函数， ，(3)，思维拓展考向一 幂函数的凸凹性（1）上凸函数、下凸函数的定义设函数在上有定义，若对于中任意不同两点，都成立，则称在上是上凸的函数，即上凸函数。设函数在上有定义，若对于中任意不同两点，都成立，则称在上是下凸的函数，即下凸函数。（2）幂函数的凸性幂函数，在时，函数是下凸函数；幂函数，在时，函数是上凸函数；幂函数，在时，函数在第一象限是下凸函数。例4、如果一个函数在其定义域内对任意都满足，那么则称这个函数为下凸函数。下列函数：；其中是下凸函数的有（ ）。A. B. C. D. 解析： 本题既可用定义来判断，也可用函数图像直接求解，得满足题意。答案 D【变式训

9、练4】 在这三个函数中，当时，使恒成立的函数有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个解析： 当时，恒成立，在区间上的函数图像是“上凸”的，在区间上的函数图像是“下凸”的，而在区间上的函数图像是“上凸”的。因此，只有函数符合题意。答案 C 考向二 常见函数图像与性质方向一 对勾函数与双刀函数图像与性质规律方法 (1)、对勾函数的图像与性质： 1.定义域：；2.值域：；3.奇偶性：奇函数；4.单调性：增区间为； 减区间为；5.渐近线方程：对勾函数的图像与性质：（与图像关于轴对称）1.定义域：；2.值域：；3.奇偶性：奇函数；4.单调性：增区间为；5.渐近线方程： （2）双刀函数的图

10、像与性质： 1.定义域：；2.值域：R；3.奇偶性：奇函数；4.单调性：增区间为， 无减区间；5.渐近线方程：双刀函数的图像与性质：（与关于轴对称） 1.定义域：；2.值域：R；3.奇偶性：奇函数；4.单调性：减区间为， 无增区间；5.渐近线方程：方向二 符号函数图像与性质规律方法1.定义域：R；2.值域：；3.奇偶性：奇函数；4.对称性：中心对称点方向三 反比例型函数图像与性质规律方法若，则函数图像由一、三象限的双曲线平移过去： 1.定义域：；2.值域：；3.单调性：减区间为， 无增区间；4.对称性：中心对称点;5.渐近线方程：若，则函数图像由二、四象限的双曲线平移过去： 1.定义域：；2.

11、值域：；3.单调性：增区间为， 无减区间；4.对称性：中心对称点；5.渐近线方程：方向四 向下取整函数（表示不大于的最大整数）图像与性质：规律方法其图像如图所示：1.定义域：R；2.值域：Z；3.奇偶性：奇函数；4.对称性：中心对称点；5.周期性：类周期长度为1 点评：以上几种函数是高一新同学在在学必修一的函数章节时较常遇到的一些函数，由于在课本中不经常出现，很多同学感觉比较陌生，学起来比较吃力，所以同学们必须要经常结合一些经典例题勤加练习。综合训练A组 基础演练 1下列函数是幂函数的是()yx3yx0y2x2y3xyx21A BC D解析：根据幂函数的形式特征可知，只有是幂函数，中幂的系数不

12、为1，中幂的底数不是自变量x，指数不是常数，中含有常数项，故都不是幂函数答案 A2若幂函数f(x)xm1在(0，)上是减函数，则()Am1 B不能确定Cm1 Dm1解析：m10m1，故选D.答案 D3函数f(x)的奇偶性为()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数解析：函数f(x)的定义域(，0)(0，)关于原点对称，且f(x)，所以此函数为奇函数答案 A4如图，表示具有奇偶性的函数图像可能是()解析：根据奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称可知，选项B中的函数为偶函数选项C中的点(0,1)关于原点的对称点(0，1)不在图像上，所以选项C中的函数不是奇函数答案 B5

13、f(x)是R上的偶函数，当x0时，f(x)是增函数，则f()，f(3)，f(5)的大小关系是()Af(3)f()f(5) Bf()f(5)f(3)Cf(3)f(5)f() Df(5)f()f(3)解析：f()f()，f(5)f(5)，且当x0时，f(x)是增函数，f(3)f()f(5)答案 A6.如图所示，曲线C1与C2分别是函数yxm和yxn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是()An<m<0 Bm<n<0Cn>m>0 Dm>n>0解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.答案 A7下列幂函数中，定义域为R且为偶

14、函数的个数为()yx2；yx；yx；yx.A1 B2 C3 D4解析：易知中的函数是奇函数，中函数是偶函数，但其定义域为(，0)(0，)；中函数符合条件故选A.答案 A8下列说法中，不正确的是()A图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B奇函数的图像一定经过原点C偶函数的图像若不经过原点，则它与x轴交点个数一定是偶数D图像关于y轴对称的函数一定是偶函数解析：由奇函数和偶函数的定义可知，选项A，D正确；奇函数的图像不一定经过原点，如yx1；由偶函数的对称性可知，选项C正确答案 B二、填空题9函数y(m1)xm2m为幂函数，则该函数为_(填序号)奇函数；偶函数；增函数；减函数解析：由y(m1)x

15、m2m为幂函数，得m11，即m2，则该函数为yx2，故该函数为偶函数，在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数答案 10已知幂函数f(x)x的部分对应值如下表：x1f(x)1则不等式f(|x|)2的解集是_解析：由表中数据知，f(x)x，|x|2，即|x|4，故4x4.答案 x|4x411已知偶函数f(x)满足f(x2)xf(x)(xR)，则f(1)_.解析：函数f(x)是R上的偶函数，f(1)f(1)令x1，由f(x2)xf(x)得f(1)2(1)×f(1)，即f(1)f(1)，f(1)0.答案 0三、解答题12点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时

16、，有：f(x)>g(x)；f(x)g(x)；f(x)<g(x)解析：设f(x)x，g(x)x.()2，(2)，2，1.f(x)x2，g(x)x1.分别作出它们的图象，如图所示由图象知，当x(，0)(1，)时，f(x)>g(x)；当x1时，f(x)g(x)；当x(0,1)时，f(x)<g(x)答案 见解析13已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，已知当x0时，f(x)x24x3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)的图像，并写出函数f(x)的单调递增区间 解析：(1)函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的xR都有f(x)f(x)成立，当x0时，x0，即

17、f(x)f(x)(x)24(x)3x24x3，f(x)(2)图像如图所示，函数f(x)的单调递增区间为2,0和2，)(写成开区间也可以)答案 见解析14已知函数f(x)对一切a，b都有f(ab)bf(a)af(b)(1)求f(0)；(2)求证：f(x)是奇函数；(3)若F(x)af(x)bx5cx32x2dx3，已知F(5)7，求F(5)解析：(1)函数f(x)对一切a，b都有f(ab)bf(a)af(b)，令ab0得f(0×0)0×f(0)0×f(0)，即f(0)0.(2)证明：令ab1得，f(1×1)1×f(1)1×f(1)，即f

18、(1)0.令ab1得，f(1)×(1)(1)×f(1)(1)×f(1)，即f(1)0.令a1，bx得，f(1)×xxf(1)(1)f(x)，即f(x)xf(1)f(x)，f(1)0，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(3)f(x)是奇函数，f(5)f(5)F(x)af(x)bx5cx32x2dx3，且F(5)7，af(5)b×(5)5c×(5)32×(5)2d×(5)37，即af(5)b×55c×53d×546.F(5)af(5)b×55c×532×52d

19、×534650399.答案 见解析B组 提升突破 一、选择题1已知函数f(x)ax2bx1是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值为()A B C D解析：函数f(x)ax2bx1是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，解得.此时f(x)bx1的对称轴，即b0，ab.答案 A2设a，b，c，则()Aa<b<c Bc<a<bCb<c<a Db<a<c解析：构造幂函数yx (xR)，由该函数在定义域内单调递增，知a>b；构造指数函数，由该函数在定义域内单调递减，所以a<c，故c>a>b.答案 D3定义在R的偶函数

20、f(x)满足：对任意x1，x2(，0(x1x2)，有(x2x1)f(x2)f(x1)0，则nN时，有()Af(n)f(n1)f(n1)Bf(n1)f(n)f(n1)Cf(n1)f(n)f(n1)Df(n1)f(n1)f(n)解析：函数f(x)是偶函数，f(n)f(n)f(x)对任意x1，x2(，0(x1x2)，有(x2x1)·f(x2)f(x1)0，即或，函数f(x)在(，0上是增函数又函数f(x)是偶函数，f(x)在0，)上是减函数0n1nn1，f(n1)f(n)f(n1)，即f(n1)f(n)f(n1)答案 C4已知f(x)则f(x)为()A奇函数B偶函数C既是奇函数也是偶函数D

21、非奇非偶函数解析：函数f(x)的定义域(，0)(0，)关于原点对称当x0时，有f(x)x2x1，x0，f(x)(x)2(x)1x2x1(x2x1)f(x)；当x0时，有f(x)x2x1，x0，f(x)(x)2(x)1x2x1(x2x1)f(x)综上可得，对任意x(，0)(0，)，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)是奇函数答案 A5若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（ ）ABCD-1解析：设幂函数，图象过点，故，故，令，则，时，.答案 C6已知，且，若，则函数的图像为（ ）.ABCD解析：由题意得：，令，则，解得或（舍去），所以，即，所以的图像即为的图像答案 A7对于幂函数，若，则，的大小

22、关系是（ ）ABCD无法确定解析：幂函数在上是增函数，大致图象如图所示. 设，其中，则AC的中点E的坐标为，且，.，.答案 A8已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（ ）A B CD解析：由已知得，解得：，所以，因为，又，所以，由在上递增，可得：，所以.答案 D9已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是A B C D 解析：当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需.答案 B二、填空题10定义在R上的奇函数f(x)在区间1,4上是增函数，在区间2,3上的最小值为1，最大值为8，则2

23、f(2)f(3)f(0)_.解析：奇函数f(x)的定义域为R，f(0)0，又f(x)在区间1,4上是增函数，f(2)1，f(3)8，f(3)f(3)8.2f(2)f(3)f(0)10.答案 1011设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x2)f(x)，又知当0x1时，f(x)x，则f(7.5)的值为_解析：f(x2)f(x)，f(7.5)f(5.52)f(5.5)f(3.52)f(3.5)f(1.52)f(1.5)f(0.52)f(0.5)又函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(0.5)f(0.5)而当0x1时，f(x)x，f(7.5)f(0.5)0.5.答案 0.512定义函数，则的最小值为_.解析