导数专题三零点问题教师版

1、（2013昌平二模理）（18）（本小题满分13分）（零点问题）已知函数（）若求在处的切线方程；（）求在区间上的最小值；（III）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围.（18）（本小题满分13分）解：（I）在处的切线方程为.3分（）由由及定义域为，令若在上，在上单调递增，因此,在区间的最小值为.若在上，单调递减；在上，单调递增，因此在区间上的最小值为若在上，在上单调递减，因此,在区间上的最小值为.综上，当时，；当时，；当时，.9分(III)由（II）可知当或时，在上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.当时，要使在区间上恰有两个零点，则即，此时，.所以，的取值范围为.13分（2014西城期末

2、理）18（本小题满分13分）（零点问题）已知函数，其中是自然对数的底数，.（）求函数的单调区间；（）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由.18.（本小题满分13分）（）解：因为，所以2分令，得3分当变化时，和的变化情况如下：5分故的单调减区间为；单调增区间为6分（）解：结论：函数有且仅有一个零点.7分理由如下：由，得方程，显然为此方程的一个实数解.所以是函数的一个零点.9分当时，方程可化简为.设函数，则，令，得当变化时，和的变化情况如下：即的单调增区间为；单调减区间为所以的最小值.11分因为，所以，所以对于任意，因此方程无实数解所以当时，函数不存在零点.综上，函数有且仅有一个零点.13分（2

3、015上学期期末丰台理）18.（本小题共13分）（图像交点、问题转化）已知函数（）求函数的极小值；（）如果直线与函数的图象无交点，求的取值范围18.解：（）函数的定义域为R因为，所以令，则0-0+极小值所以当时函数有极小值6分（）函数当时，所以要使与无交点，等价于恒成立令，即，所以当时，满足与无交点；当时，而，所以，此时不满足与无交点当时，令，则，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，由得，即与无交点综上所述当时，与无交点13分（2016东城上学期期末理）（19）（本小题共14分）（零点，问题转化）已知函数（）当时，试求在处的切线方程；（）当时，试求的单调区间；（）若在内有极值，试求的

4、取值范围解：（）当时，方程为4分（），当时，对于，恒成立，所以?；?0.所以单调增区间为，单调减区间为8分（）若在内有极值，则在内有解令?.设,所以,当时，恒成立，所以单调递减.又因为，又当时，,即在上的值域为,所以当时，有解.设，则，所以在单调递减.因为，,所以在有唯一解.所以有：00极小值所以当时，在内有极值且唯一.当时，当时，恒成立，单调递增，不成立综上，的取值范围为14分（2015海淀一模理）（18）（本小题满分13分）（问题转化、零点）已知函数.（）求函数的单调区间；（）若（其中），求的取值范围，并说明.（18）（共13分）解：（）.2分（）当时，则函数的单调递减区间是.3分（）当时

5、，令，得.当变化时，,的变化情况如下表极小值所以的单调递减区间是，单调递增区间是.5分（）由（）知：当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.6分当时，因为在内是减函数，在内是增函数，所以要使，必须，即.所以.7分当时，.令，则.当时，所以，在上是增函数.所以当时，.所以.9分因为，所以在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.11分因为在内是减函数，在内是增函数，所以.综上所述，的取值范围是.12分因为，所以.13分（2015海淀上学期期末）（19）（本小题满分13分）（零点、三角函数）已知函数，.（）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（）求集合中元素的个数；（）当时，问函数有多少个极值点？（只需写出结论）（19）（共13分）解：（）函数是偶函数，证明如下：1分对于，则.2分因为，所以是偶函数.4分（）当时，因为，恒成立，所以集合中元素的个数为0.5分当时，令，由，得.所以集合中元素的个数为1.6分当时，因为，所以函数是上的增函数.8分因为，所以在上只有一