定积分的性质和基本定理

1、用求积分和式的极限的方法来计算定积分不是很方便，在很情况下难以求出定积分的值。因此，我们在定积分定义的基础上，讨论它的各种性质，揭示定积分与微分的内在联系，寻找定积分的有效的，简便的计算方法。§2.1 定积分的基本性质一、定积分的基本性质性质1 ba1dx=badx=b-a证 f(i）xi·xi (b-a)=b-a所以 ba1dx=badx=b-a性质2(线性运算法则)，设f(x),g(x)在a,b上可积，对任何常数、，则f(x)+g(x)在a,b上可积，且 baf(x)+g(x)dx=baf(x)dx+bag(x)dx证：设F(x)=f(x)+g(x),由F(i）xif(

2、i)+g(i）xi f(i）xig(i）xi baf(x)dx+bag(x)dx，因此f(x)+g(x)在a,b上可积，且 baf(x)+g(x)dx=baf(x)dx+bag(x)dx特别当=1,=±1时，有 baf(x)±g(x)dx=baf(x)dx±bag(x)dx当=0时 baf(x)dx=baf(x)dx性质2 主要用于定积分的计算性质3 对于任意三个实数a,b,c，若f(x)在任意两点构成的区间上可积，则 baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx证 a,b,c的位置，由排列知有六种顺序(i)当a<c<b，按定义，定积分的值与区

3、间分法无关，在划分区间a,b时，可以让点C是一个固定的分点，则有 baf(x)dx=f(i）xif(i）xif(i)xif(i)xif(i）xicaf(x)dx+bcf(x)dx（ii)当c<b<a由(i)知acf(x)dx=bcf(x)dx+abf(x)dx有-caf(x)dx=bcf(x)dx-baf(x)dx,则baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx对于其它4种位置与(ii)证明类似。性质3主要用于分段函数的计算及定积分说明。性质4 若f(x)在a,b上可积，f(x)0，且a<b,则baf(x)dx0证 由f(i）0,xi>0，有f(i）xi>

4、0有f(i）xi>0，由函数极限不等式知 baf(x)dx=f(i）xi0性质4用于不通过计算，判别定积分的符号。性质5 若f(x),g(x)在a,b上可积，f(x)g(x)，且a<b，则 baf(x)dxbag(x)dx证：由f(x)-g(x)0，由性质2，4知。 baf(x)dx-bag(x)dxbaf(x)-g(x)dx0性质5用于不通过计算，比较两定积分大小。性质6 若f(x)在a,b上连续f(x)0但f(x)，则baf(x)dx>0证 由f(x)=0，则存在x0a,b，不妨设x(a,b)，有f(x)>0，由f(x)在a,b上连续，所以在点x处连续，即f(x)=

5、f(x)>0，由连续保号性知，对0<<f(x），存在>0，当x(x-,x）时，有f(x)>xx，x (x，x）时，f(x)>，则baf(x)dx=xaf(x)dx+f(x)dx+bxf(x)dxf(x)dxdx=dx=>0性质6用于判断定积分值的符号推论 若f(x),g(x)在a,b上连续，f(x)g(x)，且f(x)g(x)，a<b，则baf(x)dx>bag(x)dx该推论用于不通过计算比较两定积分的大小若将性质5用不等式f(x)f(x)f(x)，有baf(x)dxbaf(x)dxbaf(x)dx，于是有性质7 若f(x)在a,b上连续

6、，则 baf(x)dxbaf(x)dx性质8 若f(x)在a,b上连续，m、M是f(x)区间a,b上的最小值与最大值，则 m(b-a)baf(x)dxM(b-a)该性质用于估计定积分值的范围证：由mf(x)M,xa,b a<b由性质5知 m(b-a)=bamdxbaf(x)dxbamdx=M(b-a)性质9 (积分中值定理)若f(x)在闭区间a,b上连续，a<b则至少存一点a,b，使 baf(x)dx=f()(b-a) （）证：由性质8知 m(b-a)baf(x)dxM(b-a)不等式两边同除b-a，由b-a>0，有 mM由f(x)在a,b上连续，则m,M为函数值域，故至少存

7、在一点a,b，使 f()(2.2)则 baf(x)dx=f()(b-a)积分中值定理的几何意义：设f(x)0，则baf(x)dx的数值表示曲线y=f(x),y=0,x=a,x=b同成的曲边梯形面积，如图-表明，在区间a,b上至少存在一点，以处的纵坐标f()为高，(b-a)为底的矩形面积，等于该曲边梯形的面积。图-f()即(2.2)式左边所确定的值，称为函数f(x)在区间a,b上的平均值。积分中值定理与微分中值定理同样重要，利用积分中值定理可以证明方程根的存在性，适合某种条件的存在性及不等式，有时与微分中值定理综合运用解决一些问题。例 设函数f(x)在0,1上连续，(0，1)内可导，且3f(x)

8、dx=f(0),证明在(0,1)内存在一点，使f（)=0证：由积分中值定理知，在，上存在一点c,使 f(x)dx=·f(c)（）f(c)=f(0)故f(x)在区间0,c上满足罗尔定理条件，因此至少存在一点(0,c) (0,1)使f()=0例 证明dx=0证 由积分中值定理0dx n，有nn（）n，由（）n=0，由夹逼定理知nn，而0<有·nn·，由夹逼定理知dx=0。§2.2 积分学基本定理一、变上限函数设f(x)在区间X上连续，aX是一固定点，任给xX，有a,x或x,aX，所以f(t)在a,x或x,a上连续，则f(t)在a,x或x,a上可积，对每

9、一个xX都有唯一的值xaf(t)dt与之对应，由函数的定义知，xaf(t)dt是区间X上的一个函数，称为变上限函数，记作G(x) G(x)=xaf(t)dt xX二、微积分学基本定理定理 设f(x)在区间X上连续，aX是一固定点，则由变动上限积分 G(x)=xaf(t)dt xX （）定义的函数G(x)在X上可导，且G(x)=f(x)，也就是说函数xaf(t)dt是被积函数f(x)在X上的一个原函数。证 任给xX当x充分小时，有x+xX，由f() 介与x,x+x之间f(） 由f(t)在x处连续所以f()=f(x)，因此，G(x)在x处可导且 G(x)=xaf(t)dt=f(x)本定理沟通了导数

10、和定积分这两个从表面看去似乎不相干的概念之间的内在联系。推论 若函数f(x)在某区间X上连续，则在此区间上f(x)的原函数存在，原函数的一般表达式可写成 xaf(t)dt+C其中C是任意常数，aX为固定点，xX这个定理告诉我们区间上的连续函数一定存在原函数，但原函数不一定是初等函数若u(x),v(x)在区间X上可导，当xX时，u(x),v(x)E且f(x)在区间E上连续，则f(t)dt=f(u(x)u(x)-f(v(x)v(x)事实上，取aE，a为定点，利用导数的运算法则和复合函数求导，有f(t)dt=f(t)dt+f(t)dtf(t)dt+f(t)dtf(u(x)u(x)-f(v(x)V(x

11、)特别f(t)dt=f(u(x)u(x)，f(t)dt=-f(v(x)v(x)，axf(t)dt=-f(x)例3 求costdt解 cosxdt=3xcost2xcosx例4 求解 （）·三、牛顿莱布尼兹公式由和式的极限求定积分的值是十分复杂的，在多数情况下是行不通的，而微积分学基本定理却为定积分的计算方法开避了新途径，我们有下面的定理。定理二(牛顿莱布尼兹公式)设函数f(x)在a,b上连续且F(x)是它在该区间上的一个原函数，则 baf(x)dx=F(b)-F(a) （）证 由定理条件知，xaf(t)dt是f(x)在区间a,b上的一个原函数，而F(x)也是f(x)在区间a,b上的一

12、个原函数，则 xaf(t)dt-F(x)C,C是某一个常数即xaf(t)dtF(x)+C在上式两边令x=a，有aaf(t)dt=F(a)+C，有C=-F(a)，有 xaf(t)dt=F(x)-F(a)再令x=b，就有 baf(t)dt=F(b)-F(a)即 baf(x)dx=F(b)-F(a)公式(2.5)称为牛顿莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式，这是一个非常重要的公式，它给出了定积分与不定积分之间的联系，通过它，我们可利用不定积分来计算定积分，而不必用求和式极限的方法来计算，这个公式是定积分计算的基础，为了书写方便，常用F(x)ba表示F(b)-F(a)，于是公式(2.5)可写成

13、 baf(x)dx=F(x)ba=F(b)-F(a)例5 求xdx解 10xdxx（）例6 求 (x+2cosx)dx解 (x+2cosx)dxxdx+cosxdx（x)(sinx）（）（sin-sin）例7 设f(x)= 求f(x)dx解 由函数f(x)在，上有间断点，除该点外函数连续，由本章第一节定理已知f(x)在，上可积，且f(x)dxsinxdx+xdx-(cosx）（x）（）第三节 定积分的计算方法§3.1 几种基本的定积分计算方法虽然定积分的计算可以归结为求被积函数的原函数，但有时求被积函数的原函数是比较麻烦的，例如用变量代换法，求得原函数后，再换回原来的变量，而定积分只

14、需计算出它的值，由不定积分中有换元法，因此有一、变量代换法定理(定积分换元积分法)若函数f(x)在a,b上连续作变量代换x=(t)，(t)满足下列条件(i)()=，()=b且(t)a,b,t、(ii)在，(或，)上有连续的导数(t)，则有定积分换元公式 baf(x)dx=f(t)(t)dt （）证 由(3.1)式两边的定积分的被积函数都是连续，所以它们的原函数都存在，设F(x)是f(x)在a,b上的原函数，即F(x)=f(x)，由F(t)=F(t)(t)=f(t)(t)，即F(t)是f(t)(t)的原函数，由牛顿莱布尼兹公式，有 baf(x)dx=F(x)ba=F(b)-F(a) f(t)(t

15、)dt=F(t)=F()-F()=F(b)-F(a)从而(3.1)式成立公式(3.1)式从右向左又称为定积分的凑微分法，实际上，我们常按下面的方法计算g(t)dt=f(t)(t)dt=F(t)=F()-F()避免变动上下限公式(3.1)式从左向右又称为定积分的变量代换法。在用变量代换法时，为了保证(t)a,b，只需(t)在，(或，)上单调即可。注意(1)对应a的为下限，对应b的为上限(2)公式(3.1)式中的，谁大谁小不受限制例1 求edx解 edxe d(1+lnx)（lnx)e（lne)（）例2 计算a0dx(a>0)解 令x=asint，则t，时，x=asint0,a，且t=0时，

16、x=0,t=时，x=a,于是 adxacostdasintacostdt (1+cos2t)dtt+·图-利用定积分几何意义知，由0，则adx表示曲线y=与x轴，y轴围成的曲边梯形面积，即以原点为心以a为半径圆面积的倍，为例3 解 设t，即x，则dx=-tdt由变换t=，当x=-1时，t=3，当x=1时，t=1，因此·（）t dt dt（t5t）例4 求解 令x=sint，则dx=costdt，当x时，t=；当x时，t=，故cscx dt（-ot t)=(-1)-(-）例5 设f(x)=，求f(x-2)dx解 f(x-2)dx,令x-2=tf(t)dt（t+t）（-e-t)

17、（）（e）二、分部积分相应于不定积分的分部积分公式，定积分也有分部积分公式，若u(x),v(x)在区间a,b上具有连续的导数，有u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)有u(x)v(x)=u(x)v(x)-u(x)v(x)由等式两边的函数在a,b上都连续，因此可积且相等，有bau(x)v(x)dx=ba(u(x)v(x)-u(x)v(x)dx于是bau(x)dv(x)=u(x)v(x)babav(x)du(x)，简记为baudv=uvba-bavdu，因此有定理(定积分的分部积分)，若u(x),v(x)在a,b上具有连续的导函数，则 baudv=uvba-bavdu （）公式(3.

18、2)告诉我们，在利用定积分分部积分公式计算定积分时，不必等到原函数求出以后才将上下限代入，可以算一步就代一步。例6 xcosx dx解xcosx dx=xdsinxxsinx2xsinxdx=+2xdcosx（xcosxcosxdx)=2(2-sinx)例7 dx解dxdxxdtgxxtanx-tanxdxlncosxln2例8 设f(x)=x dt,计算f(x)dx解 f(x)dx=xf(x)xf(x)dxdt-xdxdx-xdxsinxdxsinxdx=（-cosx)§3.2 几种定积分简化的计算方法一、关于原点对称区间上函数的定积分(i)若f(x)在区间-a,a上连续，则f(x

19、)= （）事实上，由f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx由f(x)dx,令x=-t,f(-t)d(-t)f(-x)dx 故f(x)dx=(ii)若f(x)在-a,a上连续f(x)=，由为偶函数，为奇函数，由(i)知f(x)dx=dx+dx2dx=f(x)+f(-x)dx （）例9 求 (x+x)e-xdx解 由xe-x为偶函数，xe-x为奇函数，从而（x+x)e-xdxxexdx=2xe-xdx2xd(-e-x)=2-xe-xe-xdxe-e-xee例10 dx解，虽然在，上既不是奇函数，也不是偶函数，但我们可以利用(ii)来简化计算，有dx=dx()dx=sinxdx（cos2x)dx=

20、 (x-sin2x)（）注：本题用其它方法很难求出。二、周期函数的定积分设f(x)为同期函数，周期为T，且连续，则f(x)dx=f(x)dx(a是任意常数)(3.5)事实上，由f(x)dxaf(x)dx+Tf(x)dx+f(x)dx由f(x)dxaf(t+T)dt=af(t)dt=af(x)dx,于是f(x)dx=-af(x)dx+Tf(x)dx+af(x)dx=f(x)dx三、sinnx,cosnx在，上的积分对任意的自然数n，有sinnxdxcosnxdx（）证：首先证明sinnxdxcosnxdx由sinnxdxsinn（t)d(t)cosntdtcosnxdx设 Insinnxdx由

21、Insinnxdxsinn-1xdcosx-sinn-1xcosx+cosx(n-1)sinn-2xcosxdx(n-1)sinn-2x(1-sinx)dx(n-1)sinn-2xdx-(n-1)sinnxdx(n-1)In-2-(n-1)In，有InIn-2·In-4当n为偶数时 In=·当n为奇数时 In=·由Isinxdx=，sinxdxcosx因此 sinnxdx例11 求x dx解 xdxxdx2sintcosdt=2sint(1-sint)dtsintdt-sint dt（····）例12 证明sin2nxdx=

22、cos2nx=4sin2ndx证 首先证明sin2nxdx=cos2nxdx由sin2nxdxsin2n(2-t)dtcos2ntdtcos2nxdx由sinx周期为，当然2也是它的一个周期，从而sin2nx的周期为，并且2也是它的一个周期，由公式(3.5)有sin2nxdx=sin2nxdxsin2nxdxsin2nxdx=4sin2nxdx··从证明的过程，我们还可以得到sin2nx dxcos2nxdx=2sin2nxdx掌握以上的公式，可以化简定积分的计算四、灵活运用变量代换、计算定积分例13 设函数f(x)在，上连续，证明xf(sinx)dxf(sinx)dx并利

23、用此结果，计算dx证xf(sinx)dx-(-t)f(sint)dt (-x)f(sinx)dx=f(sinx)dx-xf(sinx)dx于是移项并除2，就有xf(sinx)dx=f(sinx)dx利用此结果dx=dx=dxcosxdcosxdcosxdcosxdcosx（cosx）(aretan(cosx)）例14 计算 dx解 dxsectdtlndt=dtlndtlncos（t)dt-lncostdt图-由lncos（t)dtlncosudulncostdt，所以质式ln dtln以上两个例子，被积函数的原函数很难求出来。例18 求dt解 由dtdududt由dtdt=dt=故dt。第四

24、节 定积分的应用§4.1 平面图形的面积设连续曲线y=f(x)，ox轴及直线x=a,x=b(a<b)图-所围成的曲边梯形的面积为S(1)当f(x)0时，由定积分几何意义知，S=baf(x)dxbaf(x)dx(2)当f(x)0时，作出曲线y=f(x)关于ox轴的对称曲线y=-f(x)，则曲线y=-f(x)，ox轴及直线x=a,x=b围成曲边梯形的面积S与S相等，如图-，即Sba-f(x)dx=baf(x)dx因此，一般地连续曲线y=f(x),ox轴及直线x=a,x=b(a<b)所围的曲边梯形的面积S为S=baf(x)dx （）同理，由曲线x=(y),oy轴及直线y=c,y

25、=d(c<d)所围的曲边梯形面积S(如图-)为S=dc(y)dy=ec(y)dy+de-(y)dy一般地，由两条连续曲线y=f(x),y=f(x)及直线x=a,x=b(a<b)，所围的平面图形面积的计算公式为S=baf(x)-f(x)dx （）图-图-事实上，对图-baf(x)dx-baf(x)dxbaf(x)-f(x)dxbaf(x)-f(x)dx图-图5-12 对图5-11进行坐标轴平移(设00=k)，在新坐标系下两条曲线分别为y=f(x)+k,y=f(x)+k,由图5-10知Sba(f(x)+k)-(f(x)+k)dxbaf(x)-f(x)dx对如图5-12caf(x)-f(

26、x)dx+bcf(x)-f(x)dxcaf(x)-f(x)dxbcf(x)-f(x)dxbaf(x)-f(x)dx对上面3种情况也可用定义得到，如图-，在a,b内插入n-1个分点a=x<x<x<<xi-1<xi<<xn-1<xn=b相应地分成n个小区间xi-1,xi，记xi=xi-xi-1过分点作oy轴平行线增大的图形分成n个小的图形。设第i个图形的面积为Si i=1,2,n由两条曲线连续，近似看成矩形，底为xiixi-1,xi,高为f（i)-f(i）有Sif(i)-fi(i）xiSf(i）-f(i)xibaf(x)-f(x)dx同样 由连续曲线

27、x=(y)，x=(y)，及直线y=c,y=d所围的曲边梯形面积为S=dc(y)-（y)dy，如图-图-图5-14求简单曲线所围成的面积时(1)首先求出曲线的交点(2)画出经过交点的曲线(3)由所围的平面图形，选择适当的公式来计算。注意 若曲线很简单时，也可在画曲线的过程中求交点。另外，也可利曲线关于坐标轴对称，来简化计算。例 求由抛物线y=2x及直线y=x-4所围成的平面图形的面积。解 由 解得图5-所求的面积是由曲线x=y+4,x=y及直线y=2,y=4所围成，如图-，故有S(y+4)-ydy（y）本题如用公式(4.3)来计算，就需要将整个面积分成两部分S及S，然后计算S，相加才得S，读者可

28、以计算一下，这样做就复杂多了。例 求曲线y=，及直线y=x,x=2所围成的平面图形面积解 此题的曲线都很简单，可在画曲线的过程中求出交点，所求的面积由曲线y=x,y=及直线，x=2所围成，如图-，故有图5-S(x-）dx（x-lnx)（ln2)-(）ln2图5-例 求椭图所图的面积解 由椭园关于x轴及y轴对称，只需计算位于第一象限部分的面积，然后乘以4就得到求平面图形面积S，如图-由，解得y=±，故上半椭园的方程是y=，因此Sadxacostacostdt=4abcostdt4ab··=ab特别，当a=b=R时，得园的面积为S=R§4.2 立体及旋转体的

29、体积一、立体的体积设为一空间位体，它夹在垂直于x轴的两平面x=a与x=b之间(a<b)，我们称为位于a,b上的空间立体，在区间a,b上任意一点x处，作垂直于x轴的平面，它截得立体的截面面积显然是x的函数，记为A(x),设为x的连续函数，xa,b，我们称为空间立体的截面面积函数，如图-所示，如何计算立体的体积。1.分割 在区间a,b内插入n-1个分点a=x<x<x<<xi-1<xi<<xn-1<xn=b过x=xi(i=0,1,2n)作垂直于x轴的n+1个平面，这些平面把分割成n个薄片，记xi=xi-xi-1,i=1,2n2.作和 由A(x)在

30、a,b上连续，当=maxxi 1in很小时，A(x)在xi-1,xi上变化不大，从而每个薄片都可以用一个薄柱体来近似第i个薄片的体积，Vi近似于以ixi-1,xi，A(i)为底，以xi为高的柱体体积，即图5-18ViA(i)xi i=1,2,n从而的体积 VViA(i）xi3.取极限 由A(x)在a,b上连续，所以baA(x)dx存在 V=A(i）xibaA(x)dx （）例4 设有底面半径为a的园柱，被一与园柱的底交成角，且过底之直径AB的平面所截，求截下的楔形的体积。解 取坐标系如图-，这时，垂直于x轴的截断面都是直角三角形，它的一个锐角为，这个锐角的邻边长为，故断面面积为图5-19 A(

31、x) (a-x）tan则所求楔形的体积为 V2a (a-x）tandxtana(a-x)dx=atan二、旋转体的体积求由连续曲线y=f(x),ox轴及直线x=a,x=b所围成的曲边梯形，绕ox轴旋转而成的旋转体的体积Vx图5-20把旋转体看成夹在两平行平面x=a，x=b之间，那么在a,b上任意一点x处作平行两底面的平面与立体相截截面积为A(x)=f(x)=f(x)，因此，由公式(4.5)知图- Vxbaf(x)dx （）例5 求由椭园围成的图形绕ox轴旋转面成的旋转椭球体的体积。解 由椭园方程解得y= (a-x)，根据(4.6)式得该椭园围成的平面绕ox轴旋转而成的旋转椭球体体积为 a-ay

32、dx=a-a (a-x)dxa(a-x)dxax-a0=ab特别，当a=b=R时，可得半径为R的球体的体积 §4.3 微元法及应用一、微元法回顾前面讨论的曲边梯形面积，变力作功，变速直线运动路程，立体的体积等具体问题，可以将定积分解决实际问题的方法与步骤归结如下三步(1)分割 即通过将区间a,b任意分为n个小区间xi-1,xi(i=1,2,n)，相应地把所求的量Q(如面积，功，路程，体积等)分为n个部分量Qi(2)作和，即在每个小区间xi-1,xi上求出所求量Qi的具体下面形式的近似值 Qif(i)xi （）其中i是xi-1,xi上任一点，xi=xi-xi-1，然后将各部分量的近似值

33、相加，得到所求量Q的近似值Qf(i)xi(3)取极限 在上式中令=maxxi 1in0，取极限，得到所求量 Q=f(i)xibaf(x)dx （）从上面过程可以看出，在上述三步中，关键是第二步中写出区间xi-1,xi上的部分量 Qif(i)xi （）它一旦确定后，被积表达式也就确定了，问题是Qi与f(i）xi之间存在什么关系(因为近似是一个模糊的量，它们之间近似的程度应满足什么要求，我们把(4.9)式写成更一般形式，设xi-1=x,xi-xi-1=x=xi-1+x=x+x取x,x+x中的任何值都可以，自然也可以取它的左端点，即=x，这样(4.9)式就变成了区间x,x+x上的部分量 Qf(x)x

34、如何正确地写出这个近似表达式，使得积分baf(x)dx恰好就是所求的量Q呢?我们由果索因设(4.7)式中的f(x)在a,b上连续，由 Q=baf(x)dx=baf(t)dt （）(4.)式实际上是Q(x)=xaf(t)dt在x=b处的值，即Q=Q(b)由 QQ(x+x)-Q(x)f(t)dt-xaf(t)dtf(t)dt+axf(t)dtf(t)dtf()x xx+x由f(x)在a,b上连续，且区间x,x+x很小，则f()f(x)，即 Qf(x)x另一方面=f(x),有 dQ=f(x)dx由Q(x)在点x处可导，则Q(x)在点x处可微，由微分定义 QdQ+o(x)=f(x)dx+o(x)f(x

35、)x+o(x) (x0)因此(4.10)式中的f(x)x应当是Q的线性主部，即是dQ所以 Q=baf(x)dx中的f(x)dx=f(x)x是区间x,x+x的部分量Q的线性主部d，Q-f(x)x应当x的高阶无穷小。这样，可以把定积分解决实际问题在认清实质的情况下使得步骤简化，得到求Q的方法。序曲：根据所给条件画图，适当建立坐标系，把图中所需要的曲线方程表示出来，确定要求量Q所分布的区间a,b三步曲 取近似，选取区间x,x+x x>0写出部分量Q的近似值f(x)x，即 Qf(x)x要求f(x)x是Q的线性主部dQ，即在计算的过程中，尽可能的精确，可以略去x的高阶无穷小。这一步是最关键，最本质

36、的一步，所以称为微元分析法或简称微元法2.得微分 dQ=f(x)dx3.得积分 Q=baf(x)dx二、曲边扇形的面积求由连续曲线r=r()与射线=,=所围图形(图-)，(称为曲边扇形)的面积。由曲边扇形分布在区间，上图-1.考察,+区间上曲边扇形的面积Sr()2.dSr()d3.Sr()d （）下面 我们来证明r()确实是S的线性主部，即dSr()d事实上，由函数r=r()在，上连续，则在区间,+上连续，设M，m为r()在,+的最大值与最小值，则mr()M,有mr()，即mSm有mM当0时有mr() Mr()，由夹逼定理知r()，即 dSr()d但实际中，要检验所求的近似值f(x)x是否为Q

37、的线性主部即dQ或者说要检验Q-f(x)x是否是Q的高阶无穷小往往不是一件容易的事，并不是每个实际问题都可以像求曲边扇形的那样来进行检验，因此，在求Q的近似值时要特别小心谨慎，要尽可能的精确，对于x的高阶无穷小可以略去，还可以用实践来检验结论的正确性。例6 求双纽线(x+y）=x-y所围图形的面积图-解 由方程中x用-x代替方程不变，y用-y代替方程不变，则曲线关于x轴及y轴对称，因而面积只须计算第一象限面积，再乘以4倍。由从方程中解y很困难，因此难认用直角坐标系下求平面图形面积的方法，双纽线在极坐标系下的方程 r=cos2 r在第一象限0，要使r0，则0由公式(4.11)有Sr()dcos2

38、d=sin2三、平面曲线的弧长在初等几何中，解决园周的长度问题所用的方法是：利用园内接正多边形的周长作园周长的近似值，再令多边形的边数无限增多而取极限，就定出园周的周长，因此，我们也用类似的方法来定义平面曲线弧长的概念。定义 设A，B是平面曲线的两个端点(这里所指的曲线弧，它自身不相交，且非封闭，否则，可分段考虑，并规定曲线的弧长为各个分段的弧长之和。)在上依次任意取点A=MMi-1,MiMn图-作折线MMi-1MiMn(如图)以Sn记此折线的长，即Sn记，若Sn存在，此极限与曲线弧上点Mi的取法无关，则称此极限为曲线的长度或曲线的弧长，此时，也称曲线是可求长的。设所给曲线由参数方程t表示，其

39、中(t),(t)在，上具有连续的导数，且(t)+(t)0，我们称为光滑曲线，设的两个端点A，B各对应于参变量t的与(<)，现在来计算曲线AB的长度。由所求的曲线可看成分布在参数t所对应的区间，上，我们可采取微元法来计算AB的弧长1.选取t,t+t，设参数t对应曲线上的点为M(t),(t)参数t+t对应曲线上的点为N(t+t),(t+(t)，对应的弧长为S则SMNt=t+tt,t+t 当t0时，有t,t由-有t是t的高阶无穷小，因此St2.dSdt3.Sdt因此，若给定曲线弧AB的方程为用(t),(t)在，上连续，且2(t)+2(t)0，则曲线弧是可求长的，其弧长S可表示为Sdt （）若曲

40、线方程 y=f(x) (axb)给出，并且A与B各点对应于自变量x的值a与b，这时 axb代入(4.12)即得曲线弧的长为 Sbadx若曲线方程 x=(t) yc,d给出，并且A与B各点对应于自变量y的值c与d，这时代入(4.12)，即得曲线弧长的长为 S=dcdy若曲线由极坐标方程 r=r() 表示，由极坐变换化为参数方程 由x()=r()cos-r()sin，y()=r()sin+r()cos，于是Sd=d二弧长微分公式若选定点M(t），(t），t，为度量弧长的起点，M(t),(t)为弧上一 点，设弧的长为S，虽然弧长S是t的函数S(t)，这里规定：当t>t时，S取正值；当t<

41、t时，S取负值，则当t增加时S也增加，因此，S=S(t)是严格增函数，由公式 S(t)=ttdt （t)来表达，对积分上限求导，得>0从这里也可以看出s=s(t)是增函数，改写成微分形式，即得弧长的微分方式 ds=dt （）(4.13)式称为弧长的微分方式若曲线方程 y=f(x) (axb) 则 ds=dx若曲线方程 x=(y) (cyd)则 ds=dy若曲线方程 r=r() 则 ds=d弧微分的几何意义：由ds=dt 有ds= （）图-它的几何意义是，当自变量x增加到x+x时，相应的曲线的切线长 MP=ds=s这正是在点M处曲线的长可近似用切线长来代替的原因。例 求园x+y的周长解 记

42、园的方程化成参数方程 2则sdRdR例 求曲线xylny(1ye)的弧长解 所求曲线的弧长为s=ee dy例 求内摆线xy=a的周长解 由曲线关于x轴及y轴对称，只需计算第一象限内曲线的长乘以4即可，不妨设a>0由 y=，（）s=4a（）dx=6a注：也可化为参数方程在第一象限的参数0由 xacossin y=3asincoss=4dasincosd=6asin2d=3a(-os2)=6a图-四、旋转体的体积及侧面面积求连续曲线y=f(x)，x轴及直线x=a,x=b(0<a<b)图-所围的平面图形绕y轴所形成旋转体的立体体积Vy。把所求的旋转体看成分布在区间a,b上。1.取区

43、间x,x+x，该区间上平面图形绕y轴旋转所成旋转体的体积V为一个空心园柱体。由第二章第三节微分的实际例子知Vy2xf(x)xy=2xf(x)dxy=2baxf(x)dx例10 求由曲线y=(x-1)(x-2)和x轴围成一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积。解 由公式(4.15)知Vy2x(x-1)(x-2)dx-2x(x-1)(x-2)dx=2 求由连续曲线y=f(x)，x轴及直线x=a,x=b所围平面图形绕x轴旋转所形成旋转体的侧面面积Sx。如图-图-将所求旋转体的侧面积看成分布在区间a,b上1.选取区间x,x+x，该区间的侧面积Sx看成上底半径为f(x)，下底半径为f(x+

44、x)，母线为S的园台的侧面积，因此，由园台侧面积公式Sx2Sx2f(x)x即Sx又可简单地看作一园柱的侧面积，该圆柱的底园半径为f(x)，高为ds=dx2 dsxf(x)dx3 sx=2baf(x)dx （）注意，园柱的高不能看成x，否则Sx2f(x)x但f(x)(）一般情况下不为0，(当f(x)0,f(x)0)即dsx2f(x)dx，因此，我们计算Q的近似值时，要利用已知的关系，尽可能的精确。例11 求半径为R的球面的面积解 半径为R的球面的面积可以看成园x+y=R所围的平面图形绕x轴旋转所形成旋转体的侧面积图-由yS2ydx2ydxRdx=4R§4.4 定积分在实际中的应用一、液

45、体的静压力在设计水库的闸门、管道的阀门时，常常需要计算油类或者水等液体对它们的静压为，这类问题也可用定积分来计算。例12 一园柱形水管半径为1米，若管中装水一半，求水管阀门之所受的静压力图-解 取坐标系如图，此时变量x表示水中各点的深度，它们变化区间是，园的方程为x+y。由物理知识，对于均匀受压的情况，压强P处处相等，要计算所求的压力，可按公式 压力压强×面积计算，但现在闸门在水中所受的压力是不均匀的，压强随着水深度x的增加而增加，根据物理知识，有 P=x(吨米），W=1吨米，因此要计算闸门所受的水压力，不能直接用上述公式，但是，如果将闸门分成几个水平的窄条，由于窄条上各处深度x相差很小，压强P=wx可看成不变。1 选取深度x,x+x，所受到的压力为F，则 Fwx·2yx=wx·2x2 dF=wxdx3 F2wxdx=2w(- (1-x）（吨)二、功例13 设有一直径为20米的半球形水池，池内贮满水，若要把水抽尽，问至少作多少功。图-解 本题要计算克服重力所作的功，要将水抽出，池中水至少要升高到池的表面，由此可见对不同深度