平面向量教师版

1、数学：第二讲 平面向量一、知识结构二、重要知识及典型例题1、向量的相关概念a、b、c表示.（2）向量的模：就是向量的长度(或称模)，记作.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.（3）零向量与单位向量：长度为0的向量称为零向量，用表示.两个特征：一长度为0；二是方向不定.长度为1的向量称为单位向量.（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量.规定：零向量与任一向量都平行.（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量，若向量与向量相等，记作=.2、向量的运算（1）向量的加法：将两个向量的求和运算称为向量的加法 法则适用于“首尾相接”的两向量之和，法则适用于“共起点”

2、的两向量之和.推广：多边形法则： 交换律： 结合律：重要不等式：两个非零向量与：|-|+（说明：与同向时取后“=”；与异向时取前“=”）特别地：+=（与互为相反向量）（2）向量的减法：向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-) 法则：（同始连终，指向被减）作平移，共起点；两尾连，指被减。重要不等式：-+（说明：与同向时取前“=”；与异向时取后“=”）3、实数与向量的积（1）实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记，它的长度与方向规定如下：=·当0时，的方向与的方向相同；当0时，的方向与的方向相反；当=0时，=,方向是任意的.（2）运算律：设、为实数，那么：(a)=；(+)=+

3、；(+)=+（3）共线定理：向量与非零向量共线是有且只有一个实数，使得=.4、平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1 、2使：=1+2 （，叫做一组基底）向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，它们的结果仍为向量.5、平面向量的坐标运算 和与差：±=(x1±x2,y1±y2)如果A(x1，y1)、B(x2,y2)，则= 若=(x,y),则=(x,y) 如果=(x1,y1),=(x2,y2)()则6、线段的定比分点：点P分有向线段 向量式：=· 坐标式： 坐标公式：(-1)

4、中点公式：重心：7、平面向量的数量积及运算律 (1).概念 两平面向量和的夹角：，是两非零向量，.两平面向是和的数量积(或内积)：数量·=·规定，零向量与任一向量的数量积均为0.·=0是或，中至少一个为的充要条件几何意义：向量的模与在的方向上投影cos的乘积.一个向量在另一向量方向上的投影：称为向量在的方向上的投影（2）性质：设、是两非零向量，是单位向量，是与的夹角， ·=·=； ·=0、同向·=·,反向·=-;特别地 ·=2=2或=.= (为，的夹角)；··（3）.平面向量

5、的数量积的运算律 交换律：·=·； 分配律：(+)· =·+· 数乘向量与数量积的结合律：(·)=()·=·();(R)（4）两向量的数量积与两数之间的乘法的区别当时，不能由·=0，推出=，因可能不为，但可能与垂直.不满足消去律，即·=·=不满足结合律，即 (·)(·)·， 8、平面向量数量积的坐标表示；向量的模：若=(x,y),则= 两点间距离公式：=；夹角：=9、平移（1）平移公式： =+(平移向量公式) (平移的坐标公式)；变换公式（2）题型：（一设

6、二找三代四换）（待定系数法、配凑法、逆推法）10、正弦定理 余弦定理 （1）正弦定理、三角形面积公式（为外接圆半径）=2R；S=bcsinA=absinC=acsinB变形：；=,=,=. 应用：求角、边、判断三角形的形状（实现三角形中边角关系转化）（2）余弦定理在ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC；变形：=；（3）正、余弦定理应用：求角、边、判断三角形的形状（实现三角形中边角关系转化）注意：A+B+C=；0A，B，C；sin=sin=；(A+B)=11、解斜三角形应用举例（1）常用概念：仰角、俯角；方向角（北偏东6

7、0°，西南方向）、方位角；水平距离、垂直距离、坡面距离；坡度（坡比）、坡角（2）解题步骤：根据题意作出示意图；确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元与未知元；选用正、余弦定理进行求解，有时需综合运用这两个定理，并注意运算的正确性；给出答案.【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主透析高考试题，知命题热点为：1向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积2平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义3两非零向量平行、垂直的充要条件4图形平移、线段

8、的定比分点坐标公式5由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等6利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题【例题解析】1. 向量的概念，向量的基本运算(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念.(2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面

9、向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.(6)掌握平面两点间的距离公式.例1已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（）命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力解：故选A例2在中，M为BC的中点，则_.（用表示）命题意图:本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积.解：，所以,.例3如图1所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量( )（A）（B）（C）（D）命题意图:本题主要考查向量的加法和减法运算能力.解：，故选A.例4与向量=的夹解相

10、等，且模为1的向量是 ( )(A) (B) 或（C） （D）或命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.解：设所求平面向量为由另一方面,当当故平面向量与向量=的夹角相等.故选B. 例5设向量与的夹角为，且，则_命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解:，是不平行于轴的单位向量，且，则= （） （A） （B） （C） （D） 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.解:设，则依题意有故选B.、的和.如果向量、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（

11、 ）（A） （B）（C） （D）命题意图:本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.常规解法：，故把2 (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30后与重合，故，应选D.巧妙解法：令=，则=，由题意知=，从而排除B，C，同理排除A，故选(D).点评：巧妙解法巧在取=，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数

12、问题求解.(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大.例8设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),xR,且函数y=f(x)的图象经过点，（）求实数m的值；（）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.解：（），由已知，得（）由（）得，当时，的最小值为，由，得值的集合为例9设函数.其中向量.（）求实数的值;（）求函数的最小值.解：（），得（）由（）得，当时，的最小值为例10已知向量(sin，1)，(1，cos)，（）若，求；（）求的最大值命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公

13、式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.解：（）若，则sincos0，由此得 tan1()，所以；（）由(sin，1)，(1，cos)得，当sin()1时，|ab|取得最大值，即当时，|ab|最大值为1【专题训练】一、选择题1已知的值为（）A6B6CD2已知ABC中，点D在BC边上，且则的值是（）ABC3D03把直线按向量平移后，所得直线与圆相切，则实数的值为（ A ）A39B13C21D394给出下列命题：·=0，则=0或=0. 若为单位向量且/，则=|·.··=|3. 若与共线，与共线，则与共线.其中正确的个数是（）A0B1C2D35.在以

14、下关于向量的命题中，不正确的是（ ）A.若向量a=(x，y)，向量b=(y，x)(x、y0)，则abB.四边形ABCD是菱形的充要条件是=，且|=|C.点G是ABC的重心，则+=0D.ABC中，和的夹角等于180°A6.若O为平行四边形ABCD的中心， = 4e1, = 6e2,则3e22e1等于（ ）A. B. C. D.y=x+2的图象按a=（6，2）平移后，得到的新图象的解析式为（ ）A.y=x+10B.y=x6 C.y=x+6D.y=x108.已知向量m=(a,b)，向量mn且|m|=|n|,则n的坐标为A.（a,b）B.( a,b)C.(b,a)D.( b,a)9.给出如下

15、命题：命题（1）设e1、e2是平面内两个已知向量，则对于平面内任意向量a,都存在惟一的一对实数x、y，使a=xe1+ye2成立；命题（2）若定义域为R的函数f(x)恒满足f(x)=f(x),则f(x)或为奇函数，或为偶函数.则下述判断正确的是（ ）A.命题（1）（2）均为假命题B.命题（1）（2）均为真命题C.命题（1）为真命题，命题（2）为假命题D.命题（1）为假命题，命题（2）为真命题10若|a+b|=|a-b|，则向量a与b的关系是（ ）A. a=或b= B.11O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P的轨迹一定通过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心12若,

16、, 则=（）A 4 B 15 C 7 D 3二、填空题1已知与的夹角为60°，则与的夹角余弦为.2已知（4,2,x），(2,1,3),且，则x.3向量，则和所夹角是4 已知A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1), 点D满足条件：DBAC, DCAB, AD=BC, 则D的坐标为 .5设是直线，是平面，向量在上，向量在上，则所成二面角中较小的一个的大小为三、解答题1.ABC中，三个内角分别是A、B、C，向量时，求.2.在平行四边形ABCD中，A（1，1），点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.（1）若求点C的坐标；（2）当时，求点P的轨迹.3.平

17、面内三个力，作用于同丄点O且处于平衡状态，已知，的大小分别为1kg，kg，、的夹角是45°，求的大小及与夹角的大小.4.已知a，b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角.5.设a=(1+cos,sin),b=(1cos,sin),c=(1,0),(0,)(,2),a与c的夹角为1，b与c的夹角为2,且12=，求sin.6.已知平面向量a=（，1），b=（，）.(1)证明：ab；(2)若存在实数k和t，使得x=a+(t23)b,y=ka+tb,且xy，试求函数关系式k=f(t);(3)根据（2）的结论，确定k=f(t)的单调区间.【参考答案】一、选

18、择题1.B 2D 3A4A5. 答案：C提示：若点G是ABC的重心，则有+=0，而C的结论是+=0，显然是不成立的，选C.6.B 7.B 8.C 9.A 10. C 11B 12D二、填空题1 2 2 360° 4（1，1，1）或 53解：由, ,有，, 解得, 4.解：设D(x, y, z), 则，（x-1, y, z）,(-1, 0, 1), (-1,1, 0), (0, -1, 1)又DBAC-x+z=0, DCAB-x+y=0, AD=BC联立解得x=y=z=1或x=y=z=所以D点为（1，1，1）或。三、解答题1，2.解：（1）设点C坐标为（,又,即. . 即点C（0，6）.（2）解一：设，则. ABCD为菱形.故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半圆去掉与直线的两个交点.解法二：D的轨迹方程为.M为AB中点, 的比为 .设.的轨迹方程.整理得.故点