应变推知位移的方法

1、近年来高空长航时（High-Altitude Long-Endurance）无人预警机越来越受重视，这类飞机普遍具有大展弦比柔性机翼，机翼同时是一部长基线天线。图 1 大展弦比柔性机翼大展弦比柔性机翼在飞行载荷作用下，会产生很大的弯曲和扭转变形图 2 机翼变形示意图结构变形估计为保障机翼的安全性及机翼长基线天线的电性能，要求对机翼的变形进行实时测量，目前主要的实时测量方法有两种：一是模态法；二是Ko位移理论。模态法在仅考虑Y轴方向弯曲变形时，可以将机翼简化为悬臂梁，如图3所示，长为，半径为的圆截面悬臂梁。图 3 模态法应变测量点与位移示例由结构动力学可知，对于分布参数系统，理论上需要采用偏微分

2、方程描述其变形。但实际上，往往采用有限元方法对其离散化。将结构离散化后，整体结构有限元节点总数为，在外载荷作用下的变形可以由下面的运动方程来描述。 (1)式中，分别表示结构的质量阵，阻尼阵，刚度阵以及外载荷向量。对于线性系统，可以由相应振型方程得各阶模态振型。 (2)式中，表示结构固有频率；表示结构模态振型向量。通过特征值和特征向量的求解，可得各阶模态振型如下所示。 (3)式中，表示第阶固有频率所对应的模态振型向量；表示第阶模态振型的第个模态位移。根据模态叠加原理，结构的变形可以表示成 (4)结构位移模态反映的是结构的固有振型，应变是位移的一阶导数。因此，对应于每一阶位移位移模态，则必有其对应

3、的固有应变分布，这种与位移模态相对应的固有应变分布状态称之为应变模态。 (5)式中，表示第阶应变模态向量；表示第阶位移模态向量；表示位移到应变的线性微分算子。由应变模态的定义可知，结构在载荷作用下的变形所对应的应变分布也可以由各阶应变模态的线性组合来表示，且有相同的线性组合系数，即有相同的广义模态坐标。取前阶弯曲模态，在处的测量应变可以表示为 (6)式中，表示第阶应变模态在处的分量。那么个测量应变的矩阵形式如下 (7)由模态分析得到，由测量得到，在时就可以求出，如下所示 (8)在求得前阶弯曲模态所对应的广义模态坐标，并且已知前阶弯曲位移模态的条件下，所有参与评价位移估计精度的节点的估计位移就可

4、以表示为(9)简写为 (10)式中，表示参与评价位移估计精度的节点总数。Ko位移理论从整个机翼来看，变形量很大，但是逐段分析发现，段内变形量仍是一个小量，并且满足线弹性假设。因此将整个梁沿X轴方向划分为多个小段，在每个小段上分别应用经典梁理论的线弹性小变形假设来推导位移。图 4 Ko位移理论应变测量点与位移示例在测得第段段首和段尾位置的应变和之后，通过一次插值函数得到第段内任意位置的应变 (12)由欧拉-伯努利梁理论可知，梁表面的弯曲应变与梁变形后的扰度之间的关系式为 (13)由此，在已知第段段首和段尾位置的转角和扰度的条件下，通过一次积分得到第段内任意点的转角 (14)通过两次积分得到第段内任意点的扰度 (15)显然上述积分过程是一般意义上的积分过程，但是必须是在已知和的前提下，而这在没有完成第段的转角和扰度的计算之前是未知的，即第段的位移估计必须建立在第段的基础上。另外，由悬臂梁的边界条件可知，在第1段内，转角，扰度，由此