微积分在中等数学中影响及其应用

1、摘要3关键词3Abstract3Key words30引言41微积分在中等数学中的影响41.1微积分能极大地拓展学生解决问题的能力4微积分能有效地发展学生的思维能力5微积分有利于学生更深地理解函数的相关知识52微积分在中等数学中的应用6极限在中等数学中的应用6极限在函数中的应用6极限在解析几何中的应用8导数在中等数学中的应用12导数在函数中的应用12应用导数求曲线的切线方程14积分学在中等数学中的应用163总结20参考文献21致谢22微积分理论在中等数学中的影响及其应用摘要：微积分作为高等数学的基础学科，研究函数的极限、微分、积分的规律，克服学生对中学数学的认知难度，使其在理论上具备统一性，使

2、其接替思路清晰，内容简易直观，贯穿了运动，变化及变化者之间的的相互关系，对中学数学培养学生逻辑思维起着不可忽视的作用。通过调查和分析，总结了微积分进入中学课堂的效果，分析了微积分带来的影响，介绍了微积分在中等数学中的应用，并用具体实例说明了微积分对中学数学解题提供了方法和技巧。关键词：中等数学 微积分 函数Abstract:As the basic discipline of higher mathematics, the calculus is the limit, differential and integral of the function. It can overcome the

3、students' cognitive difficulty, make it clear to the theory, the content is simple and direct.Through investigation and analysis, this paper summarizes the effect of calculus in the middle school classroom, analyzes the influence of calculus, introduces the application of calculus in medium math

4、ematics, and illustrates the methods and skills of solving the problem by using the concrete examples.Key words:Medium mathematics, Calculus,Function0引言微积分的概念可以追溯到古代。到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。微积分是与实

5、际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学个分支中，有越来越广泛的应用。微积分在中国的中学教育中已经存在了一段时间，但并不作为主要的教学内容，其存在的目的更多的是为了使学生对微积分有一定的了解。微积分作为数学中的重要部分，在中等数学有着巨大影响。笔者认为，微积分应用于中等数学，使一些题更简单，并为许多问题提供新的解决途径；同时，微积分知识运用技巧性强，它有利于优化学生的认知结构，开阔思路,从而能够使学生形成良好的创造性思维和创新意识，是培养学生能力和科学素养的理想素材。本文就来探讨微积分在中等数学中的影响及其应用。1微积分在中等数学中的影响微积

6、分能极大地拓展学生解决问题的能力一直以来，中国的数学发展都非常局限，数学大纲由开始仅有的算术和三角，逐渐地纳入代数、解析几何、数列、不等式等内容，这些发展给中学的数学增添了很多新力量，这也使得中国的数学有了很大的进步。虽然这样，但是微积分这个新的知识却一直没有被纳入中学考试大纲，只是仅仅被作为选学的内容供那些时间比较多的学生去参考，或者经常作为数学竞赛的内容让有能力的学生去接触。这样的话，这对于学生来说，就有很多不足之处，微积分未引入中学教学大纲，其主要原因是研究学者们认为这一部分对于学生来说，稍微有点难，认为学生难以接受，那么这就导致了学生的知识面比较狭窄，同时，这就容易使得学生一旦遇到难题

7、，就会显得心有余而力不足，慢慢地，学生因此而失去对数学的兴趣。学生对数学失去了兴趣，其中带来的坏处可想而知。相反地，微积分被纳入教学大纲对学生的影响特别大，第一：微积分的内容决定着，它的很多定理、公理以及结论都需要去推理和证明，内容难并且繁琐，并且还有很多需要死记硬背的东西，种种这些，都需要学生有坚强的意志去追求和探索。第二：微积分作为一个新的内容，其内容对于学生来说，处处都是新鲜的，但是其作用却特别大,首先，微积分蕴涵特别重要的函数思想，这对于学生来说，解决函数就容易多了；其次，微积分还可以与函数、几何、不等式以及求切线的方程等内容紧密地联系在一起。可见，微积分的引入对于学生来说，不仅问题的

8、解决方法多了，而且还可以提高学生学习数学的积极性，同样，也增加了学生解决数学问题的能力。微积分能有效地发展学生的思维能力 微积分在分析和解决问题时，其方法很多，灵活运用性很强，这就要求学生对微积分的各个知识都了如指掌，不能仅限于微积分的表面知识，而普通高中数学课程标准（实验）中，就对这一部分内容的教育价值、定位和处理，又做了一定的变化：即在高中阶段，应该通过大量的具体实例，让这些学生更好地理解从“平均变化率到瞬时变化率”、从“有限的思想到无限的思想”，充分认识和理解这种特殊的极限思想，通过它更好地了解这种认识世界的思维方式，从而提高学生的思维能力。 大家知道，微积分先研究的是，函数在某一点处的

9、导数，然后，又研究的是函数在某个区间上的导数，形成了一个新的函数-导函数.这种思想，对于学生来说，就可以让学生来进行发散，老师就可以引导学生想到从局部到整体的思想，把这种思想用到学习与生活中去，从而发展了学生的思维能力。微积分有利于学生更深地理解函数的相关知识 函数贯穿于整个高中数学中，学生要想学习好函数，就必须掌握好函数的概念和全面地学习好函数的性质，那么函数的性质到底有哪些呢？从初中大家就开始学习函数，从初中学习函数的基本图像，到高中又学习了函数的定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、有界性等。总共这些，一起构成函数的性质，这些性质，如果可以把函数图像画出来的话，那么性质就很显然了，所以关

10、键就是必须会画函数的图像，如果学生能够准确无误地画出函数的图像，那么学生就会很快地知道函数的性质了。通过总结，函数由基本初等函数与非基本初等函数组成，对于基本初等函数来说，大家从初中一直学到高中，基本初等函数有一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、三角函数，这些函数的图像，大家可以通过记忆或者描点法来准确地画出，或者大概地画出，但是，非基本初等函数对于我们来说，比如，像类似这样的复杂函数，如果大家采取描点法的话，画的图像就不太准确了，那么到底大家该如何做呢？学习了微积分及其应用后，大家就可以大概地画出这些非基本函数的图像了。画出函数的图像以后，大家可以用数形结合的思想，去分析、去了解函数的所有

11、性质。并且找出影响画函数图像的关键点，从而就可以准确无误地画出大家所想要的函数图像了。微积分的知识，当掌握了之后，那么大家就可以利用函数的一阶导数来求函数的单调性、极值、最值；同时，还可以利用函数的二阶导数来求函数的凹凸区间以及图像的拐点。通过这些，大家大致就可以画出函数的图像了，这样，学生就可以从图像上直接看出函数的性质了。可见，微积分理论确实为解决函数带来了很多的方法。2微积分在中等数学中的应用极限在中等数学中的应用极限在函数中的应用函数与极限有着不可分割的关系。本节就是从中学数学解题出发，探析中学函数题中哪些题型可以运用极限思想。例1函数的值域是（）.(-，-1.(1, +).-1,1)

12、.分析：通常的解法是用反函数的办法来求解，解法如下：解：由，可得，因为，所以或。从而得到答案。而我们用极限的思想考虑有：当时，又取，得，得出答案为。评注：函数求值域问题是在函数学习中经常遇到的问题，当此类型题设置在选择题时，可以考虑采用极限思想来求解，既然避免了复杂繁琐的计算，又节省时间优化解题步骤。例2已知函数（且），当时，函数的零点,则=_解：显然，函数在（0，）内单调递增。若则恒成立。而当无限趋近于2，无限趋近于3时，无限趋近于，故，同理得。由，检验得。评注：本题是关于“零点”的问题，与零点存在性有关。根据零点存在性原则，将未知数、的值取极限值并得到相应的函数解析式，进而得到的值，这种用

13、极限思想求解无疑是一个比较好的方法，对于单调函数在开区间上范围问题将端点取值代入是一种很简单很常规方法。例3已知函数，若、均不相等且=，则的取值范围是（）.(1，10).(5, 6).(10,12).(20,24)分析：已知函数是一个分段函数且由基本初等函数经过变化构成的。我们首先可先画出图像，如图2-1所示，由=作平行于x轴的直线与图像交于、三点。利用极限思想得图2-1当无限趋近于轴时，得当无限趋近于时，得由此得出答案为点评：本题是常考题型之一，此类求范围的函数题根据条件，可以画出图像的应先画出图像，再根据已知条件找出可用联系，然而利用无限逼近的极限思想方法求得区间端点处函数的极限值。极限在

14、解析几何中的应用解析几何问题的求解特点是以代数方法求解几何问题，这类问题容易理解，但是不好答对，究其原因由于盲目运算，以至运算增大，这样不仅影响解题速度，也容易犯错。因此在解题中尽量减少运算则成为迅速而准确解题的关键。利用极限思想可以很好的优化运算过程。例4设椭圆（）的左右顶点分别为、，点在椭圆上且异于、两点，为坐标原点。（）若直线与的斜率之积为,求椭圆的离心率;（）若=,证明直线的斜率满足。图2-2分析:（）略（）当我们看到第二问时，第一直觉会想到根据椭圆方程，直线方程以及=这三个条件，设点坐标，找出与离心率之间的关系，再根据离心率就可以得出的取值范围。这种算法过程非常繁琐，且不易得出正确答

15、案，很容易造成解题混乱，浪费时间又得不出答案。本题可以考虑用极限的思想方法解题：（1）明确题给出的椭圆是任意的一个。（2）当椭圆时，椭圆就无限接近于圆。因此我们可以把圆看成是椭圆的一种特殊情况，又因为题给出=，所以以点为圆心为半径作圆交于点则=，也就是说当时，点点，当点在轴上方时，所以，当点在轴下方时，所以，我们只需求出的值即可。具体解题如下：证明：作以为圆心以为半径的圆，以及以为圆心，为半径的圆；圆与圆相交于点，所以得出=从而得出为等边三角形，因为,所以当、在轴上方时，= 当、在轴下方时，=综上所述，=点评：本题采用的是当椭圆的短轴无限趋近于长轴时椭圆无限趋近于圆，并用圆作为临界状态求出答案

16、过程。整个过程正是极限思想的体现。利用极限思想不仅减少了繁琐的计算，还优化了解题步骤。例5如图2-3，椭圆：（）的左焦点为，右焦点为，离心率，过点的直线交椭圆于、两点，且的周长为8；（）求椭圆的方程；（）设直线：与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，试探出在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点。若存在，求出点的坐标；若不存在请说明理由。图2-3分析：两平行直线可看作是在无穷远点处相交，所以若过无穷远点作图的切线、，其实就是与两条平行直线交的无穷远点。所以由对称性可知，所以以为直径的圆必过圆心；同理以为直径的圆也必过圆心。圆是椭圆的一种特殊形式，当短轴无限趋近于长轴时，椭圆的焦点

17、无限趋近于椭圆的中心，因为，当时也就是焦点与圆心重合时，此时，椭圆就变成了圆。因此根据（1）中的理论，推广到椭圆中就是：(,0),(,0)分别是椭圆：（）的左右焦点，对椭圆上任意一点（椭圆与短轴的交点除外）的切线交直线于点，则以为直径的圆恒过点。要证明一下上述结论成立，只需要证明。证明：设（，）（0）由导数的几何意义，将椭圆方程的两边对求导得，即过点与椭圆相切的直线的斜率得切线的方程：且令，得即又(,0)，且，由故，即同理，将定理改为左准线对应左焦点，结论依然成立。因此本题（）问根据上面的理论可知，因此是椭圆右准线上的点，与椭圆相切，从为直径的圆一定经过椭圆的右焦点。因此我们只要求出点和点的坐

18、标，再证明即可。点评：首先运用极限思想“无穷远点”这一内容在圆中探求题中答案，然后根据圆与椭圆的内在联系将在圆中得到的定理推广到椭圆并证明求得答案。这是本题利用极限思想做题的基本思路，相对传统做法本题的作法产生了普遍适用的结论，当再次遇到类似问题时，学生能够更快解答，也培养了学生抽象思维与逻辑推理能力，是学生深刻理解无穷远点、无穷远直线等与极限思想相关的解题方法。导数在中等数学中的应用微积分当中很重要的的部分就是导数，是一套有关变化率的理论。导数在求曲线的切线问题、判断函数的增减性和求函数最大值和最小值等问题上，有非常重要的应用。初等数学束手无策的问题上，运用导数知识往往迎刃而解，显示出微积分

19、的非凡威力，本节将从两个方面浅谈导数在中学数学中的简单应用。导数在函数中的应用函数的单调性是函数的最基本性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识。用单调性的定义来解决单调性的问题有很强的技巧性，有时候不容易掌握，而使用导数知识来判断函数的单调性则简便而且快捷。例6已知函数，若其，为自然对数的底数。讨论函数的单调性。解：当时，令，得。若，则，从而在（0，）上单调递增；若，则，从而在（，0）上单调递减。当时，令=0，得，故或。若，则，从而在（，0）上单调递减；若，则，从而在（0，）上单调递增；若，则，从而在（，）上单调递减。求最值是令很多学生比较头疼的问题，用初等数学的方法解决起来有时候非常困难

20、，而利用求导数的方法就会简便很多。使用导数的方法求最值分为两步进行。第一步：求函数在区间（,）内的极值（1）求导数。（2）求方程的根。（3）检验在方程的根的左、右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数在这个根处取得极小值。第二步：将在各极值点的极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。例7有甲、乙两个城市，甲城市在一直线高速路处，乙城市与甲城市在高速路的同侧；乙城市位于离高速路40公里的处，它到高速路得垂足与相距50公里；两城市要在此路边共建一个加油站，从加油站到甲城市和乙城市的费用分别为每公里元和

21、元。问加油站建在路边何处，才能使费用最省？解：设则设总的水管费用为，依题意，有令，根据实际意义，当取时，函数取到最小值此时公里，即加油站建在、之间距城市甲20公里处，可使费用最省。例8人在雨中行走，速度不同可能导致淋雨量有很大不同，即淋雨量使人行走速度得函数。记淋雨量为（单位：），行走速度为（单位：）,并设它们之间有以下函数关系：求其淋雨量最小时的行走速度。分析：由实际问题知，而且人行走，即使是跑，其最大速度也不会超过15，从而可取区间0,15,求最值。注意，这里的区间右端点的选取只要不小于实际的最大值均可。于是问题即为求函数在区间0,15上得最小值。解：令可得，加上两个端点，比较它们的函数值

22、：，因此对本问题而言，当行走速度为3时，淋雨量最小。应用导数求曲线的切线方程我们由求平面曲线的切线斜率问题抽象出导数的概念，那么导数在求曲线斜率问题上也就有了重要的意义。导数的几何意义：函数在点处的导数在几何中表示曲线在点，处的切线的斜率，即。由导数的几何意义，可以很容易地求得曲线的切线，这类问题也是近年来高考考查的重点。类型一：已知切点，求曲线的切线方程。这种类型的题，属于比较简单的题，只需要求出函数在在这点出的导数，代入公式，即可。例9求曲线过原点处的切线方程。分析：此类型为点不在曲线上来求切线方程，解题方法：应当先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方

23、程。解：显然原点（0,0）并不在曲线上，由，则可设切线的坐标为（，），所以，则过点的切线方程为因为切线过点（0,0），所以把代入上式方程，可得到，即，所以（1，e）,故切线方程，即。类型二：已知斜率，求曲线的切线方程。此类型的题，可利用用斜率来求切点，再利用直线的点斜式方程求出该曲线的切线方程。例10与直线平行的抛物线的切线方程。解：设(,)为抛物线上的切点，则切点的斜率为则可得到，又得到，所以切线方程，也即是。类型三：已知过曲线上一点，求切线方程。过曲线上一点的切线，该点未必是切点。故应该先设切点，再求切点，即用待定切点法来求切点。例11求过曲线上的一点（1，-1）处的切线方程。解：设(,)

24、为抛物线上的切点，则切点的斜率为，则曲线的切线方程是因为切线过点（1，-1），代入上式，可得到求得或则所求的切线方程为或。点评：通过这道例题可以发现并不以（1，-1）为切点，而实际上是经过了点（1，-1），是以其他点为切点的直线，这就说明了过曲线上的一点的切线，该点未必是切点。所以，一定要先求切点，再用特定切点法来求切线。积分学在中等数学中的应用定积分是高等数学里面的重要内容，它的应用是相当广泛的，一直以来，人们谈论的定积分几乎都是出现在高等数学领域中的，而对于中学数学问题的研究是否也可以运用定积分的相关知识来解决呢？实践表明，答案是肯定得。中学数学中的许多问题也可以用定积分得相关知识来解决，

25、如计算平面图形的面积，立体图形的体积，不等式得证明，恒等式的证明，因式分解及求数列极限等都可以用定积分得相关知识来拓宽解题思路。本节主要论述定积分在证明不等式方面的一些应用。定积分的几何意义是高中数学选修部分的内容，它的几何意义：如果在区间,上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线，（）,和曲线所围成的曲线梯形的面积。定积分的几何意义在中学数学中的应用鲜有涉及，笔者查阅资料发现它在不等式证明中的应用还很广泛，而且用起来很简单。例12设函数，其中。（）略；（）略；（）证明对任意得正整数n，不等式成立。原解（）当时，函数令函数则当（0，）时，恒有即恒成立故当（0，）时，恒有对任意正整数，取（0，），

26、则有。新解（）图2-4要证成立只要证即证又，也就是证由定积分的几何意义知，表示由直线,和曲线围成的曲边梯形的面积，记为；表示矩形的面积，记为，如图2-4所示。显然，即所以要证式成立，只需证成立即证，也就是证不等式成立，因此原不等式得证。点评：利用定积分的几何意义解决证明不等式问题，关键在于将问题不等式的一边转化为曲边梯形的面积，而另一边转化为一个规则图形（比如，矩形、梯形、三角形等），然后利用我们熟悉的知识和方法解决问题。大家可以看出，用定积分的几何意义解决该问题更为简单。例13若，求证：原解原式中的左边因此原式只需证也就是证即证设，构造函数在（0，）上是单调递增函数所以式成立，从而原不等式成

27、立。新解图2-5原式中的左边因此原式只需证又，也就是证利用定积分得几何意义，表示由直线,和曲线围成的曲边梯形的面积，记为；表示矩形的面积，记为，如图2-5所示。一定有，即一定成立从而原不等式成立。点评：利用定积分的几何意义解决问题简单、直观，解决问题时关键在于将问题转化为曲边梯形的面积，定积分的几何意义是高中数学的一个新内容，它的引入为数形结合思想增添了新的活力，是高等数学观点下的中学数学解题方法，在前面一些问题的设置中，也就为我们编制和解决问题提出了新的要求，那就是提高这方面的意识，真正地把握好数与形的不同形式。3总结以上就是本人在查阅资料后，从三大部分分享给大家的微积分理论在中等数学中的影响和应用，希望这些内容可以对大家了解微积分理论有一定的帮助。事实上，微积分理论在中等数学中的影响和应用远远不止这些，在中等数学中也有着其他的影响和应用，在数学中更有着非常大的影响和很多的应用。微积分不仅在整个数学发展史上占有很重要的地位，也是推动数学发展的必不可少的工具。随着微积分理论等这些高等数学知识再次现身中学数学教材，师生都必须重视它。教师除了应该熟练掌握各种题型的初等解法外，还应该善于运用高等