平面向量知识点和例题

1、第二章平面向量1. 向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量。 数量：我们把只有大小没有方向的量称为数量。2. 有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。有向线段三要素：起点、方向、长度。3. 向量的长度(模)：向量AB的大小，也就是向量 AB的长度(或称模)，记作|AB |。4. 零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作 0，零向量的方向是任意的。单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。5. 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。假设向量a、b是两个平行向量, 那么通常记作a / b。平行向量也叫做共线向量。我们规定：零向量与任一向量平行,即对于任一向量a，都有0 /

2、a。6. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。假设向量a、b是两个相等向量，那么通常记作a=b。7. 如图，非零向量 a、b，在平面任取一点 A,作AB =a , BC=b，那么向量AC叫做a与b的和，记作a b，即a b AB BC AC。向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。这种求向量的方法称为向量加法的三角形法那么。8. 对于零向量与任一向量 a，我们规定：|a + O=O + a = a9. 公式与运算定律： A iA 2 +A 2A3+.+ AnAi = 0 | a+b| < | a|+|b|&faA*fc-fc-r-I-r- a+bba(a+b)+

3、ca(b+c)10. 相反向量：我们规定，与 a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a。a和-a互为相反向量。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。 任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a) = (-a)+a=0。 如果a、b是互为相反的向量，那么 a= - b , b = - a , a b= 0。 我们定义a-b= a+ (-b),即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。11. 向量的数乘：一般地，我们规定实数入与向量 a的积是一个向量，这种运算叫做向| 量的数乘。记作 a，它的长度与方向规定如下： | a| | |a|当入0时，a的方向与a的方向相同；当入v 0

4、时，的方向与a的方向相反；入=0时，ACo12.运算定律：(a)a(a b = a b)a( a)( a)(a b = a b13. 定理：对于向量a( a丰0 )、b，如果有一个实数入，使 b= a，那么a与b共线。相反，向量a与b共线,a丰0，且向量b的长度是向量a的长度的卩倍，即| b|=卩| a|，那么当a与b同方向时，有b= a ；当a与b反方向时，有b =a。那么得如下定理：向量向量 a ( a丰0 )与b共线，当且仅当有唯一一个实数入，使 b= a。14. 平面向量根本定理：如果ei、e2是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面的任意向量a，有且只有一对实数1、2,使a ie

5、i2e2。我们把不共线的向量 ei、e2叫做表示这一平面所有向量的一组基底。15. 向量a与b的夹角：两个非零向量a和b。作OA a , OB b，那么 AOBLLrj(0°<q< 180°)叫做向量a与b的夹角。当b =0°时，a与b同向；当b =180°时， a与b反向。如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直，记作a b。16. 补充结论：向量a、b是两个不共线的两个向量，且m n r,假设ma nb 0 ,贝 V m=n=Q17. 正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。18. 两个向量和(差)的

6、坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)。即假设a (X1,y1),b (X2, y2)，贝y a b (X1 X2, y y2), a b (X1 X2, y y2)19. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。即假设a (X1, y1),那么 a ( x1, y1)20. 当且仅当X1y2-x 2y1=0时，向量a、b ( b丰0 )共线21. 定比分点坐标公式：当P1PPP2时，P点坐标为(弋当点P在线段RPa上时，点P叫线段PP的分点，入0 当点P在线段的延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，入V -1 ； 当点P在线段P1P2的反向延长线上时，P叫线段P1P2的外分

7、点，-1 V入V 0.22. 从一点引出三个向量，且三个向量的终点共线，那么OC OA OB，其中入+卩=123. 数量积(积)：两个非零向量 a与b，我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积(或积)，记作a b即a b = |a|b|cos 。其中B是a与b的夹角,| a |cos ( | b | cos )叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。我们规定，零向量与任一向量的数量积为0。24. a -b的几何意义：数量积a -b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积。25. 数量积的运算定律：a b =b a(入a) b = ( a b ) =a (入b)I.I

8、.-I-I-1F(a +b)c = a c +b c2 222， 2- 2 ，、L- 2 2(ab) a2abb (ab)a2abb (ab)(ab)ab假设 a (x, y)，那么 |af x2 y2，或 |a| <x2 y2a bX1X2 y$2|a|b| ? X12x22 y22cos26. 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即a b x1x2 y1 y2。那么：起点和中点的坐标分别为(X,y)(X2, y?)，那么 a(X2X1, 乂%)，|a| (X2 x/ (y2%)2设a(& y) b (X2, y，那么a bX1X2yy0 a b027.设 a、b都是非

9、零向量，a(X1,yj ,b (X2,y2),b是a与b的夹角，根据向如果表示向量a的有向线段的量数量积的定义与坐标表示可得:2021-2021学年度#学校#月考卷试卷副标题1、在平面直角坐标系匡中，角日与角 的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终1pina = H |边关于轴对称，那么也二-()A.D.2、以下命题正确的选项是(A. 单位向量都相等B. 假设a与b是共线向量，c与b是共线向量，那么a与c是共线向量C. |a b 'a b |,贝V a b 0D. 假设ao与bb是单位向量，那么a。bb 13、 设b是a的相反向量，那么以下说法一定错误的选项是A. a与b的长度相等B.a

10、 bC. a'与b 一定不相等D.a是b的相反向量4、 设a,b都是非零向量，以下四个条件，使 b成立的充要条件是冋|bA. a b B. a 2b C. a/b且 a D. a/b且方向相同5、以下命题：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；平行于同一个向量的两个向量是共线向量；相等向量一定共线.其中不正确 命题的序号是A. B. C. D. 6、 以下命题正确的选项是A.单位向量都相等B. 模为0的向量与任意向量共线C.平行向量不一定是共线向量D.任一向量与它的相反向量不相等7、 以下说法不正确的选项是A. a， b为不共线向量，假设 a b b，那么a bB. 假设a， b为

11、平面两个不相等向量，那么平面任意向量c都可以表示为cabC. 假设a b， b c，那么a与c不一定共线ID. aba b8、在平行四边形 ABCD中，点E为CD中点，点F满足AF 2FD, EF xAC yAB ,那么x y1112A.-B.-C.-D.32459、如图，在ABC 中，a°1.AD -AC, BP1 一BD ，假设 APABAC，贝V 的33值为D.10、如图， AB a , AC b , BC 4BD , CA 3CE，那么 DE ()3 ,153,3 .1 ,5 ,3A.baB.abC.abD.ba431244312411、点G为ABC的重心三边中线的交点设GB

12、a,GCb，那么1AB等于2()“31 ,1 ,A. abB.abC. 2a bD.2ab22212、在ABC中，假设AB AC4AP，贝y PB ()A. 3ab -ACB.3 AB 1 ACC.1 AB3 ACD.444444-AB 3 AC4413、如图，在 ABC中，D为线段BC的中点,E, F,G依次为线段AD从上至下的3个四等分点，假设 AB AC 4AP，贝U14、在三棱柱ABCA B1C1 中，假设 CAa,CB b,CGc，那么AB等于A. a b cB.a b cC.a b c D.a b c15、如图，正六边形ABCDEF中，ABCD FE ()A.点P与图中的点D重合

13、B.C点P与图中的点F重合 D.点P与图中的点E重合 点P与图中的点G重合A.0B.ADC.BED.CF16、a3,4，b2, 1且a xba b，贝V x等于 A.23B.23C.23D.23234两点 M , N，假设 AB mAM , AC1 1nAN， m,n为正数，那么的最小值为m nA. 2B. 12 C. 12233D. 12 3318、设两个非零向量与不共线，如果饬+勺和竺共线那么匕的值是A. 1B. -1 C. 3 D.19、点E在直线I花浓I = °上运动，胡巨不，那么1：:-1 -匸的最小值是A. K5 B.17、在厶ABC中，点0是BC的中点，过点0的直线分别

14、交直线 AB , AC于不同20、 向量a 2,1， b 1,3，那么向量2a b与a的夹角为A. 135°B. 60° C. 45° D.30°21、如图，在半径为只的圆匚中，弦翻的长为5,那么他心sl255 -R25 R2 B.2 C.2 D.222、假设四边形ABC是正方形，E是DC边的中点，且AB二乱而那么匪等于A. b+ a B.b a C. a + b D. a b23、如图，在正方形ABCD中,M N分别是BC CD的中点，假设曲=入皿+口拠,31、如图， ABC的外接圆的圆心为O, AB = 2 , AC= 3 , BC 7，那么132、

15、在边长为1的正三角形ABC中，设e AB , e2 AC ,点D满足BD - DC .21试用ei ,e2表示AD ；x2 假设 a xei ye2 x, y R，且 x 0 ，求一的最大值a33、在边长为1的正三角形ABC中，设e AB，e2 AC ,点D满足BD -DC .21试用u , e，表示ad ；2 假设a xe ye2 x, y R，且x 0，求酉的最大值.34、：a、b、c同一平面的三个向量，其中 a 1,21假设|c| 2J5，且c/a，求c的坐标；2 假设|b |5，且a 2b与2a b垂直，求a与b的夹角.2参考答案1、答案D2、答案C3、答案C4、答案D5、答案A6、答

16、案B7、答案B8、答案B9、答案D10、答案D11、答案B答案A13、答案A18、答案B22、12、17、21、答案C14、答案D19、答案B23、答案B16、答案C答案C25、答案26、答案1答案D15、答案C20、答案D24、4 27、答案.105 ，28、答案0,6 29、答案,1 30、答案231、532、答案(1) AD212.33e2； T答案C答案2试题分析：1由向量加法的运算法那么可得1 一 一 -AC AB即可得结果；23ADAB BD AB 1 BD3AB|xlaixy换元后，利用根本不等式即可得结果试题解析:(1)ADABBDABBD AB31 AC AB31涉.(2)l

17、x故当丫xxq2ye212yx12y 1x 22时上的最大值为33、答案1AD e 1 仓；2辽333试题分析：1借助图形，结合向量的线性运算将 AD分解即可；2先求a，将x化为二次函数的形式，通过求二次函数的最值可得结果 试题解析：1如图，结合图形可得tf1121ADAB BDABBCABAC ABAB-AC33332-1 -e1e2。33(2)-a xeiye ,.222xq ye22xyq 色xy , a2 2y xy.|xxy又 x, y R ,x1时，里取得最大值，且最大值为2 a2_士.3334、答案(1) c (2,4)或 c ( 2, 4); (2)试题分析：(1)求c的坐标，假设设出c (x, y)，那么需建立关于x, y的两个方程，而条件 |c| 2J5和c/a恰好提供了建立方程的两个初始条件，只需将它们转化到用x,y表示即可，(2)根据cos_a匕，还需求出a b的值，由条件a 2b与2a b垂直，易|a| |b|得a b的值，从而得出夹角，从规严谨的角度来