流体力学相似原理与ppt课件

1、 第五章第五章 类似原理与量纲分析类似原理与量纲分析 流动类似流动类似类似准那么类似准那么 模型实验模型实验 量纲分析量纲分析 5 51 1 流动类似流动类似 几何类似几何类似运动类似运动类似动力类似动力类似初始条件和边境条件的初始条件和边境条件的类似类似原型：流体实践流动的实物。 模型：通常把原型实物按一定比例关系减少或放大的代表物，称为模型。 模型实验：根据类似原理把流体流动原型按一定比例减少制成模型，模拟与实践情况类似的流体进展观测和分析研讨，然后将模型实验的成果换算和运用到原型中，分析判别原型的情况。 关键问题：模型流体和原型流体坚持流动类似。 流动类似：两个流动的相应点上的同名物理量

2、如速度、压强、各种作用力等具有各自的固定比例关系，那么这两个流动就是类似的。 模型和原型保证流动类似，应满足： 几何类似运动类似 动力类似 初始条件和边境条件类似 一、几何类似一、几何类似 几何类似是指原型与模型的外形类似，其各对应角几何类似是指原型与模型的外形类似，其各对应角相等，而且对应部分的线尺寸均成一定比例。相等，而且对应部分的线尺寸均成一定比例。 对应角相等对应角相等 p = m p = m 以角标以角标p p表示原型表示原型(prototype)(prototype)，m m表示模型表示模型(model)(model)。 线性尺寸成比例线性尺寸成比例 mpmplddll式中l长度比

3、尺； lp原型某一部位长度； lm模型对应部位的长度。面积比尺 222lmpmpAllAA333lmpmpvllVV 由上式可知，几何类似是经过长度比尺l来表示的。只需任一对应长度都维持固定的比尺关系l，就保证了流动的几何类似。体积比尺 二、运动类似二、运动类似 运动类似是指原型与模型两个流动的流速场和加速度运动类似是指原型与模型两个流动的流速场和加速度场类似。要求两个流场中一切对应的速度和加速度的方向场类似。要求两个流场中一切对应的速度和加速度的方向对应一致，大小都维持固定的比例关系。对应一致，大小都维持固定的比例关系。mpuuumpttttlmmppmputltluu2222)(tlmpm

4、pmmppmpattlltltlaa速度比尺时间比尺那么加速度比尺 由上可知，运动类似是经过长度比尺l和时间比尺t来表示的。长度比尺已由几何类似定出。 因此，运动类似就规定了时间比尺，只需对任一对应点的流速和加速度都维持固定的比尺关系，也就是固定了长度比尺l和时间比尺t，就保证了运动类似。umpvvv 由于各相应点速度成比例，所以相应断面平均流速有同样的速度比尺，即 三、动力类似三、动力类似 动力类似是指原型与模型两个流动的力场几何类似。动力类似是指原型与模型两个流动的力场几何类似。要求两个流场中一切对应点的各种作用力的方向对应一致，要求两个流场中一切对应点的各种作用力的方向对应一致，大小都维

5、持固定比例关系。大小都维持固定比例关系。mpfFFaVmmmpppmpfaVaVFF3lV2tla即式中 Fp原型某点上的作用力； Fm模型对应点上的作用力。由牛顿第二定律：F = ma = V a那么力的比尺为由于222223vltlltllf2222mmmpppmpvlvlFF那么 即上式可写成 2222mmmmppppvlFvlF22vlFNemepeNN)()( 上式阐明，两个流动动力类似，它们的牛顿数相等；反之两个流动的牛顿数相等，那么两个流动动力类似。 在类似原理中，两个动力类似流动中的无量纲数，如牛顿数，称为类似准数。动力类似条件类似准数相等称为类似准那么。 无量纲数在类似原理中

6、称为牛顿数Ne 四、初始条件和边境条件的类似 初始条件：适用于非恒定流。边境条件：有几何、运动和动力三个方面的要素。如固体边境上的法线流速为零，自在液面上的压强为大气压强等 。 五、流动类似的含义 几何类似是运动类似和动力类似的前提与根据； 动力类似是决议两个流体运动类似的主导要素； 运动类似是几何类似和动力类似的表现；凡流动类似的流动，必是几何类似、运动类似和动力类似的流动。5 52 2 类似准那么类似准那么雷诺准那么雷诺准那么佛汝德准那么佛汝德准那么欧拉准那么欧拉准那么 5 52 2 类似准那么类似准那么 在模型实验中，只需使其中起主导作用外力满在模型实验中，只需使其中起主导作用外力满足类

7、似条件，就可以根本上反映出流体的运动形足类似条件，就可以根本上反映出流体的运动形状。状。 一、雷诺准那么一、雷诺准那么 作用在流体上的力主要是粘性力。作用在流体上的力主要是粘性力。 牛顿内摩擦定律牛顿内摩擦定律 粘性力粘性力 dyduAdyduATvlmmmmmpppppmpTdyduAdyduATTTfvlvl22粘性力比尺由于作用力仅思索粘性力，F = T ，即 于是 上式阐明，假设作用在流体上的力主要是粘性力时，两个流动动力类似，它们的雷诺数应相等。反之，两个流动的雷诺数相等，那么这两个流动一定是在粘性力作用下动力类似。mepeRR)()(1vlmmmppplvlv化简后或者 无量纲数即

8、 雷诺数 上式阐明，假设作用在流体上主要是重力，两个流动动力类似，它们的佛汝德数相等，反之，两个流动的佛汝德数相等，那么这两个流动一定是在重力作用下动力类似。3lgmmmpppmpGgVgVGG322lgvl12lgvmmmppplgvlgv22glvFr2mrprFF)()( 二、佛汝德准那么二、佛汝德准那么 作用在流体上的力主要是重力。即：重力作用在流体上的力主要是重力。即：重力 G G = mg = Vg= mg = Vg重力比尺重力比尺 由于作用力F中仅思索重力G，因此 F = G，即f = G于是化简得：或 无量纲量佛汝德数所以 上式阐明，假设作用在流体上的力主要是压力，两个流动动力

9、类似，那么它们的欧拉数应相等。反之，两个流动的欧拉数相等，那么这两个流动一定是在压力作用下动力类似。 2lpmmppmpPApApPPPf222lpvl12vp22mmmpppvpvp2vpEumpEuEu)()( 三、欧拉准那么三、欧拉准那么 作用在流体上的力主要是压力作用在流体上的力主要是压力P P。即：压力。即：压力 P = P = pApA由于作用力F中只思索压力P，因此 F = P，即压力比尺于是可得化简得那么 无量纲数欧拉数 所以5 53 3 模型实验模型实验模型律的选择模型律的选择模型设计模型设计 5 53 3 模型实验模型实验 模型的设计，首先要处理模型与原型各种比尺模型的设计

10、，首先要处理模型与原型各种比尺的选择问题，即所谓模型律的问题。的选择问题，即所谓模型律的问题。 一、模型律的选择一、模型律的选择 在进展模型设计时，根据原型的物理量确定模型的量在进展模型设计时，根据原型的物理量确定模型的量值，这就是模型律的选择，模型律的选择应根据类似准那值，这就是模型律的选择，模型律的选择应根据类似准那么来确定。么来确定。 如今仅思索粘性力与重力同时满足类似。如今仅思索粘性力与重力同时满足类似。由雷诺准那么由雷诺准那么1vllv12lgvlv那么1由佛汝德准那么通常g = 1，那么上式为223ll/ 123l1lv1lv1l 要同时满足雷诺准那么和佛汝德准那么两个条件，式1和

11、式2相等。即得： 要实现两流动类似，一是模型的流速应为原型流速的 倍；二是必需按 来选择运动粘度的比值，但通常这后一条件难于实现。 假设模型与原型采用同一种介质，即 ，根据粘性力和重力的类似，由式1和式2，有如下的条件： 显然，要同时满足以上两个条件，那么 ,即模型不能减少，失去了模型实验的价值。 从上述分析可见，普通情况下同时满足两个或两个以上作用力类似是难以实现的。 二、模型设计二、模型设计 模型设计首先定出长度比尺模型设计首先定出长度比尺 ，再以选定的比尺，再以选定的比尺 减减少或放大原型的几何尺度，得出模型流动的几何边境。少或放大原型的几何尺度，得出模型流动的几何边境。通常，模型和原型

12、采用同一种类流体，那么通常，模型和原型采用同一种类流体，那么 ，然后，然后按所选用的类似准那么确定相应的速度比尺，再按下式计算出模型按所选用的类似准那么确定相应的速度比尺，再按下式计算出模型流的流量：流的流量：ll12lvmmppmpAvAvQQ2lvpmQQ 按以上步骤，便可实现原型、模型流动在相应准那么控制下的流动类似。或 例1：一桥墩长lp =24m，墩宽bp=4.3m，水深hp=8.2m，河中水流平均流速vp=2.3m/s，两桥台的间隔Bp=90m。取 =50来设计水工模型实验，试求模型各几何尺寸和模型中的平均流速和流量。l 水深 由给定的 = 50 直接计算l)(48. 05024m

13、lllpm)(086. 0503 . 4mbblpm)(80. 15090mBBlpm)(164. 0502 . 8mhhlpm 解：1模型的各几何尺寸 桥墩长 桥墩宽 桥台间隔 2模型平均流速与流量 对普通水工建筑物的流动，起主要作用的是重力，所以模型实验只需满足佛汝德准那么。即 12lgvlv)/(325. 0503 . 2smvvlpmmplmmppmpvvAvAvQQ2)/(091. 03 . 250325. 02 . 8)3 . 490(3 . 2322smvvQQplmpm所以 在此g = 1，那么 ，模型的流速为模型流量为由于由于 ，例2：汽车高hp=1.5m，最大行速为108k

14、m/h，拟在风洞中测定其阻力。风洞的最大风速为45m/s，问模型的最小高度为多少？假设模型中测得阻力为1.50kN，试求原型汽车所受的阻力。解：1求模型的最小高度hm对于分析气体阻力问题，可按雷诺准那么计算。雷诺准那么为1vl1pmvlvv1)( 136004510001085 . 1mvvhhhmpplpm故 此处 ， ，2求原型汽车所受的阻力由在推导牛顿数得到的力的比尺为22vlf1lv112222llvlfkNFFmp50. 1故 那么5 54 4量纲分析量纲分析 量纲和量纲调和原理量纲和量纲调和原理量纲分析法量纲分析法一、量纲一、量纲(dimension)(dimension)和量纲调

15、和原理和量纲调和原理 1 1、量纲、量纲 表示物理量的种类，称为这个物理量的量纲或称因表示物理量的种类，称为这个物理量的量纲或称因次。次。 同一物理量，可以用不同的单位来度量，但只需独同一物理量，可以用不同的单位来度量，但只需独一的量纲。在物理量的代表符号前面加一的量纲。在物理量的代表符号前面加“dimdim表示量纲，表示量纲，例如速度例如速度v v的量纲表示为的量纲表示为dim vdim v。量纲可分为根本量纲和导出量纲。量纲可分为根本量纲和导出量纲。根本量纲必需具有独立性，不能从其它根本量纲推导根本量纲必需具有独立性，不能从其它根本量纲推导出来，而且可以用它来参与表示其它各物理量的量纲。在

16、出来，而且可以用它来参与表示其它各物理量的量纲。在流膂力学中常用长度、时间、质量流膂力学中常用长度、时间、质量L L、T T、M M作为根本作为根本量纲。量纲。由根本量纲推导出来的量纲，称导出量纲。它可用三由根本量纲推导出来的量纲，称导出量纲。它可用三个根本量纲的指数乘积方式来表示。对于任何一个物理量个根本量纲的指数乘积方式来表示。对于任何一个物理量x x，其量纲可写作，其量纲可写作MTLx dim1导出量纲速度 dim v = LT-1加速度 dim a = LT-2密度 dim = M L-3力 dim F = M L T-2压强 dim p = M L-1 T-2MTLx dim 物理量

17、x的性质可由量纲指数，来反映。 如，有一个不为零，那么x为有量纲量。 如，均为零，即dim x =L0 T0 M0 = 1,那么称x为无量纲量，也称纯数。 根本量与导出量适当组合可以组合成无量纲量。 无量纲量有如下特点： 量纲表达式中的指数均为零； 没有单位； 量值与所采用的单位制无关。 由于根本量是彼此相互独立的，故它们之间不能组成无量纲量。MTLx dim 2、无量纲量 量纲公式 问题1：运动粘度的量纲是：A. L/T2； B. L/T3 C. L2/T； D. L3/T。问题2：速度v，长度l，重力加速度 g 的无量纲集合是：A. B. C. D.问题3：速度v, 密度, 压强 p 的无

18、量纲集合是：A. B. C. D.glvglvgvlglv2vppv2pv2vp(C)(D)(D) 3、量纲调和 量纲调和原理：一个完好正确的物理方程，不仅其等号两边的数值相等，而且其中各项的量纲也一定一样。 由于物理方程的量纲具有一致性，可以用恣意一项去除方程两边，使方程每一项变为无量纲量，这样原方程就变为无量纲方程。例如，动能方程221mvE 212mvEgvpzgvpz2222222111 量纲分析法就是运用量纲和量纲调和来探求物理景象的函数关系，即建立物理方程的一种方法。可改写为又如，理想流体能量方程：也可改写成12)2(21221212121vvvppgvzz量纲调和原理的重要性：

19、一个方程在量纲上应是调和的，所以可用来检验阅历公式的正确性和完好性。 量纲调和原理可用来确定公式中物理量的指数。 可用来建立物理方程式的构造方式。 式中 k无量纲数； k1，k2，k3，kn待定指数。 设A、B、C为根本量纲，那么各要素的量纲为 ),(321nxxxxfynknkkkxxxkxy321321iiicbaiCBAx dim 二、量纲分析法二、量纲分析法 1 1、瑞利法、瑞利法 某一物理景象，各物理量间的函数关系为某一物理景象，各物理量间的函数关系为式中x1、x2、x3、xn和y为影响物理景象的要素。 对上式进展量纲分析，以找出诸要素之间的数学表达式。上式可写成如下指数方式： (i

20、 = 1, 2, 3, ,n)dim y = AaBbCc 上式为量纲调和方程组，解这个方程组便得到指数k1，k2，k3，kn的数值，但因方程组中的方程数只需三个，当待定指数kn中的指数个数n3时，那么有n3个指数需求用其它指数值的函数来表示。nnnnkcbakbakcbacbaCBACBACBACBA)()()(2221111nnkakakaa2211nnkbkbkbb2211nnkckckcc2211量纲表达式 由量纲调和原理可知，等号两边的根本量纲的指数必需一致，所以有 A： B： C： 例：根据察看、实验和实际分析，以为总流边境单位面积上的平均切应力0与流体密度、动力粘度、平均流速v、

21、水力半径R以及固体外表凸出的平均高度有关。 假设令沿程阻力系数 ，可得 。)(Re,8Rf208v 各物理量的量纲 dim= M L-1 T-2 dim F = M LT-2 dim=M L-3 dim=M L-1 T-1 的单位Ns/m2 dim v = L T-1 dim R = L dim = L),(0Rvf543210kkkkkRvk 解：由知条件有指数乘积式将上述指数代入原指数乘积式，得54321)()()()()(111321kkkkkLLLTTMLMLTML5533332210kkkkkkRvk量纲表达式 量纲调和方程组 M： 1 = k1 + k2 L: 1 = 3k1 k2

22、 + k3 + k4 + k5 T: 2 = k2 k3以上方程组有五个未知数，三个方程。选定k3、k5为待定。联立解上述方程组得 k2 = 2 k3 k1 = k3 1 k4 = - 2 + k3 k5 瑞利法适用于比较简单的物理问题。333222kkk3322kkvvv353522220RekkkkvRkvRvRk 2)(Re,vRf)(Re,8Rf208v = = 又那么可得假设令并代入上式得 2、定理 其内容为： 假设物理方程f(x1，x2，xn) = 0，含有 n 个物理量，其中涉及到 m 个根本量纲，那么这个物理方程可用n m个无量纲的项的关系式来表示，即 F1，2，n-m= 0由

23、于这些无量纲量用表示，所以就把这个定理称为定理。它首先由布金汉提出，也称布金汉定理。 现以实例来详细阐明定理的推演过程。 设影响圆球在液体中运动的阻力FD与液体的密度和动力粘度，圆球直径 d、相对速度 v 等要素有关，那么可得如下函数关系 FD = f(，v，d，)上式两边除以，得 ),(dvfFD),(1dvfFD上式左边已无质量的量纲 M，由量纲调和原理知，右边也必需无质量的量纲 M。上式可写成 dim FD = M LT-2, dim= M L-1T-1注：左边量纲：L4T-2进一步可使上式左边无时间量纲 T，两边除以 v2 得212),(vdvfvFD那么 1 =f(2)或 F(1，2

24、) = 0上式阐明n = 5个变量利用 m = 3个包含根本量纲量的乘除变换，消除 m 个根本量纲，便得 n m = 2 个无量纲的项。),(22vdfvFD)(322vdfdvFD221dvFDvd2由量纲调和原理，上式右边也无时间的量纲。那么上式可写成同理，可使上式无长度量纲 L，得上式中两边均为无量纲量，分别以1和2表示，即注：左边的量纲：L2 运用定理的两点阐明： 1m 个根本量纲是从 n 个物理量中选取 m 个根本物理量来代表的。 普通取三个根本物理量，即 m=3，要求这三个根本物理量不能组合成一个无量纲量。如用量纲公式表示根本物理量x1，x2，x3，那么1111dimcbaMTLx

25、 2222dimcbaMTLx 3333dimcbaMTLx 0333222111cbacbacba 三个根本物理量普通取几何长度、流速v、密度含有M、T及L量纲。因此，x1，x2，x3不能组合成无量纲量的条件是量纲公式中指数行列式不等于零。即 2项的组合除了三个根本物理量以外，每次轮换取一个物理量，组合而成。即 式中ai、bi、ci各项的待定指数。 这样一共可写出n 3个项，由于各项是无量纲量，dim = L0 T0 M0，因此，可由量纲调和原理求出各项的指数值。43211111xxxxcba53212222xxxxcbancbanxxxxnnn3333213 M M： 0 = c1 + 1

26、 0 = c1 + 1 L L： 0 = a1 + b1 3c1 1 0 = a1 + b1 3c1 1 T T： 0 = b1 1 0 = b1 1),(dvfFD0),(1dvFfD1111cbavdDcbaFvd2222)()()(1131000111TMLMLLTLTLMcba 例1：以上例为例，求FD的表达式。 解：函数关系 或取d、v、为根本物理量，它们不能组合成一个无量纲量。和FD为导出量，将它们分别与根本量进展适当组合。n = 5 , m = 3 , n m = 2 ,有二个项。12式1量纲表达式为比较两边的量纲，于是有式中 CD阻力系数，CD = f3 (Re)。 A圆球与速度方向垂直的迎流投影面面积，m2222vdFD0),(22vdFdvFD(Re)(2122fdvfvdFDvdvdRe222(Re)dvfFDAvCFDD22解得 a2 = 2， b2 = 2， c2 = 1。那么代入F1，2= 0 得或 故上式阐明阻力等于某一系数乘v2d2，而该系数是Re的函数。通常N例2：实验察看与实际分析指出，恒定有压管流的压强损失p与管长l、直径d、管壁粗糙度、动力粘度、密度、流速v等要素有关。试用定理求出计算压