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1、单元节点和积分点有什么区别学过数值积分的应该知道,有限元中的积分点指高斯积分点,因为这些点的收敛性好,精度高。 r3SE7xCvM(S'Wy2H t u2xU:S5Lb1Z 1、节点7_ZJ1D oP(在单元内,采用形函数来表述单元内变量的分布规律。而节点值是在节点处的对应物理量。eQ,Y0k |H:u)Ds'd 以简单矩形单元的温度为例:1n*1p"g I 四个节点i,j,m,n的温度分别为Ti,Tj,Tm,Tn.B Nt7DA#l;AV 则以单元内自然坐标(x,y),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)分别为四个节点,单元内温度分布为:T=Si,
2、 Sj, Sm, Sn Ti, Tj, Tm, TnA6L6zB|a Si=1/4(1-x)(1-y):INLG3_5of Sj=1/4(1+x)(1-y) qX v5uZSm=1/4(1+x)(1+y)E g0w4y6l.?-aSn=1/4(1-x)(1+y)M r S1T6R+d:C(单元的形函数我们可以从手册中查到)a O 从而我们知道了温度在单元内的分布。;? vI(s7ML m" k2、积分节点5G z) |我们需要对温度在单元内的面积上进行积分时,因为节点的温度显然与x,y无关,我们只需要考虑对形函数积分。 f"X r1O采用Gauss_Legendre多项式计
3、算积分时,我们只需要计算根据特定积分点的值(在自然坐标系下是固定的,可以查手册,这些点也叫高斯点、积分点)并加以权重就可以。这就把复杂的积分问题变成了简单的代数问题。因为形函数只有单元有关,所以积分点也只与单元形状 有关。mx;B(tz8Do,g h mONg 3.应力一般采用多个积分点的相互插值或外延来计算节点应力。这只是为了减少误差。因为在积分点应力比节点具有更高阶的误差。 从理论上说,形函数已知后,用Maple或者Mathematic等软件进行符号积分的话,是可以精确计算出刚度矩阵和质量矩阵,但是这样做的话,对于工程实际应用来说并不合适(9WIF;c#jxNx原因:1,费时;2,Mind
4、lin中厚板有剪力锁死问题,有时候需要采用缩聚积分),所以有些书上会把2节点梁单元的刚度阵直接写出来,但是再复杂点的单元,就使用数值积分(Newton-Cotes积分和高斯积分);f6w3J&h:_Pm高斯积分的话,积分点不在节点上9B NV4L2K*o?M牛顿-科斯的积分点就是节点,这样得到的质量矩阵是集中质量阵形式 个人理解:t+D f Tq 1.节点作用构造形函数,节点的多少描述规则形状单元内的应力的近似分布情况,并获取节点上的位移值m0DHC8Y.p5pM2.积分点作用是构造规则形状单元与曲边(曲面)单元的转化的变换函数,积分点的选取多少和选取的位置直接关系到这种“映射”a C
5、1HQE? y-jA.|K7r的精确程度,刚度矩阵、边界条件的转化都用到了坐标变换的积分关系,一般取高斯积分点能使被积函数计算精度尽量高。对于newton-cote积分点的选取,这种“映射”看起来,节点和积分点是同一个位置或说是同一点,而对于高斯积分点位置与节点是_z C0不同的。H:s5j,%aA 故有如下结果: 1.由于高斯积分点的这种变换比较高,在方程求解结束,返回积分点上的应力解比较准确F;-A Q"A1yN 2.至于Mindlin中厚板有剪力锁死问题,采用缩聚积分,也是应为这种坐标的变换关系(可见有限单元法基本原理和数值方法GWY6jv,J!O_p345页10.4.11式可
6、知),力的边界条件只有剪切,采用缩聚积分可以较大降低剪切力的影响,但是也可能引起刚度矩阵的奇异,所I6Yc j*P:s以对于中厚板的积分点选取不同一般的方案 1.ANSYS手册(Chapter 13)上列出各种单元的积分点位置。)p6p6FvK C4D2.王瑁成的有限单元法第五章,有解释为什么积分点应力更加精确。HQE"b7XrZ3.因为积分点应力更精确,所以我们一般采用积分点的应力内插或外延确定节点应力。特殊情况除外。单元节点和积分点是不同的两个概念!1z#t0N+V S 积分点是在进行函数积分的时候,为了增加精度,选取的积分点,也就是高斯积分t g8? GoY7h单元节点是你选取
7、单元的时候就已经定下的点,,?4_bk6| 一定有单元节点,但不一定有积分点 在网格划分完了所有的节点就都给定了,就是你网格中的每个点,他是有限元模型中“真实存在”的点。-A0kY'Z)Y0ru A F+A B 但是高斯点纯粹是因为高斯积分这种积分方式引入的。数值分析告诉我们,数值积分有很多方法,比如辛普森积分,高斯积分等,比如说,如果你采用辛普森积分就不存在高斯点这个概念,只有当你采用高斯积分才会有高斯点,不过有限元大多都采用高斯积分。;看过高斯积分就知道高斯点是怎么一回事了。:c有限元求解的结果是每个节点的位移,然后通过形函数插值得到单元任何一个点的位移,当然可以计算出高斯积分点的
8、位移。至于应力,一般是先求解出高斯点出的应力,然后通过平均化的技术平均到每个节点上,高斯点处的应力精度最高,节点最差。有限元的基础知识,如果要比较深入的了解,是非常难的,硕士都只能是应用级别,博士都很难说了解清楚了。 但是也可以很简单的说,让你能定性的了解原理,抛开那些复杂的数学的东西。 结构静力学分析中:一般在构成刚度矩阵的时候需要积分运算。而这些积分运算经过等参数单元映射后,十分的复杂,所以需要一种简单高效的数值积分方法。 高斯积分就是一种这类积分。下面对其形式作简单定性的说明:如:y=sin(x)。积分ydx(-1到1) a1*f(a)+b1*f(b)。根据高斯积分公式,a1=1,a=-0.57,b1=1,b=0.57,你可以计算一下,这个误差应该是很小的。 上式变为:积分ydx(-1到1)=sin(-0.57)+sin(0.57) 如果你要问a1 ,a,这些系数怎么出来的,这个是数值分析中的勒让德多项式相关知识
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