高二数学选修2-3回归分析(-)ppt课件

1、去去“数学广角数学广角喽！喽！3.1回归分析的根回归分析的根本思想及其初步本思想及其初步运用三运用三高二数学高二数学 选修选修2-3 第三章第三章 统计案例统计案例 比中“回归添加的内容数学数学统计统计画散点图画散点图了解最小二乘法的思了解最小二乘法的思想想求回归直线方程求回归直线方程y ybxbxa a用回归直线方程处理用回归直线方程处理运用问题运用问题选修2-3统计案例引入线性回归模型ybxae了解模型中随机误差项e产生的缘由了解相关指数 R2 和模型拟合的效果之间的关系了解残差图的作用利用线性回归模型处理一类非线性回归问题正确了解分析方法与结果复习回想复习回想1、线性回归模型：、线性回归

2、模型：y=bx+a+e， (3)其中其中a和和b为模型的未知参数，为模型的未知参数，e称为随机误差。称为随机误差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)= (4) 2.2、数据点和它在回归直线上相应位置的差别、数据点和它在回归直线上相应位置的差别 是随机误差的效应，称是随机误差的效应，称 为残差。为残差。)iiyy(iiieyy=3、对每名女大学生计算这个差别，然后分别将所得、对每名女大学生计算这个差别，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号表示为：的值平方后加起来，用数学符号表示为： 称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。21()niiiyy4

3、、两个目的：、两个目的：1类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作 为为 的估计量，的估计量， 越小，预告精度越高。越小，预告精度越高。22111( , )(2)22nieQ a b nnn222我们可以用相关指数我们可以用相关指数R2来描写回归的效果，其来描写回归的效果，其 计算公式是：计算公式是：222112211()()1()()nniiiiinniiiiyyyyRyyyy表表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。 在研讨两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判别它们能

4、否线性相在研讨两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判别它们能否线性相关，能否可以用回归模型来拟合数据。关，能否可以用回归模型来拟合数据。5、残差分析与残差图的定义：、残差分析与残差图的定义： 然后，我们可以经过残差然后，我们可以经过残差 来判别模型拟合的效果，判别来判别模型拟合的效果，判别原始数据中能否存在可疑数据，这方面的分析任务称为残差分析。原始数据中能否存在可疑数据，这方面的分析任务称为残差分析。12,ne ee编号编号12345678身高身高/cm165165157170175165155170体重体重/kg4857505464614359残差残差-6.3732.6272.419

5、-4.6181.1376.627-2.8830.382 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。残差图的制造及作用残差图的制造及作用1 1、坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；、坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；2 2、假设模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以、假设模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；横轴为心的带形区域；3 3、对于远离

6、横轴的点，要特别留意。、对于远离横轴的点，要特别留意。身高与体重残差图异常点 错误数据 模型问题 几点阐明：几点阐明： 第一个样本点和第第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需求确认在采集过程中能否有人为个样本点的残差比较大，需求确认在采集过程中能否有人为的错误。假设数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数的错误。假设数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；假设数据采集没有错误，那么需求寻觅其他的缘由。据；假设数据采集没有错误，那么需求寻觅其他的缘由。 另外，残差点比较均匀地落在程度的带状区域中，阐明选用的模型计较适宜，这另外，残差点比较均匀地落在

7、程度的带状区域中，阐明选用的模型计较适宜，这样的带状区域的宽度越窄，阐明模型拟合精度越高，回归方程的预告精度越高。样的带状区域的宽度越窄，阐明模型拟合精度越高，回归方程的预告精度越高。例例1 在一段时间内，某中商品的价钱在一段时间内，某中商品的价钱x元和元和需求量需求量Y件之间的一组数据为：件之间的一组数据为：求出求出Y对的回归直线方程，并阐明拟合效果的好坏。对的回归直线方程，并阐明拟合效果的好坏。价格价格x1416182022需求量需求量Y1210753解：解：18,7.4,xy555221111660,327,620,iiiiiiixyx y7.4 1.15 1828.1.a1.1528.

8、1.yx 回归直线方程为：51522155iiiiix yxybxx26205 18 7.41.15.16605 18 例例1 在一段时间内，某中商品的价钱在一段时间内，某中商品的价钱x元和元和需求量需求量Y件之间的一组数据为：件之间的一组数据为：求出求出Y对的回归直线方程，并阐明拟合效果的好坏。对的回归直线方程，并阐明拟合效果的好坏。价格价格x1416182022需求量需求量Y1210753列出残差表为列出残差表为521()iiiyy0.3,521()iiyy53.2,5221521()1()iiiiiyyRyy 0.994因此，拟合效果较好。因此，拟合效果较好。iiyyiyy00.3-0.

9、4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4例例2 关于关于x与与y有如下数据：有如下数据： 有如下的两个线性模型：有如下的两个线性模型：1 ；2 试比较哪一个拟合效果更好。试比较哪一个拟合效果更好。x24568y30406050706.517.5yx717.yx6 6、留意回归模型的适用范围：、留意回归模型的适用范围：1回归方程只适用于我们所研讨的样本的总体。样本数据回归方程只适用于我们所研讨的样本的总体。样本数据来自哪个总体的，预告时也仅适用于这个总体。来自哪个总体的，预告时也仅适用于这个总体。2模型的时效性。利用不同时间段的样本数据建立的模型，模型的时效性。利用不同时间段的样本数

10、据建立的模型，只需用来对那段时间范围的数据进展预告。只需用来对那段时间范围的数据进展预告。3建立模型时自变量的取值范围决议了预告时模型的适用建立模型时自变量的取值范围决议了预告时模型的适用范围，通常不能超出太多。范围，通常不能超出太多。4在回归模型中，因变量的值不能由自变量的值完全确定。在回归模型中，因变量的值不能由自变量的值完全确定。正如前面曾经指出的，某个女大学生的身高为正如前面曾经指出的，某个女大学生的身高为172cm，我们，我们不能利用所建立的模型预测她的体重，只能给出身高为不能利用所建立的模型预测她的体重，只能给出身高为172cm的女大学生的平均体重的预测值。的女大学生的平均体重的预

11、测值。7、普通地，建立回归模型的根本步骤为：、普通地，建立回归模型的根本步骤为：1确定研讨对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是确定研讨对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预告变量。预告变量。2画出确定好的解析变量和预告变量的散点图，察看它们画出确定好的解析变量和预告变量的散点图，察看它们之间的关系如能否存在线性关系等。之间的关系如能否存在线性关系等。3由阅历确定回归方程的类型如我们察看到数据呈线性由阅历确定回归方程的类型如我们察看到数据呈线性关系，那么选用线性回归方程关系，那么选用线性回归方程y=bx+a.4按一定规那么估计回归方程中的参数如最小二乘法。按一定规那么估计回归方程中的参数

12、如最小二乘法。5得出结果后分析残差图能否有异常个别数据对应残差得出结果后分析残差图能否有异常个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等，过存在异常，那过大，或残差呈现不随机的规律性，等等，过存在异常，那么检查数据能否有误，或模型能否适宜等。么检查数据能否有误，或模型能否适宜等。案例案例2 一只红铃虫的产卵数一只红铃虫的产卵数y和温度和温度x有关。现搜集了有关。现搜集了7组观测数据列于表中：组观测数据列于表中：1 1试建立产卵数试建立产卵数y y与温度与温度x x之间的回归方程；并之间的回归方程；并预测温度为预测温度为28oC28oC时产卵数目。时产卵数目。2 2他所建立的模型中温度在

13、多大程度上解释了他所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？产卵数的变化？ 温度温度xoC21232527293235产卵数产卵数y/个个711212466115325选变量选变量 解：选取气温为解释变量解：选取气温为解释变量x x，产卵数，产卵数 为预告变量为预告变量y y。画散点图画散点图假设线性回归方程为假设线性回归方程为 ：=bx+a选选 模模 型型分析和预测分析和预测当当x=28x=28时，时，y =19.87y =19.8728-463.73 28-463.73 9393估计参数估计参数由计算器得：线性回归方程为由计算器得：线性回归方程为y=19.87x-463.73y=1

14、9.87x-463.73 相关指数相关指数R2=r20.8642=0.7464R2=r20.8642=0.7464所以，二次函数模型中温度解释了所以，二次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。的产卵数变化。探求新知探求新知050100150200250300350036912151821242730333639方案1当当x=28时，时，y =19.8728-463.73 93一元线性模型一元线性模型奇异？奇异？9366 ?模型不好？模型不好？ y=bx2+a 变换变换 y=bt+a非线性关系非线性关系 线性关系线性关系方案2问题问题选用选用y=bx2+a ，还是，还是y=bx2+cx+

15、a ？问题问题3-200-1000100200300400-40-30-20-10010203040 产卵数产卵数气温气温问题问题2如何求如何求a、b ？协作探求协作探求 t=x2二次函数模型二次函数模型方案2解答平方变换：令平方变换：令t=x2t=x2，产卵数，产卵数y y和温度和温度x x之间二次函数模型之间二次函数模型y=bx2+ay=bx2+a就转化为产卵数就转化为产卵数y y和温度的平方和温度的平方t t之间线性回归模型之间线性回归模型y=bt+ay=bt+a温度温度21232527293235温度的平方温度的平方t44152962572984110241225产卵数产卵数y/个个7

16、11212466115325作散点图，并由计算器得：作散点图，并由计算器得：y y和和t t之间的线性回归方程为之间的线性回归方程为y=0.367t-202.54y=0.367t-202.54，相关指数，相关指数R2=r20.8962=0.802R2=r20.8962=0.802将将t=x2t=x2代入线性回归方程得：代入线性回归方程得： y=0.367x2 -202.54 y=0.367x2 -202.54当当x=28x=28时，时，y=0.367y=0.367282-282-202.5485202.5485，且，且R2=0.802R2=0.802，所以，二次函数模型中温度解所以，二次函数模

17、型中温度解释了释了80.2%80.2%的产卵数变化。的产卵数变化。产卵数y/个0501001502002503003500150300450600750900 1050 1200 1350t问题问题 变换变换 y=bx+a非线性关系非线性关系 线性关系线性关系2110c xyc问题问题如何选取指数函数的底如何选取指数函数的底?-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540产卵数产卵数气温气温指数函数模型指数函数模型方案3协作探求协作探求对数对数方案3解答温度温度xoC21232527293235z=lgy0.851.041.321.381

18、.822.062.51产卵数产卵数y/个个71121246611532500.40.81.21.622.42.8036912 15 18 21 24 27 30 33 36 39xz当当x=28oC x=28oC 时，时，y 44 y 44 ，指数回归，指数回归模型中温度解释了模型中温度解释了98.5%98.5%的产卵数的的产卵数的变化变化由计算器得：由计算器得：z z关于关于x x的线性回归方程的线性回归方程为为z=0.118x-1.665 z=0.118x-1.665 ，相关指数相关指数R2=r20.99252=0.985R2=r20.99252=0.9850.118x-1.665 10y

19、 对数变换：在对数变换：在 中两边取常用对数得中两边取常用对数得令令 ，那么，那么 就转换为就转换为z=bx+az=bx+a22111221lglg( 10 )lglg10lglg10lgc xc xycccc xc xc2110c xyc12lg,lg,zy ac bc2110c xyc最好的模型是哪个最好的模型是哪个?-200-1000100200300400-40-30-20-10010203040 产卵数产卵数气温气温-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540产卵数产卵数气温气温线性模型线性模型二次函数模型二次函数模型指数函数模型指数函数模型比一比比一比函数模型函数模型相关指数相关指数R2线性回归模型线性回归模型0.7464二次函数模型二次函数模型0.802指数函数模型指数函数模型0.985最好的模型是哪个最好的模型是哪个?用身高预告体重时，需求留意以下问题：用身高预告体重时，需求留意以下问题：1、回归方程只适用于我们所研讨的样本的总体；、回归方程只适用于我们所研讨的样本的总体；2、我们所建立的回归方程普通都有时间性；、我们所建立的回归方程普通都有时间性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；、样本采集的范