基于小波变换的二值图像压缩

1、本科毕业设计(论文)题目 基于小波变换的二值图像压缩技术研究 学院名称理学院 专业班级 信息10-2 学生姓名 魏凯 导师姓名 贺爱玲二一四 年 六 月 十 日基于小波变换的图像压缩技术研究作者姓名 魏 凯 专业电子信息科学与技术 指导教师姓名 贺 爱 玲 专业技术职务 副 教 授 齐鲁工业大学本科毕业设计（论文）原创性声明本人郑重声明：所呈交的毕业设计（论文），是本人在指导教师的指导下独立研究、撰写的成果。设计（论文）中引用他人的文献、数据、图件、资料，均已在设计（论文）中加以说明，除此之外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文研究做出重要贡献的个人和集体，均

2、已在文中作了明确说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。毕业设计（论文）作者签名： 魏凯 2014年 6 月 12 日齐鲁工业大学关于毕业设计（论文）使用授权的说明本毕业设计（论文）作者完全了解学校有关保留、使用毕业设计（论文）的规定，即：学校有权保留、送交设计（论文）的复印件，允许设计（论文）被查阅和借阅，学校可以公布设计（论文）的全部或部分内容，可以采用影印、扫描等复制手段保存本设计（论文）。指导教师签名： 贺爱玲 毕业设计（论文）作者签名： 魏凯 2014年6 月12 日 2014年 6 月12 日目 录摘 要IIABSTRACTIII第一章 绪论11122第二章 图像压缩编码44

3、2.2.2 无损图像压缩编码58第三章 小波变换与图像压缩编码163.1 小波变换简介163.2 离散小波的定义及应用173.3 离散小波压缩原理21第四章 总结和体会224.1 小波图像压缩224.2 小波图像压缩分析与展望23结束语23参考文献24致谢25摘 要 随着各种现代化技术的不断发展，图像信息已变为众多领域重要的处理对象，怎样充分利用信道和具有一定带宽的信道下传输有用的图像信息的问题就出现了。对原始图像进行存储、记录和传输为其提供了可能，那么必须对数字图像的信息进行有效的压缩。因此，对图像压缩技术的研究和实现在数字图像传输中发挥着关键性的作用。 小波变换是20世纪80年代中后期逐渐

4、发展起来的一种新的数学工具，已在模式识别，图像纹理分析，图像压缩和编码等信号与图像处理领域得到了非常广泛的应用。小波分析的出现，是不同学科、不同领域的交流与交叉学科发展的结晶。图像压缩是小波分析中十分重要的一个应用，目前小波分析在图像压缩中的应用已经十分广泛。本文所作的主要工作具体如下：（1）介绍图像压缩编码及其发展现状，然后列举一些常用的图像压缩编码技术和算法并分析其优缺点。包括图像压缩的一些基础，图像压缩编码的分类和图像数据的压缩机理。然后着重于图像压缩编码算法，主要包括变长编码，位平面编码，游程编码等，并列举出各个编码的优缺点。（2）回顾小波编码现状，结合不断发展的新的嵌入式小波图像编码

5、方法，对基于小波变换的图像压缩编码进行深入而系统的分析与总结。具体内容包括：1.衣离散小波变换为出发点，阐述了多分辨率分析的实质，讨论了小波构造的原理及过程。2.阐述了提升方法的构造原理，从不同的角度对比分析。由于小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化特征，利用小波的多分辨率分析特性即可以高效率的描述图像的平坦区域，又可以有效的表示图像信号的局部区域突变。再加上小波变换在计算上的低复杂性，因此在图像处理领域具有十分广阔的应用前景。关键字：图像压缩 小波变换 图像处理ABSTRACTWith the development of modern technology, image informa

6、tion has become an important object of many fields of image information, how to make full use of channel and channel has a bandwidth of transmission of useful question arises. Provides the possibility for the original image is stored, recording and transmission, so must the digital image information

7、 for effective compression. Therefore, the study and implementation of image compression technology in digital image transmission plays a key role.Wavelet transform is a new mathematics tool in late twentieth Century 80 years gradually developed, has been in pattern recognition, image analysis, imag

8、e compression and coding signal and image processing field has a very wide range of applications. The emergence of wavelet analysis, is the crystallization of exchanges and cross discipline development of different disciplines, different areas of the. Image compression is an important application of

9、 wavelet analysis, the wavelet analysis in image compression applications has been very extensive. The main work of this thesis is as follows:（1）Image compression coding and its development status is introduced, and then lists some common image compression coding technology and algorithms and their

10、advantages and disadvantages are analyzed. Including some basic image compression, compression mechanism classification and image data compression. Then focuses on image compression algorithm, including variable length coding, bit plane coding, run length coding, the advantages and disadvantages of

11、each code examples of parallel.（2）Review of wavelet coding situation, combined with the embedded wavelet image coding method for the development of new, based on wavelet transform image compression coding are systematically analyzed and summarized. The specific contents include: 1. Discrete wavelet

12、transform as the starting point, expounds the essence of multi resolution analysis, discusses the principle and process of wavelet construction. The 2 describes the structure principle of lifting method, comparative analysis from different angles.Because the wavelet transform has the good localizati

13、on characteristic in both time domain and frequency domain, using the multi-resolution analysis characteristic of wavelet that can efficiently describe the flat areas of the image, but also represents the local regional image signal mutation effectively. Coupled with the low complexity wavelet trans

14、form in calculation, so it has very broad application prospects in the field of image processing.Keyword：Image compression Wavelet transform Image processing第一章 绪论研究背景小波分析是上个世纪八十年代初发展起来的新兴数学分支，它无论是对数学，还是对其他应用学科都产生了深远的影响。小波分析的出现，是不同学科、不同领域的交流与交叉学科发展的结晶。新世纪的到来，基于网络的多媒体数据传输正改变着人类的生活方式。然而，多媒体数据中的数字图像却包含

15、着巨大的数据量，如中等分辨率（800×600）下，全屏显示（Full Screen），真彩色（True Cloior 24位），全动作（Full Motion，25-30帧/秒）的图像序列，播放1秒钟的视频画面数据量为：800×600×3×3043,200,000字节。相当于存储了两千多个汉字所占用的空间。即使降低色彩性逼真要求，量化为8位灰度，每秒显示25帧，数量也达到：800×600×2512,000,000字节。如此庞大的数据量，给图像的处理，存储及传输都造成了难以克服的困难，极大地制约了多媒体通信的发展，已成为图像通信发展中的

16、“瓶颈”问题。 虽然数字图像的数据量是巨大的，但图像是高度相关的，或者说存在冗余信息；数字图像的冗余信息主要表现为以下几种方式：视觉冗余，信息熵冗余，空间冗余，时间冗余，结构冗余和知识冗余。数字图像的这些冗余信息为图像压缩编码提供了依据，去掉这些冗余信息后就有效的压缩了数据，同时又不会损害图像的有效信息。 目前，计算机技术所带来的信息革命使人类社会进入了高度的信息化社会。图像压缩技术在通信系统和多媒体系统中的重要性越来越高，在日常的生产,生活和国防中中的作用越来越显著;并且图像压缩编码技术已经成为影响高清晰电视，商业电子化，可视电话，多媒体技术以及医用图像处理技术等几个引人瞩目的高科技领域的发

17、展。随着现代通信技术、计算机技术、网络技术和信息处理技术的发展，图像信息的处理、存储和传输在社会生活中的作用越来越大，人们对接受图像信息的要求越来越迫切，图像通信将是通信事业发展中面临的最大挑战，也是未来通信领域的市场热点。如何将信息以更加简洁的方式表达，如何更加准确、快速的传输信息，是信息高速发展的时代摆在人们面前的热点问题。图像通常来源于自然景物，其原始的形态是连续变化的模拟量1。模拟信号不易于存储和传输，而且在存储和传输的过程中易引入噪声，导致失真，所以一般将模拟信号进行采样和量化，进而以数字化的形式进行存储和传输。当图像以数字形式进行处理和传输时，就可以与计算机技术相结合，具有质量好、

18、成本低、小型化和易实现等优点，因此，将图像进行数字化传输已成为当前图像通信领域的主要技术。  然而图像经过采样和量化转换成数字信号后，其数据量的巨大成为摆在眼前的非常棘手的问题。尽管随着科学技术的发展，海量存储技术以及数字通信系统的性能发展迅猛，但高清晰度数字图像数据量对数据存储的能力和数据传输带宽的需求仍然超出了现有技术的能力所及。为了使通信成为可能并尽可能地降低通信费用，对图像信号进行压缩编码是必需的。人们通过对图像数据进行大量统计和视觉感受的研究表明，图像的相邻像素之间、相邻行之间或者相邻帧之间都存在着很强的相关性，即图像信号存在着空间冗余、时间冗余、结构冗余、视觉冗余和知识冗

19、余等冗余度，利用某种编码方法在一定程度上消除这些相关性或冗余，就可以实现图像数据的压缩编码。总之，大数据量的图像信息会给存储器存储容量、通信干线信道宽带以及计算处理速度带来巨大的压力。单纯靠增加存储容量，和提高信道带宽以及计算机的处理速度等方法解决这个问题是不现实的。因此，在图像数据的传输和存储中，压缩编码势在必行。  图像压缩编码技术的发展与现状70年代末制定了静止图像编码国际标准ISO/IEC编码标准字。80年代开始对运动补偿(MC)所用的运动估计(ME)算法8进行研究，1988年静态图像专家组JPEG创立，并于1991年制定了JPEG建议草案，1994年形成正式编码标准。199

20、7年，JPEG委员会开始研究将小波技术引入到图像压缩领域的新压缩标准JPEG200010。这一系列国际标准的制定标志着图像编码技术越来越成熟，推动了图像编码技术的实用化和产业化。随着互联网越来越广泛的应用和所需传送数据的大量增加，图像压缩技术必将得到更为广泛的应用。  基于小波变换的图像编码技术的发展与现状 小波分析的基本思想来源于伸缩与平移。小波概念的提出，最早属于1910年Haar提出的规范正交基的概念。但小波概念的真正出现应算于1984年，法国物理学家J.Morlet提出将信号按照一个确定函数进行伸缩、平移系展开。之后，他与AGrossmann共同研究，发展

21、了连续小波变换的几何体系。1985年之后，在Y Meyer，S.Mallat，A.Grossmann和I.DaubechieslIq等人的共同研究下，小波分析迅速发展壮大。到80年代末、90年代初，小波开始应用于图像压缩领域。1986年，Woods构造了第一个真正意义上的小波图像编码器。1992年I.Daubechies提出的9.7滤波器在小波压缩领域中得到了广泛的应用。 1993年shapiro提出了嵌入式零树小波(EZW：Embedded Zero-tree Wavelet)编码算法，第一次引入了小波“零树”的概念，通过定义零树根(ZTR)、孤立零点

22、(IZ)、正重要值(POS)和负重要值(NEG)四种符号进行小波树递归编码，有效的剔除了对高频系数的编码，得到较好的压缩效果。在MPEG-4中，EZW算法已经成为压缩编码的模块之一，EZW编码器在图像压缩史上具有里程碑式的意义。 1996年A.Said和W.A.Pearlmanglllo根据Shapiro零树编码算法(EZW)的基本思想，提出了一种新的且性能更优的编码方法：分层小波树集合分割(SPIHT：Set Partitioning In Hierarchical Trees)编码算法，这是迄今为止效果最好的小波压缩算法之一。与EZW相比，

23、它的主要优势在于设计了一种空间方向树结构，这种数据结构不但充分利用了不同尺度之间小波系数的相关性，而且充分考虑了同一尺度下小波系数间的相关性，更加有效的组织小波系数。由于这个优势，它的编码效率也比EZW算法有很大的提高。同时，SPITH算法采用比特平面的编码技术，保留了EZW实现简单、嵌入式码流等特点，但是SPITH算法编码流程复杂，不利于硬件实现，因此限制了其大范围的应用。 在对小波图像编码的研究过程中，还产生了其他许多非常优秀的编码算法，如SPECK算法、EBCOT算法等。其中2000年由Taubman提出的具有优化截断点的内嵌块编码算法(EBCOT算法)由于其高压缩效率成为图像

24、编码标准JPEG2000中所采用的核心算法。   目前，小波图像编码技术的研究热点主要有以下几个方面： (1) 小波基的选取。采用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果，最优小波基的选择至今为止尚未有统一的选择标准。 (2) 小波系数量化方法。量化方法分为标量量化和矢量量化。标量量化由于其简单易实现被很多算法采纳，如：EZW、SPIHT等。而矢量量化方法是由Antonini等人引入的，它的优越性表现在考虑了相邻系数的相关性，但它涉及码数设计等问题，比标量量化复杂很多。 (3) 整数小波变换。图像的像素值是用整数

25、表示的，若对其实施整数到整数的变换，就可以保证其能够完全重构，减少了图像的失真。而常见的小波滤波器都是小数形式，它的输出是浮点数，此时在重构时就会产生失真。 (4) 新型小波编码技术的结合与实现。由于小波变换良好的时频域特性和多分辨率分析特性，学者积极展开对嵌入式零树编码，分层小波树集合分割算法及常见熵编码与小波变换相结合的算法的研究。 图像压缩编码技术大大促进了图像通信的发展，解决了大数据量问题，使图像信息更加方便的存储和传输。在实际的应用中，用户有时需要快速了解图像的大致内容，同时需要能在必要的时候能获取图像的全部信息。单纯的采用有损压缩虽然加快了图像获取的速

26、度，但可能会损失掉一些关键信息；而单纯采用无损压缩又可能使用户在获取整幅图像之前对图像的大致内容无法了解，在等待中消耗了大量的时间。这些要求对图像压缩编解码技术提出了大量的挑战，同时也是其向前发展的动力，吸引了众多研究机构和研究人员的注意。传统的图像编码方法以离散余弦变换为主要技术，可出色的去除图像信息的统计冗余，但由于离散余弦变换的时频局域性差，变换过程种采用分块变换技术，这使得图像在高压缩比条件下产生明显的方块效应，严重影响了图像的质量，同时傅里叶变换在处理非平稳信号时也存在局限性。而小波变换由于在时域和频域同时具有局域化特性，弥补了DCT变换的不足，并且可以把图像信息定位到任何精度级上，

27、实现根据图像信息重要性进行优先编码、传输，同时小波的多分辨率特性易于与人眼视觉特性相结合，这些优点使基于小波变换图像压缩编码成为当前研究热点。小波变换与其它编码方法相结合必将成为图像压缩算法的发展趋势。 第二章 图像压缩编码 数字图像压缩编码的分类为了方便对各种压缩方法的研究和比较，根据图像的信息在编码中是否有损失将数字图像编码分为有损压缩和无损压缩1。分类如图1所示：图1 图像压缩的分类图无损压缩就是主要是利用信源概率不相等的特性来去掉图像的冗余以及用不等长的码字来对信源进行编码。有些失真是人眼所不能察觉的，有损压缩就是利用人眼的这一视觉特性来进行压缩的。有损压缩是运用某种变换去掉

28、数字图像在空间和时间上的相关性对信源进行编码。为了解决如何从各种图像压缩算法中选择正确的算法处理实际的压缩问题，就必须对各种压缩方法的性能进行评价。.1 图像压缩技术的性能指标这里主要用均方根误差和压缩比的大小来比较各种压缩编码方法的性能。也可用编码效率、平均码字长度、冗余度。（1）均方根误差erms主要是通过计算原始图像数据和解码后图像数据之间的差异，来体现经压缩编码方法的准确性，其计算公式如（1）如下： （1）其中，和分别表示原始图像和解码后的图像。(i=1,2,3,4.,N,j=1,2,3,4.,M)（2）压缩比cr：其计算式如公式（2）所示： （2）用其大小来反映压缩编码方法的压缩效果

29、。其中，(压缩后图像数据大小)小于(压缩后图像数据大小)的压缩编码方法才是有意义的，则cr要小于1。2.2 无损压缩编码的研究和实现2.2.1行程编码RLE（Run Length Encoding）行程是指具有相同灰度值的像素序列，其编码思想就是去除掉像素空间冗余，即用行程的行程和灰度的长度来替换行程本身2。例如：编码前：hhhhhbbmmmmmm 编码后：h5b2m6行程编码如图2所示：图2 行程编码系统图对于行程编码的研究，这里选用大小为像素、灰度级为256的cameraman图像，对其进行行程编码来实现图像压缩的目的。其中采用RLEncode函数对图像进行压缩，而用RLEdecode函数

30、对压缩图像进行复原。显示原始图像和解压后的图像、用size函数计算的原始图像数据和压缩后数据大小、均方根误差erms，通过利用公式计算cr。对大小为像素、灰度级为256的cameraman图像进行行程编解码结果如图3所示，在其编码的程序中，添加display(e)语句使其显示cameraman图像的压缩编码，可得部分编码如下：(1 150),(1 153),(1 152),(1 151),(1 150),(1 151),(1156),(1 154),(2 151),(1149),(1154),(1152),(1153),(1152),(3 149),(2 151)此处是对灰度图进行行程编码的，

31、由于灰度图的灰度值不像二值化图像只有0和1，而cameraman图像没有白色的部分就没有灰度值为0，则其编码中含除了1以外的灰度值。其编解码结果如图3所示图3 cameraman图像进行行程编码结果图由图3可得：=112224，=65536，则压缩比cr=1.7127。对大小为像素、灰度级为256的cameraman图像先进行黑白二值化再行程编解码结果如图4所示，在其编码的程序中，添加display(e)语句使其显示二值化cameraman的压缩编码，可得部分编码如下： (1 158),( 0 8),( 1 2),( 0 1),(1 1),( 0 3),(11),(0 1),( 1 2),(

32、0 1),( 1 40),( 0 1),( 1 14),( 0 1),( 1 12),( 0 1)此处是将灰度图转换为黑白二值化图像再进行行程编码的，由于黑白二值化的灰度值只有0和1，则其编码只含有0和1的灰度值。图4 黑白二值化cameraman图像进行行程编码结果图由图4可得：=6802，=65536，则压缩比cr=0.10379。为了方便比较两种行程编码，将以上两种结果的数据列在表1中，表1如下所示：表1 对灰度图像和二值化图像进行行程编码结果的数据比较表图像原始图像数据大小压缩后数据大小均方根误差erms压缩比cr灰度图655361122240二值化图像6553668020由表1可以明

33、显看出：均方根误差erms =0，则行程编码是一种无损压缩编码。对灰度图像进行行程编码后图像的大小与原始图像大小相比，其需要更大的存储空间，没不到压缩图像的目的。而对二值化图像进行行程编码后图像的大小比原始图像小将近10倍，这样更有利于图像的存储和传输。则说明行程编码更适合于二值化图像和那些连续出现灰度级相同的图像。2.2.2 哈弗曼编码（Huffman）哈弗曼（Huffman）编码步骤可概括为大到小排列、相加（到只有一个信源符号为止）、赋码字、得huffman编码，以上均是对于信源符号概率而言的。Huffman编码，这里选用大小为像素、灰度级为256的coin图像，对其进行huffman编码

34、来实现图像压缩的目的。其中采用huffncode函数对图像进行压缩，而用huffdecode函数对压缩图像进行复原，显示原始图像和解压后的图像、用size函数计算的原始图像数据和压缩后数据大小、均方根误差erms，通过利用公式计算cr。对大小为像素、灰度级为256的boat图像进行huffman编解码可得5个概率最大的灰度值及其概率大小：M1(145，), M2(144，), M3(147，), M4(146，), M5(149，),用其对huffman编码的步骤进行说明，其编码过程如图5所示：图5 huffman编码过程图由图5可得：经过huffman编码后信源M1、M2、M3、M4、M5的

35、码字分别为：01、10、00、111、011。由经过编码的码字可得到huffman编码的特点：用短的码字对概率大的信源进行编码，而用较长的码字对概率小的信源进行编码。其运行结果如图6所示：图6 对boat图像进行huffman编解码结果图由图6可得：=58986，=65536，则压缩比cr=0.90005。由huffman编解码的运行结果数据可得表2如下所示：表2 对boat图像进行huffman编解码结果数据表编码原始图像数据大小压缩后数据大小均方根误差erms=压缩比crHuffman编码65536589860由上表可得：均方根误差erms =0，则huffman编码为无损压缩编码。对bo

36、at进行huffman编码后的图像大小与原始图像差不多，其压缩比接近于1，则huffman编码对图像没有很好的压缩效果。如信源M1、M2、M3、M4、M5经过huffman编码的码字分别为：01、10、00、111、011，是由近似的整数来对其进行编码的，没有达到预期的效果。2.3 线性预测编码（DPCM,Different Pulse Code Modulation）差值脉冲编码调制（Different Pulse Code Modulation），即线性预测编码（DPCM）是对图像的预测误差进行编码的一种无损压缩编码。预测误差是当前信号的实际值和根据前面的信号对当前信号进行预测得到的预测值

37、的之差。其编解码系统如图7所示：图7 线性预测编码编解码系统图线性预测编码，这里选用大小为像素、灰度级为256的yun图像，对其进行行程编码来实现图像压缩的目的。其中采用LPCencode函数对图像进行压缩，而用LPCdecode函数对压缩图像进行复原，用size函数计算的原始图像数据和压缩后数据大小、均方根误差erms并在静态文本框中显示出来。由于线性预测编码是对图像的预测误差进行编码的一种无损压缩编码，也通过显示原始图像和预测误差的直方图，来反映经过预测编码去除图像冗余的情况。对大小为像素、灰度级为256的yun图像进行DPCM编码的运行结果如图8、9所示：图8 对circuit图像进行D

38、PCM编解码结果图图9 原始图像和预测误差直方图由图8可得：均方根误差erms =0，则线性预测编码是对图像的预测误差进行编码的一种无损压缩编码。由图9可得：预测误差的概率分布在零处的峰值很大，则线性预测编码通过预测和差分消除了大量像素间的冗余。将以上几种无损压缩编码方法运行结果数据汇总在表3中进行比较，表3如下所示：表3 无损压缩编码比较表图像编码原始数据大小压缩后数据大小均方根误差erms压缩比cr灰度图RLERLEHuffmanDPCM655361122240二值化图像灰度图灰度图65536655361638468025898616384000由于线性预测编码是对预测误差进行编码的，其要

39、与RLE和huffman编码比较得通过预测误差直方图的概率分布来进行。由表3可得：要对黑白二值化图像进行编码，最好选择RLE编码。而对于灰度图，进行RLE编码后图像数据（112224）比原始数据（65536）大很多；进行huffman编码后的图像大小与原始图像差不多，均没达到好的压缩效果；进行线性预测编码其预测误差的概率分布在零处的峰值很大，说明消去了很多的冗余。因此，灰度图像要进行无损压缩编码，最好的选择是进行线性预测编码。.1 基于DCT的图像压缩编码由于在空间域里进行DCT变换编码比在变换域里较复杂，因此DCT变换编码选择在变换域里进行。经过DCT变换后信号的能量积聚到少量的系数上，使其

40、图像的相关性下降了和抗干扰能力增加了，更利于压缩图像的传输。因而，被图像压缩领域广泛的运用。关于基于DCT的图像压缩编码的实现，这里选用大小为像素、灰度级为256的lena图像，对其进行DCT变换来实现图像压缩的目的。编写matlab程序时，先用blkproc和dctmtx(8) 函数对图像进行分割为个大小为的子图像进行DCT，则每一个子图像中均有64个的傅里叶系数。再量化，用im2col函数将的图像块排列成向量，根据设置的压缩比cr确定要变零的系数个数snum并将最小的snum个变化系数设置为0。接着用col2im函数将向量重新排列成图像块以便图像的复原，最后用blkproc和dctmtx(

41、8) 函数对新的图像块进行逆DCT变换来恢复图像和计算均方根误差erms来体现DCT的信息集中能力。其编解码系统如图11所示：图11 DCT变换编解码系统图设置压缩比cr=0.5，即对大小为像素、灰度级为256的lena图像进行2:1的DCT压缩，截取一子图像8,8数据分析其编码，截取的数据如下：由上可得：全部负数是当中最小的32个变换系数。经过量化编码后的数据如下：由上可得：量化编码将64个变换系数中最小的32个变换系数变0，而保留32个比较大的变换系数。其运行结果如图12所示：图12 进行DCT变换编解码运行结果图设置压缩比cr=0.125，即对大小为像素、灰度级为256的lena图像进行

42、8:1的DCT压缩，截取一子图像8,8数据分析其编码，截取的数据如下：由上可得：是8个比较大的变换系数。经过量化编码的数据如下：由上可得：量化编码将64个变换系数中最小的56个变换系数变0，而保留8个比较大的变换系数。其运行结果如图13所示：图13 进行DCT变换编解码运行结果图.2 基于哈达玛变换（HT）的图像压缩编码哈达玛变换矩阵有三个优点3： 只含+1和-1； 任意两行或两列对应元素相乘后相加为0，即正交； 变换核矩阵使高阶矩阵可通过低阶矩阵来获得。关于基于哈达玛变换的图像压缩编码的实现，在matlab7.0中没有产生哈达玛矩阵的函数hadamard，因此就得编写一个产生哈达玛矩阵的函数

43、hadamard。这里选用大小为像素、灰度级为256的lena图像，对其进行哈达玛变换来实现图像压缩的目的。编写matlab程序时，先用blkproc和hadamard 函数对图像进行分割为个大小为的子图像进行哈达玛变换，则每一个子图像中均有64个的傅里叶系数，再用im2col函数将的图像块排列成向量，根据设置的压缩比cr确定要变零的系数个数snum并将最小的snum个变化系数设置为0，接着要col2im函数将向量重新排列成图像块以便图像的复原，最后用blkproc和hadamard 函数对新的图像块进行逆哈达玛变换来恢复图像和计算均方根误差erms来体现哈达玛变换的信息集中能力。其编解码系统

44、如图14所示：图14 Hadamard变换编解码系统图像素、灰度级为256的lenan图像进行2:1的哈达玛变换压缩，截取一子图像8,8数据分析其编码，截取的数据如下：经过量化编码的数据如下：由上可得：经过量化编码将64个变换系数中最小的32个变换系数变0，而保留32个比较大的变换系数。其运行结果如图15示：图15 进行哈达玛变换编解码运行结果图像素、灰度级为256的lena图像进行8:1的哈达玛变换压缩，截取一子图像8,8数据分析其编码，截取的数据如下：经过量化编码的数据如下：由上可得：经过量化编码将64个变换系数中最小的56个变换系数变0，而保留8个比较大的变换系数。其运行结果如图16所示

45、：图16 进行哈达玛变换编解码运行结果图为了方便比较以上两种变换编码集中能量的能力，两种变换均是对大小为像素、灰度级为256的lena图像进行处理。将以上两种变换编码结果制作为一张表，表4如下所示：表4 三种变换编码结果汇总表压缩比cr=变换编码原始图像数据大小：压缩后数据大小：均方根误差erms=基于DCT的变换编码6553632768基于HT的变换编码6553632768基于DCT的变换编码基于HT的变换编码655366553681928192由表4可得：在压缩比相同的情况下（即丢弃的系数个数相同），DCT的均方根误差erms相对比较小，也就是DCT比HT有更强的信息集中能力。在压缩比为0

46、.5的情况下，两种变换的均方根误差均比压缩比为0.125的小，也就是压缩比越大其集中信息的能力越强。这是因为图像的有用信息低频信息大多在变换域的左上角，变换编码只对该区域的变换进行量化、编码、传输，而丢弃那些没用的高频分量。第三章 小波变换与图像压缩编码简介传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线

47、性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。 小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器， 该方法是Mallat于1988年提出的，称为Mallat算法。这种方法实际上是一种信号分解的方法， 在数字信号处理中常称为双通道子带编码。用滤波器执行离散小波变换的概念如图所示。S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器组，其中一个滤波器为低通滤波

48、器，通过该滤波器可得到信号的近似值A（Approximations），另一个为高通滤波器，通过该滤波器可得到信号的细节值D（Detail）。图1.1 小波分解示意图在小波分析中，近似值是大的缩放因子计算的系数，表示信号的低频分量，而细节值是小的缩放因子计算的系数，表示信号的高频分量。实际应用中，信号的低频分量往往是最重要的，而高频分量只起一个修饰的作用。如同一个人的声音一样， 把高频分量去掉后，听起来声音会发生改变，但还能听出说的是什么内容，但如果把低频分量删除后，就会什么内容也听不出来了。3.2. 离散小波变换的定义及应用3.2.1 离散小波变换的定义在图像处理中应用的小波变换是二维小波变换

49、，定义为（3.2.1）式中，分别表示在x,y轴的平移；逆变换为（3.2.2）式中，为系数，为（3.2.3）而是一个二维基本小波。离散小波变换的应用小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。随着小波理论的日益成熟，人们对小波分析的实际应用越来越重视，小波分析的应用领域也变得十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像处理；量子力学、理论物理等方面。例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、高维矩阵运算、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等；在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等；在图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断，去污等；本文主要介绍离散小波变换图像

50、处理方面的应用。321用小波变换进行图像分解使用小波变换完成图像分解的方法很多，例如，均匀分解、非均匀分解、八带分解、小波包分解等。其中八带分解是使用最广的一种分解方法，这种分解方法把低频部分分解成比较窄的频带，而对每一级分解得到的高频部分不再进一步进行分解。(a) 一次二维DWT (b) 两次二维DWT图为八带分解示意图(a) 一次二维DWT，(b) 两次二维DWT322 用小波变换进行图像处理对静态二维数字图像，可先对其进行若干次二维DWT变换，将图像信息分解为高频成分H、V和D和低频成分A。对低频部分A，由于它对压缩的结果影响很大，因此可采用无损编码方法，如Huffman、DPCM等；对

51、H、V和D部分，可对不同的层次采用不同策略的向量量化编码方法，这样便可大大减少数据量，而图像的解码过程刚好相反。ISO/IEC JTC1 SC29小组制定的JPEG2000静态图像编码标准中的图像变换技术就采用了离散小波变换，这些编码的最大特点是在不丢失重要信息的同时，能以较高的比率压缩图像数据，并且其算法计算量小。3.2.3 小波变换编码的基本框架基于小波变换的图像压缩编码模型一般包含3个部分（如图所示）。首先，利用二维Mallat分解算法对图像进行分解，假设分解成M层，则得到3M个高频子图（子带）与一个低频子图。由于小波变换系数在幅度上还是连续的，因此，第二步需要对小波变换系数进行量化，其

52、被量化以后产生符号流的每一个符号时对应特定量化阶层的标记，信息的损失往往发生在量化级。第三步则由熵编码把量化得到的符号流表示为比特流，以达到数据压缩的目的。常用的熵编码由算术编码，Huffman编码等。最后吧比特流进行存储或传输。对于静态图像这样的二维信源，需要使用二维滤波器进行处理。考虑到小波函数的可分离性，二维滤波器可由一维滤波器合成而成。用L表示低通滤波器，H表示高通滤波器，则滤波器LL，LH，HL和HH构成4个具有不同频率特性和方向特性的滤波特性和方向特性的滤波器。LL用于检测图像的低频分量，LH用于检测水平方向的边缘、细节分量，HL用于检测垂直方向的边缘、细节分量，HH用于检测对角线

53、与副对角线方向的分量。图2.4表示图像的3层小波分解示意图。图2.4 图像3层小波分解3.2.4 小波变换编码的优越性长期以来，图像压缩编码利用离散余弦变换（DCT）作为主要的变换技术，并成功的应用于各种标准，比如JPEG,MPEG-1,MPEG-2。但是，在基于DCT的图像变换编码中，人们将图像分成8×8像素或16×16像素的块来处理，从而容易出现方块效应与蚊式噪声。小波变换式全局变换，在时域和频域都具有良好的局部化性能，而且在应用中易于考虑人类的视觉特性，从而成为图像压缩编码的主要技术之一。基于小波变换的图像编码与经典的图像编码方法相比，只要具有以下优点：（1）小波变换

54、本质上是全局变换，重构图像中可以免除采用分块正交变换编码所固有的“方块效应”。（2）小波变换采用塔式分解的数据结构，与人眼由粗到细、由全貌道细节的观察习惯相一致，这是将WT与HVS的空间分解特性结合起来以改善图像压缩性能的有利条件。小波变换比经典的离散余弦变换（DCT）更符合人的视觉特性，通过合理的量化编码产生的人为噪声比同样比特率的JPEG方法产生的影响要小的多。（3）小波变换是图像的时频表示，具有时间频域定位能力，并可实现图像中平稳成分域非平稳成分的分离，从而可对其进行高效编码。因此，小波变换用于图像压缩时，除具有时频局部化分析方法处理非平稳信号的固有长处外，还体现在它具有易于与HVS相结

55、合的潜力上。3.3 离散小波变换图像压缩原理小波分析用于信号与图像压缩是其应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征不变，且在传递过程中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法、小波域纹理模型方法、小波变换零树压缩、小波变换向量量化压缩等。离散小波变换系统进行图像压缩基本原理是：根据二维小波分解算法，一幅图像做小波分解后，可得到一系列不同分辨率的图像，而表现一幅图像最主要的部分是低频部分，如果去掉图像的高频部分而只保留低频部分，则可达到图像压缩的目的。传统傅立叶分析只能对信号进行时域或频域单独进行分析，时域上有限的信号在频域是无

56、穷的，频域内有限的信号在时域里是无穷的。而小波分析能在时域和频域内同时分析，且能自动调整分辨率。在实际应用中，需要将连续小波离散化。这里的离散是指将连续小波和连续小波变换离散化。在连续小波中，考虑函数 ，是容许的，在离散化时，总限制取正值，这样离散小波变换的容许条件就变为：当离散化时，即，则得到离散小波为从而离散小波变换表示为：其重构公式为：为一与信号无关的常数。这样，我们将信号分解为不同尺度与平移参数的小波分量之和。如果还有一个对偶，它们一起满足双正交条件，则系数 是的连续小波变换在第尺度与第平移处的值。所以，连续小波变换与离散小波变换是不可分离的。实际应用中，通常用卷积形式的小波变换，对于函数，在尺度上的卷积小波变换记为这时容易计算的连续小波变换的傅立叶变换。为了达到高效压缩的目的，应注意以下几个重要问题：（1）小波的正确选取。通常，在图像压缩中，采用具有紧支集的正交小波或双正交小波。（2）小波基的正确选取。选取合适的小波基，使得在不增加运算复杂度的前提下进一步发挥小波的优点，提高压缩性能。（3）选取适合小波特点的量化方法。根据小波分析的特点和人的视觉