《高等工程力学》讲义第9章结构弹性稳定计算(正式)

1、.第四篇 结构弹性稳定计算第9章 结构弹性稳定计算9.1 两类稳定问题概述 在结构设计中，除保证结构必须满足强度条件和刚度条件外，往往还应进行结构稳定性的验算。在结构稳定计算中，需要对结构的平衡状态作更深层次的考察。从稳定性角度来考察，平衡状态实际上有三种不同的情况：稳定平衡状态、不稳定平衡状态和中性平衡状态。设结构原来处于某个平衡状态，后来由于受到轻微干扰而稍微偏离其原来位置。当干扰消失后，如果结构能够回到原来的平衡位置，则原来的平衡状态为稳定平衡状态；如果结构继续偏离，不能回到原来位置，则原来的平衡状态称为不稳定平衡状态。结构由稳定平衡到不稳定平衡的中间过渡状态称为中性平衡状态。 在结构稳

2、定计算中，通常仍采用小挠度理论，其优点是可以用比较简单的方法得到基本正确的结论。如果希望得到更精确的结论，则需要采用较为复杂的大挠度理论。随着荷载的逐渐增大，结构的原始平衡状态可能由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态。这时原始平衡状态丧失其稳定性，简称为失稳。结构的失稳有两种基本形式：分支点失稳和极值点失稳。下面以压杆为例加以说明。9.1.1 分支点失稳 图9-1（a）所示为简支压杆的完善体系或理想体系：杆件轴线是理想的直线（没有初曲率），荷载P是理想的中心受压荷载（没有偏心）。随着压力P逐渐增大的过程，我们考察压力P与中点挠度之间的关系曲线，称为P-曲线或不平衡路径（图9-1（b）。图9-1

3、分支点失稳（a）理想的中心受压杆；（b）P曲线 当荷载值Pl小于欧拉临界值时，压杆只是单纯受压，不发生弯曲变形（挠度0），压杆处于直线形式的平衡状态（称为原始平衡状态）。在图9-1（b）中，其P-曲线由直线OAB表示，称为原始平衡路径（路径）。如果压杆受到轻微干扰而发生弯曲，偏离原始平衡状态，则当干扰消失后，压杆仍又回到原始平衡状态。因此，当PPcr时，原始平衡状态是稳定的。也就是说，在原始平衡路径上，点A所对应的平衡状态是稳定的。这时原始平衡形式是唯一的平衡形式。当荷载值P2大于Pcr时，原始平衡形式不再是唯一的平衡形式，压杆既可处于直线形式的平衡状态，还可处于弯曲形式的平衡状态。也就是说，

4、这时存在两种不同形式的平衡状态。与此相应，在图9-1（b）中也有两条不同的P-曲线：原始平衡路径（由直线BC表示）和第二平衡路径（根据大挠度理论，由曲线BD表示。如果采用小挠度理论进行近似计算，则曲线BD退化为水平直线BD）。进一步还可看出，这时原始平衡状态（C点）是不稳定的。如果压杆受到干扰而弯曲，则当干扰消失后，压杆并不能回到C点对应的原始平衡状态，而是继续弯曲，直到图中D点对应的弯曲形式的平衡状态为止。因此，当P2Pcr时，在原始平衡路径上，点C所对应的平衡状态是不稳定的。两条平衡路径和的交点B称为分支点。分支点B将原始平衡路径分为两段：前段OB上的点属于稳定平衡，后段BC上的点属于不稳

5、定平衡。也就是说，在分支点B处，原始平衡路径与新平衡路径同时并存，出现平衡形式的二重性，原始平衡路径由稳定平衡转变为不稳定平衡，出现稳定性的转变。具有这种特征的失稳形式称为分支点失稳形式。分支点对应的荷载称为临界荷载，对应的平衡状态称为临界状态。分支点失稳又称为第一类失稳。图9-2 分支点失稳（a）受结点荷载的刚架；（b）受水压力的圆拱；（c）窄条梁其他结构也可能出现分支点失稳现象，其特征仍然是在分支点PPcr处，原始平衡形式由稳定转为不稳定，并出现新的平衡形式。例如9-2（a）所示承受结点荷载的刚架，在原始平衡形式中，各柱单纯受压，刚架无弯曲变形；在新的平衡形式中，刚架产生侧移，出现弯曲变形

6、。又如图9-2（b）所示承受静水压力的圆拱，在原始平衡形式中，拱单纯受压，拱轴保持为圆形；在新的平衡形式中，拱轴不再保持为圆形，出现压弯组合变形。再如图9-2（c）所示悬臂窄条梁，在原始平衡形式中，梁处于平面弯曲状态；在新的平衡形式中，梁处于斜弯曲和扭转状态。9.1.2 极值点失稳图9-3（a）、（b）分别为具有初曲率的压杆和承受偏心荷载的压杆，它们称为压杆的非完善体系。图9-3 极值点失稳（a）有初弯曲的压杆；（b）偏心荷载压杆；（c）P-曲线 图9-3（a）、（b）中的非完善压杆从一开始加载就处于弯曲平衡状态。按照小挠度理论，其P-曲线如图9-3（c）中的曲线OA所示。在初始阶段挠度增加较

7、慢，以后逐渐变快，当P接近中心压杆的欧拉临界值Pe时，挠度趋于无限大。如果按照大挠度理论，其P-曲线由曲线OBC表示。B点为极值点，荷载达到极大值。在极值点以前的曲线段OB，其平衡状态是稳定的；在极值点以后的曲线段BC，其相应的荷载值反而下降，平衡状态是不稳定的。在极值点处，平衡路径由稳定平衡转变为不稳定平衡。这种失稳形式称为极值点失稳。其特征是平衡形式不出现分支现象，而P-曲线具有极值点。极值点相应的荷载极大值称为临界荷载。极值点失稳又称为第二类失稳。 对工程中的结构而言，多数受压构件均处于偏心受压状态（即压力和弯矩同有的状态），是非完善的压杆体系，它们多属于第二类失稳问题。 最后，对稳定问

8、题与强度问题的区别作一点说明。 强度问题是指结构在稳定平衡状态下它的最大应力不超过材料的允许应力，其重点是在内力的计算上。对大多数结构而言，通常其应力都处于弹性范围内而且变形很小。因此，按线性变形体系来计算，即认为荷载与变形之间呈线性关系，并按结构未变形前的几何形状和位置来进行计算，叠加原理适用，通常称此种计算为线性分析或一阶分析。对于应力虽处于弹性范围但变形较大的结构（如悬索），因变形对计算的影响不能忽略，应按结构变形后的几何形状和位置来进行计算，此时，荷载与变形之间已为非线性关系，叠加原理不再适用，这种计算称为几何非线性分析或二阶分析。 稳定问题与强度问题不同，它的着眼点不是放在计算最大应

9、力，而是研究荷载与结构内部抵抗力之间的平衡上，看这种平衡是否处于稳定状态，即要找出变形开始急剧增长的临界点，并找出与临界状态相应的最小荷载（临界荷载）。由于它的计算要在结构变形后的几何形状和位置上进行，其方法也属于几何非线性范畴，叠加原理不再适用，故其计算也属二阶分析。稳定计算是结构力学中的一个重要专题，本章只讨论完善体系分支点失稳问题，并根据小挠度理论求临界荷载。确定临界荷载的方法很多，其中最基本和最重要的是静力法和能量法。以下就直杆稳定问题对这两个方法分别加以介绍。9.2 稳定问题的分析方法静力法根据临界状态的静力特征而提出的确定临界荷载的方法，称为静力法。9.2.1 静力法确定有限自由度

10、体系的临界荷载下面结合图9-4（a）的单自由度体系说明解法。在图9-4（a）中，AB为刚性压杆，底端A为弹性支承，其转动刚度系数为k。图9-4 单自由度失稳（a）原始平衡形式；（b）平衡的新形式在分支点失稳问题中，临界状态的静力特征是平衡形式的二重性。静力法的要点是在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，确定二者交叉的分支点，由此求出临界荷载。显然，杆AB处于竖直位置时的平衡形式（图9-4（a）是其原始平衡形式。现在寻找杆件处于倾斜位置时新的平衡形式（图9-4（b）。根据小挠度理论，其平衡方程为 （9-1）由于弹性支座的反力矩MAk，所以 （9-2）应当指出，在稳定分析中，平衡方程是针对变形后的结

11、构新位置写出的（不是针对变形前的原始位置），也就是说，要考虑结构变形对几何尺寸的影响。在应用小挠度理论时，由于假设位移是微量，因而对结构中的各个力要区分为主要力和次要力两类。例如在图9-4（b）中，纵向力P是主要力（有限量），而弹性支座反力矩MAk是次要力（微量）。建立平衡方程时，方程中各项应是同级微量，因此对主要力P的项要考虑结构变形对几何尺寸的微量变化（如式（9-1）中的第一项为主要力P乘以微量位移l），而对次要力的项则不考虑几何尺寸的微量变化（见例9-1）。式（9-2）是以位移为未知量的齐次方程。齐次方程有两类解：即零解和非零解。零解（0）对应于原始平衡形式，即平衡路径；非零解（0）是新

12、的平衡形式。为了得到非零解，齐次方程（9-2）的系数应为零，即或 （9-3）式（9-3）称为特征方程。由特征方程得知，第二平衡路径为水平直线。由两条路径的交点得到分支点，分支点相应的荷载即为临界荷载，因此 （9-4）例9-1 图9-5（a）所示是一个具有两个变形自由度的体系，其中AB、BC、CD各杆为刚性杆，在铰结点B和C处为弹性支承，其刚度系数都为k。试求其临界荷载Pcr。图9-5 两个自由度的体系（a）原始平衡形式；（b）平衡的新形式解：设体系由原始平衡状态（图9-5（a）的水平位置）转到任意变形的新状态（图9-5（b），设B点和C点的竖向位移分别为y1和y2，相应的支座反力分别为 同时，

13、A点和D点的支座反力为 注意，本问题中纵向力P是主要力，横向力Y、R为次要力。因而这里及下面写平衡方程时，主要力的项均考虑了结构变形的微量变化y，而次要力的项则没有考虑几何尺寸的微量变化（跨度仍用l）。变形状态的平衡条件为 即 （a）这是关于y1和y2的齐次方程。如果系数行列式不等于零，即则零解（即y1和y2全为零）是齐次方程（a）的唯一解。也就是说，原始平衡形式是体系唯一的平衡形式。 如果系数行列式等于零，即 （b）则除零解外，齐次方程（a）还有非零解。也就是说，除原始平衡形式外，体系还有新的平衡形式。这样，平衡形式即具有二重性，这就是体系处于临界状态的静力特征。方程（b）就是稳定问题的特征

14、方程。展开式（b），得由此解得两个特征值：其中最小的特征值叫做临界荷载，即将特征值代回式（a），可求得y1和y2的比值。这时位移y1、y2组成的向量称为特征向量。如将Pkl/3代回式（a），则得y1y2，相应的变形曲线如图9-6（a）所示。如将Pkl代回式（a），则得y1y2，相应的变形曲线如图9-6（b）所示。图9-6 例9-1的失稳形态（a）第一失稳形态；（b）第二失稳形态9.2.2 静力法确定无限自由度体系的临界荷载前面讨论了有限自由度体系的稳定问题，现在讨论无限自由度体系的稳定问题，压杆稳定为其典型的代表。 静力法的解题思路仍旧是：先对变形状态建立平衡方程，然后根据平衡形式的二重性建立

15、特征方程，最后，由特征方程求出临界荷载。 在无限自由度体系中，平衡方程是微分方程而不是代数方程，这是与有限自由度体系不同的。 等截面压杆图1-7所示为一等截面压杆，下端固定，上端有水平支杆，现采用静力法求其临界荷载。图9-7 上端铰支下端固定的压杆 在临界状态下，体系出现新的平衡形式，如图中虚线所示。柱顶有未知水平反力R，弹性曲线的微分方程为或改写为其中上式的解为常数A、B和未知力R可由边界条件确定。 当x0时，y0，由此求得A0。当xl时，y0和y/0，由此得 （9-5）因为y(x)不恒等于零，所以A、B和R不全为零。由此可知，式（9-5）中系数行列式应等于零，即将上式展开，得到如下的超越方

16、程式 （9-6）图9-8 图解法上式可用试算法并配合以图解法求解。图9-8绘出了yl和ytanl两组线，它们的交点即为方程（9-6）的解，有无穷多个解。因为弹性压杆有无限个变形自由度，因而有无穷多个特征荷载值，其中最小的一个是临界荷载。由图9-8可知，最小正根l在的左侧附近，其准确数值可由试算法求得。为此，先将式(b)表示为如下形式： 当l4.5时，tanl4.637，D0.137 当l4.4时，tanl3.096，D1.304 当l4.49时，tanl4.422，D0.068 当l4.491时，tanl4.443，D0.048 当l4.492时，tanl4.464，D0.028 当l4.49

17、3时，tanl4.485，D0.008 当l4.494时，tanl4.506，D0.012由此求得(l)min4.493，故得 例9-2 试求图9-9(a)所示排架的临界荷载和柱AB的计算长度。图9-9 排架的临界荷载（a）排架；（b）计算简图；（c）变形状态解：图9-9(b)为此排架的计算简图。这里，柱AB在B点具有弹性支座，它反映柱CD所起的支承作用，弹性支座的刚度系数。在临界状态下，杆AB的变形如图9-9(c)所示，这时在柱顶处有未知的水平力R，弹性曲线的微分方程为可改写为其中上式的解为常数A、B和未知力R由边界条件确定。 当x0时，y0，由此求得A0。当xl时，y，y/0，由此有：由于

18、Rk，所以上式变为因为y(x)不恒等于零，故B、R不全为零。由此可知上式的系数行列式应为零，即展开上式，并利用P2EI1化简后，得到如下的超越方程： （a）为了求解这个超越方程，需要事先给定k值（即给出I1I2的比值）。下面讨论三种情形的解： I20，则k0，这时方程(a)变为当El1为有限值时，l，所以这个方程的最小根为因此这正是悬臂柱的情况，计算长度l02l。 I2，则k，这时方程(a)变为这个方程的最小根为因此这相当于上端铰支、下端固定的情况，计算长度l00.7l。 一般情况是k在0的范围内，l在4.493范围内变化。当I2I1时，则。这时方程(a)变为用试算法求解，先将上式表示为如下形

19、式：当l2.4时， tanl0.916，D1.192当l2.0时， tanl2.185，D1.518当l2.2时， tanl1.374，D0.025当l2.21时， tanl1.345，D0.043由此求得l2.21，因此所以，当I2I1时，计算长度为l01.42l。 变截面压杆工程中常见的变截面压杆有两类：一类是阶形杆，另一类是截面尺寸沿杆长连续变化的杆。截面尺寸沿杆长连续变化的压杆，用静力法求解时得到的是变系数的平衡微分方程，求解较为复杂，实际计算时多采用能量法。故这里只研究阶形压杆。图9-10 阶形柱图9-10为一阶形柱，下端固定、上端自由，上部刚度为EI1，下部刚度为EI2。若以y1、

20、y2分别表示变形后上、下两部分的挠度，则两部分的平衡微分方程为，当，当上式可改写为 （9-7）式中 式（9-7）的解为积分常数A1、B1和A2、B2由上下端的边界条件和xl1处的变形连续条件确定。当x0时，yl0；由此得当xl时，；由此得当xl1时，由此得由上式系数行列式等于零展开后，可求得特征方程为这个方程只有当给定和的比值时才能求解。 当EI210EIl，时，。此时特征方程变为由此解得最小根，从而可得例9-3 试求图9-11(a)阶形柱在柱顶承受压力P1，变截面处还作用有压力P2时的特征方程和临界荷载。图9-11 两段阶形柱解：设变形后上、下两部分的挠度分别为y1和y2，则两部分的平衡微分

21、方程为， 当， 当上式可改写为 （a）式中： 式(a)的解为积分常数A1、B1和A2、B2由上下端的边界条件和xl1处的变形连续条件确定。当x0时，yl0；由此得当xl时，；由此得当xl1时，yl2，yly2和，由此得 （b）将上第一式代人第二式，得 （c）由式(b)和(c)的系数行列式等于零：展开后，可求得特征方程为 （d）这个方程只有当、和的比值均给定时才能求解。 如图9-11(b)所示阶形杆，此时 特征方程式(d)变为由此解得最小根为从而可得9.3 稳定问题的分析方法能量法9.3.1 能量法确定体系临界荷载的基本原理 用能量法求临界荷载，仍是以结构失稳时平衡的二重性为依据，应用以能量形式

22、表示的平衡条件，寻求结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其中最小者即为临界荷载。 用能量形式表示的平衡条件就是势能驻值原理，它可表述为：对于弹性结构，在满足支承条件及位移连续条件的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移（因而就是真实的位移）使结构的势能为驻值，也就是结构势能的一阶变分等于零，即这里，结构的势能等于结构的应变能U与外力势能Up之和： 仍以图9-4所示单自由度体系为例说明。体系的势能为弹簧应变能U与荷载P的势能Up之和。弹簧应变能为荷载势能为这里为B点的竖向位移（见图9-4(b)因此体系的势能为 （9-8）应用势能驻值条件，得 （9-9）上式与静力法中的式（9-2）是等价的。由此可见

23、，能量法与静力法都导出同样的方程。换句话说，势能驻值条件等价于用位移表示的平衡方程。 能量法余下的计算步骤即与静力法完全相同，即根据位移有非零解的条件导出特征方 （9-10）从而求出临界荷载 归结起来，在分支点失稳问题中，临界状态的能量特征是：势能为驻值，且位移有非零解。能量法就是根据上述能量特征求临界荷载。 下面对势能作进一步的讨论。由式（9-8）看出，势能是位移的二次式，其关系曲线是抛物线。 如果，则关系曲线如图9-12(a)所示。当位移为任意非零值时，势能恒为正值，即势能是正定的。当体系处于原始平衡状态（0）时，势能为极小，因而原始平衡状态是稳定平衡状态。 如果，则关系曲线如图9-12(

24、c)所示。当位移为任意非零值时，势能恒为负值，即势能是负定的。当体系处于原始平衡状态时，势能为极大，因而原始平衡状态是不稳定平衡状态。 如果，则关系曲线如图9-12(b)所示。当位移为任意值时，势能恒为零，体系处于中性平衡状态，即临界状态，这时的荷载称作临界荷载，即。这个结果与静力法所得的相同。图9-12 势能与位移的关系曲线（a）；（b）；（c） 因此，临界状态的能量特征还可表述为：在荷载达到临界值的前后，势能由正定过渡到非正定。对于单自由度体系，则由正定过渡到负定。 例9-4 用能量法重做例9-1，即图9-5所示两个变形自由度的体系。 解： 现在讨论临界荷载的能量特征。 在图9-5(b)中

25、，D点的水平位移为弹性支座的应变能为荷载势能为体系的势能为应用势能驻值条件： 得 （a）上式就是例9-1用静力法导出的式(a)。也就是说，势能驻值条件等价于用位移表示的平衡方程。 能量法以后的计算步骤与静力法完全相同。势能驻值条件(a)的解包括全零解和非零解。求非零解时，先建立特征方程，然后求解，得出两个特征荷载值Pl和P2，其中最小的特征值即为临界荷载Pcr，过程和结果见例9-1的后一半。 归结起来，能量法求多自由度体系临界荷载Pcr的步骤如下：先写出势能表达式，建立势能驻值条件，然后应用位移有非零解的条件，得出特征方程，求出荷载的特征值Pi (i1、2、n)。最后，在Pi中选取最小值，即得

26、到临界荷载Pcr。9.3.2 能量法确定无限自由度体系的临界荷载 无限自由度体系的弹性压杆的临界荷载Pcr可根据下列能量特征来求：对于满足位移边界条件的任一可能位移状态，可求势能。由势能的驻值条件0，可得包含待定参数的齐次方程组。为了求非零解，齐次方程的系数行列式应为零，由此求出特征荷载值。临界荷载是所有特征值中的最小值。 按单参数体系计算下面以图9-13(a)所示压杆为例，说明具体做法。图9-13 弹性压杆的稳定（a）弹性压杆；（b）微段变形 设压杆有任意可能位移，变形曲线为这里，(x)是满足位移边界条件的已知函数，a1为任意参数。这样，原体系实际上被近似地看作只有一个自由度的体系。先求弯曲

27、应变能U：再求与P相应的位移（压杆顶点的竖向位移）。为此，先取微段AB进行分析（图9-13(b)）。弯曲前，微段AB的原长为dx。变形后，弧线A/B/的长度不变，即dsdx。由图可知，微段两端点竖向位移的差值d为 （9-11）因此荷载势能UP为体系的势能为由势能的驻值条件0，即得为了求非零解，要求a1的系数为零，得 （9-12）例9-5 图9-14(a)所示为两端简支的中心受压柱，试用能量法求其临界荷载。解：简支压杆的位移边界条件为当x0和xl时，在满足上述边界条件的情况下，我们选取三种不同的变形形式进行计算。图9-14 两端铰支柱（a）中心受压柱；（b）变形曲线 假设挠曲线为抛物线则求得由势

28、能驻值条件，得为了求非零解，要求al的系数为零，得 取跨中横向集中力Q作用下的挠曲线作为变形形式（图9-14(b)），则当xl2时：求得由此，可求得 假设挠曲线为正弦曲线则 求得由此，可求得 讨论 假设挠曲线为抛物线时求得的临界荷载值与精确值相比误差为22，这是因为所设的抛物线与实际的挠曲线差别太大的缘故。 根据跨中横向集中力作用下的挠曲线而求得的临界荷载值与精确值相比误差为1.3，精度比前者大为提高。如果采用均布荷载作用下的挠曲线进行计算，则精度还可以提高。 正弦曲线是失稳的真实变形曲线，所以由它求得的临界荷载是精确解。一般情况下是很难遇到这种情形的。 按多参数体系计算 设压杆的变形曲线为

29、（9-13）其中伊i(x)是满足位移边界条件的已知函数，ai是任意参数，共n个。这样，原弹性压杆被近似地看作是有n个自由度的体系。 此时，弯曲应变能为荷载势能为体系的势能为由势能的驻值条件0，即 得 令 （9-14）则得 （9-15a）可简写为 （9-15b）上式是对于n个未知参数al、a2、an的n个线性齐次方程。 根据特征值和特征向量的性质，参数al、a2、an不能全为零，因此系数行列式应为零，即 （9-16）其展开式是关于P的n次代数方程，可求出n个根，由其中的最小根可确定临界荷载。上面介绍的解法有时叫里兹法。这里将原来的无限自由度体系近似地化为n次自由度体系，所得的临界荷载近似解是精确

30、解的一个上限。对此一现象可作如下解释：求近似解时，我们从全部的可能位移状态中只考虑其中的一部分，这就是说，我们使体系的自由度有所减少（例如将无限自由度变为有限自由度）。这种将自由度减少的作法，相当于对体系施加某种约束。这样，体系抵抗失稳的能力通常就会得到提高，因而这样求得的临界荷载就是实际临界荷载的一个上限。例9-6 图9-15(a)所示等截面柱，下端固定，上端自由，试求在均匀竖向荷载作用下的临界荷载值qcr。图9-15 求受均匀竖向荷载的悬臂柱的临界荷载（a）自重作用下的悬臂柱；（b）局部变形时自重所作的功 解： 压杆承受的是均匀竖向荷载而不是柱顶集中力，故前面求的公式不能直接应用。由于微段

31、dz倾斜而使微段以上部分的荷载向下移动（图9-15(b)），下降距离d仍可由前式（9-11）算出。这部分荷载为q(lx)，所作的功为因此所有外力作的功为 先按单参数体系计算取变形曲线为以下形式：上式满足两端位移边界条件。先求应变能再求外力作的功体系的总势能为由0，可求得与精确解相比，误差为5.88。 再按两个参数体系计算 取变形曲线为以下形式：上式中i(x)均满足位移边界条件。 将上式求导并积分后，可求得体系的总势能为由势能的驻值条件 al、a2不全为零，则应有展开整理后得此二次方程的最小根即为临界荷载与精确解已十分接近，误差仅0.01。例9-7 图9-16所示为两端简支的变截面压杆，任一截面

32、x处的惯性矩为，对于中间截面来说，I为对称分布。试求临界荷载Pcr。 解：两端简支杆的位移边界条件为当x0时， y=0当xl时， y=0根据上述边界条件，变形曲线可设为三角级数如下： （a）可以看出，级数中的每一项都是满足位移边界条件和对称条件的。图9-16 变截面压杆 先取级数(a)的第一项作为近似的变形曲线，即设 （b）由此求得由此可求得 （c）这是按单参数体系求得的结果。 再取级数(a)的前两项作为近似的变形曲线，即设 （d）根据式(d)，求得U和Up如下：由驻值条件 可得 （e）为了得到a1和a2，的非零解，令方程组(e)的系数行列式为零其展开式为由此求出最小根，即得出临界荷载如下：

33、（f）这是按两个参数体系求得的结果。由式(c)和(f)看出，两次计算结果已很接近，相对差值不到1，由此可以了解所得近似结果的精确程度。9.4 剪力对临界荷载的影响 前面确定压杆的临界荷载时只考虑了弯矩对变形的影响。若还要计入剪力对临界荷载的影响，则在建立挠曲线微分方程时，就应同时考虑弯矩和剪力对变形的影响。 设用yM和yQ分别表示由于弯矩和剪力影响所产生的挠度，则两者共同影响产生的挠度为对x求二阶导数，可得曲率的近似公式 （a）由弯矩影响引起的曲率为 （b） 为了计算由于剪力引起的附加曲率，我们先来求由于剪力所引起的杆轴切线的附加转角。由图9-17(b)可知，这个附加转角在数值上等于切应变，而

34、图9-17 剪力对临界荷载的影响（a）压杆弯曲变形；（b）剪力与剪切角于是可得从而有 （c）将式(b)、(c)代人式(a)，得同时考虑弯矩和剪力影响的挠曲线微分方程为 （d）对于图9-17(a)所示两端铰支的等截面压杆，有代人式(d)得即令 （e）上述微分方程的通解为由边界条件x0、y0和xl、y0；可导出稳定方程为其最小根ml。由式(e)可得 （9-17）式中 欧拉临界荷载； 修正系数，又可写为这里e为欧拉临界应力。设压杆材料为三号钢，临界应力取为e200MPa，切变模量G80×103MPa，则有可见在实体杆中，剪力的影响很小，通常可略去。9.5 组合压杆的稳定 大型结构中的压杆，

35、如桥梁的上弦杆、厂房的双肢柱、起重机和无线电桅杆的塔身等，常采用组合杆的形式，即由两个主肢用若干连接件连接组成。连接件的形式有缀条式和缀板式两种（图9-18(a)、(b)）。组合压杆的临界荷载比截面和柔度相同的实体压杆的临界荷载要小，其原因是在组合压杆中剪力的影响较大。当组合压杆的结间数目较多时（如杆长l与结间d之比不小于6），其临界荷载可用上节实体压杆的公式（9-17）进行近似计算，而对式中的需另行处理，以反映连接件的影响。从前面的切应变公式可以看出，是代表在单位剪力作用下的切应变，故只要求出组合压杆在单位剪力作用下的切应变，将它代替式中的即可。下面分别就缀条式和缀板式两种情况进行讨论，导出

36、临界荷载及其他实用上的有关公式。图9-18 组合压杆（a）缀条式；（b）缀板式9.5.1 缀条式组合压杆 缀条式组合压杆的两肢通常是型钢，缀条常采用单角钢，两者截面相比差别较大，故缀条两端可视为铰结。现取一个结间来考虑（图9-19），在单位剪力Q1作用下的切应变，可近似地按下式计算图9-19 缀条式组合压杆的切应变位移11可按下式计算由于主肢杆的截面比缀条的截面大得多，故在上式中可只考虑缀条的影响。缀条的横杆，内力，杆长，截面积设为Ap；斜杆中，内力，杆长为，截面积设为Aq，于是有因而将上式的代替前节式（9-17）中的，即得 （9-18）式中，计算欧拉临界荷载Pe所用的惯性矩I，为两个主肢的截

37、面对整个截面的形心轴z的惯性矩。如用Ad表示一个主肢的截面积，Id表示一个主肢的截面对本身形心轴的惯性矩，并近似地认为主肢形心到z轴的距离为，则有 由式（9-18）知，斜杆比横杆对临界荷载的影响更大。例如当两者EA相同而45°时，有上式分母括号中，第一项代表斜杆的影响，第二项代表横杆的影响。若略去横杆的影响，并考虑到在一般情况下型钢翼缘两侧平面内都设有缀条，则式（9-18）变成式中 Aq一根斜杆的截面积。 如果在上式中引入计算长度系数，以便将临界荷载写成欧拉问题的基本形式：则其中应为 （9-19）若用r代表两个主肢的截面对整个截面形心轴z的回转半径，即此外，一般为30°60

38、°，故可取，将它代人式（9-19），并引入长细比（注意，这里0是按回转半径为r的实腹杆计算的长细比），可得 最后，缀条式组合压杆的长细比可表示为这就是钢结构规范中通常推荐的缀条式组合压杆的计算长细比的公式。9.5.2 缀板式组合压杆 缀板式组合压杆，没有斜杆，缀板与主肢的连接应视为刚结，计算简图是单跨多层刚架。近似计算时，认为主肢的反弯点在结间中点，且剪力是平均分配于两主肢，于是可取图9-20(a)所示的标准结间来计算。弯矩图如图9-20 (b)所示，由图乘法可得图9-20 缀板式组合压杆的标准单元（a）受力和变形；（b）弯矩图因此，切应变为用上式代替式（9-17）中的，得 （9-2

39、0）由上式可知，修正系数2将随结间长度d的增大而减小。 在一般情况下，缀板的刚度要比主肢的刚度大得多，可近似地认为EIb，于是式（9-20）可写成 （9-21）这里，为整个组合杆的截面惯性矩。 将以下惯性矩、长细比（整个杆按回转半径为r的实腹杆计算的长细比用0表示，一个主肢在一个结间内的长细比用d表示）与回转半径的关系式： 代入式（9-21），得若近似地以1代替0.83，则有相应的计算长度系数可写成因而缀板式组合杆的长细比为这就是规范中用以确定缀板式组合压杆计算长细比的公式。9.6 窄条梁的稳定 图9-21(a)所示为一窄而高的矩形截面悬臂梁，在荷载P作用下yz平面内产生平面弯曲。当荷载增大到某个临界值时（此时梁截面上的压应力达到其临界值），梁将在yz平面外产生侧向变形而失稳，如图9-21(b)所示，此时梁已偏离原平面弯曲状态而同时产生了斜弯曲和扭转。这种问题称为窄条梁的稳定或梁的侧向稳定问题。图9-21 窄条梁的失稳（a）原始的平面弯曲状态；（b）变形后的侧向失稳状态 下面结合图9-22(a)所示承受纯弯的矩形截面简支梁，说明窄条梁稳定问题的特点和解法。 当梁侧向失稳时，任一截面mn的形心C在x和y轴方向产生位移u和v，同时截面还绕z轴产生转角（图9-22(b)）。位移u和v以沿x和y轴正方向者为正；当朝正方向看时，转角以顺时针转向为正。 图9-22(