区间套定理的拓展及应用

1、2012届本科毕业论文区间套定理的拓展及应用姓 名：系 别： 数学与信息科学学院 专 业： 信息与计算科学 学号：指导教师：2012年04月20日目 录摘要1关键词1ABSTRACT1KEY WORDS10引言21 区间套定理在上的推广22区间套定理在一般度量空间上的推广43区间套定理在上的推广54 区间套定理的应用举例6参考文献9致谢9区间套定理的拓展及应用摘 要通过运用类比法、分析法、演绎法将区间套定理进行了拓展，得到若干定理并分别给出了证明，结合典型例题,分析讨论了区间套定理的实际应用.关键词区间套;拓展;应用The expansion and application of the ne

2、sted interval theoremAbstract several theorems which are testified are got after the expanding of the nested intervaltheoremthrough the application of analogy,analysis,and deductive and the application of the nested interval theorem was discussed by the analysis of some typical examples.Key wordsnes

3、ted interval;expansion;application0 引言区间套定理是数学分析中的一个重要的定理，它同聚点定理、有限覆盖定理、确界原理、数列的单调有界定理和柯西收敛准则一样反映了实数的完备性，也是学习实变函数、复变函数、点集拓扑学等课程的基础.由于它具有较好的构造性，因此区间套定理在证明与实数相关的命题中有广泛的应用，如证明闭区间上的连续函数必有最大值和最小值、闭区间上的连续函数必定一致连续、闭区间的连续函数的介值性定理等.故区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值。为了增大区间套定理的应用范围,本文从区间套定理的概念出发,综合运用类比分析法、演绎推理法推广该定

4、理.首先，将区间套定理在一维空间加以推广,形成严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理,增大了区间套定理的应用范围.紧接着结合一般完备度量空间的特性，即正定性、对称性、三角不等式和完备性，把区间套定理在一般完备度量空间上推广，形成一般完备度量空间上的闭区间套集定理，从而把一维空间上的情形推广到了更一般化的完备度量空间,使得区间套定理的应用范围更为广泛，而且给出了常用度量空间上的闭集套定理.最后结合一些实例分析说明区间套定理的应用，比如证明闭区间上的连续函数有界、单调有界定理等，通过构造满足题意的闭区间列，在应用区间套定理证明存在满足题意的点.从实际例题中还可以看出区间套定理反映了实数的稠密性，

5、所以区间套定理在证明与实数相关命题时发挥着重要的作用.1 区间套定理在上的推广区间套定理是一个基本的定理，在把该定理推广前先回顾一下闭区间套定理的内容.定义设是中的闭区间列，如果满足:（1）;（2）;则称为中的一个闭区间套，或简称区间套.定理（闭区间套定理）若是一个闭区间套，则存在惟一一点，使得,且.推论若是区间套确定的点,则对任意正数,存在自然数,当时,总有.定义 (严格开区间套定理)设是中的开区间列,如果满足:(1);(2);则称为中的一个严格开区间套.定理 (严格开区间套定理)若是中的一个严格开区间套，则存在惟一一点，使得,且 .证明 由定义条件(1),是一个严格递增且有上界的数列.由单

6、调有界定理,有极限,不妨设,且. 同理严格递减有下界数列条件(2)应有,且 .从而存在.,使得,那么有.在上述不等式两边取极限,有.即.故原命题成立.定义设是中的半闭半开区间列,如果满足:(1);(2);则称为中的一个严格半闭半开区间套. 定理(严格半闭半开区间套定理)如果是中的半闭半开区间套, 则存在惟一一点，使得,且 .仿定理的证明即可.2 区间套定理在一般度量空间上的推广完备度量空间具有正定性、对称性、三角不等式性和完备性.具体到序列,指的是该序列除了满足一般度量空间的要求,还应在度量空间上收敛.这样闭区间套定理就可以在一般度量空间上进行推广.定义设是一个非空集合,在上定义一个双变量的是

7、指函数,对任意的,有:(1)(正定性),并且当且仅当成立;(2)(对称性);(3)(三角不等式);则称为一个度量空间.定义设是度量空间中的一个子集,对于中的任意点列,若当,有,则称为闭集.定义设是一度量空间,中的一个序列,若对任意的实数,存在整数,使得时,有,则称为一个柯西序列.定义如果对度量空间中的的每一个柯西序列都收敛,则称是一个完备度量空间.定理设是完备度量空间上的闭集列，如果满足：(1);(2);则在中存在惟一一点,使得.证明任意中的点列,当时,有,所以.即对任意给定的实数,存在整数,使得时,有,所以是闭集列,故收敛于一点,且有,使得,.则由定义条件(3)有,从而. 故在中存在惟一一点

8、,使得.3 区间套定理在上的推广进一步还可以将区间套定理在常用度量空间-实数空间上推广.为此,先给出一个有用的概念.定义对于任意的,令,则称为上的距离. 下面验证对于如上定义的能做成完备的度量空间. 求证 对于任意的,且,则能做成完备的度量空间. 证明对于任意. (1),并且当且仅当,即. (2). (3)另和由施瓦兹不等式得到.则, 即. 所以满足度量的定义,又是完备的,故是完备的度量空间.于是根据前面的论述,可以得到实数空间的闭集套定理:定理设是上的闭集列,如果: (1): (2);则在中存在惟一一点,使得.4 区间套定理的应用举例区间套定理证明命题的基本思路是分划区间构成闭区间套,从而找

9、到属于每个区间的公共点.证明中区间套的构造方法主要有以下两点:(1)已知特殊点的存在区间时,利用两分法构造区间套,进而套出所求的特殊点.(2)首先依据不等式确定特殊点的存在区间,再利用区间的收缩,套出所求的特殊点.下面举几个例子说明这一思路.例1证明:闭区间上连续函数必有界.证明 假设在上无界,则等分,即,至少有一个子区间上无界,不妨设为,将等分,则存在子区间,使得在上无界.依次类推,不断等分区间,则得到无穷闭区间列:(1);(2);(3)在上无界,由(1)、(2),根据区间套定理,惟一,使得.而由(3),使,从而得到一点列及函数列,且,由数列极限与连续函数极限的关系应有这与矛盾.故假设不成立

10、,从而命题得证.例2证明一致连续性定理:在闭区间上连续的函数,在上一致连续证明 我们只须证明:对,可将分成有限个小段,使在每一小段上任意两点函数值之差都小于.用反证法.假设上述不成立,即对某个,不能按上述要求分成有限个小段.将等分为二:,则二者之中必有一个不能按上述要求分成有限个小段,记为.再将等分为二:,根据同样办法,取其一,记为.如此继续下去,得到闭区间套,由区间套定理,存在.在连续,于是,与时,.注意到,我们可取充分大的,使得,从而对都有,因此,成立:.这表明在上任两点函数值之差小于了,与区间的定义相违,故命题成立.例3证明实数集是不可列集证明可列,即.先取区间,使,然后将三等分,则三等

11、分的小区间中至少有一个不含,将其记为,又将三等分,同样必有一个小区间不含,将其记为;如此继续下去,我们得到一个闭区间套,满足.由闭区间套定理,存在惟一实数,而,这与集合表示实数集的全体实数产生矛盾,命题得证例4证明:设为数列,若对任意的,存在,使得时,有 ,则数列收敛.(数列柯西收敛准则的充分条件)分析 由已知条件可得存在,当时,有,即在区间内含有中几乎所有项,由极限定义可知数列收敛点必在其内部.此时只需利用区间套定理证明该点的存在性.证明 由假设,当时,有,即在区间内含有中几乎所有项.令,则存在,在区间内含有中几乎所有项；令,则存在,在区间在区间内含有中几乎所有项；依次令,则得到区间列,满足

12、:其中每个区间都含有中几乎所有项;,显然构成闭区间套,存在,且对任意的,存在,使得,有由极限定义内含有中几乎所有项,即.命题得证.参考文献1毛一波.闭区间套定理的推广J.渝西学院学报,2005,14(2):26-27.2李宗铎,陈娓.再谈闭区间套定理的推广及应用J.长沙大学学报,2000,14(4):4-5.3熊金城.点集拓扑讲义M.北京:高等教育出版社,2003,第3版.4朱骏恭.关于闭区间套J.遵义师范学院学报.2002,4(1):72-73.5常进林,王林.闭区间套定理的推广及应用J.石家庄职业技术学院学报,2003,15(6):16-17.6华东师范大学数学系编.数学分析M.北京:高等教育出版社,1991,第2版.7钱吉林.数学分析题解精粹M.武汉:崇文书局,2003.8陈传璋.数学分析M.北京:高等