充分条件与必要条件-点拨

1、.学科：数学教学内容：充分条件与必要条件【基础知识精讲】1.对充要条件的理解对于命题“若p则q”，即p是条件，q为结论.(1)如果已知pq，我们就说p是q的充分条件，q是p的必要条件.例如，“若x=y,x2=y2”是一个真命题，可写成x=yx2=y2“x=y”是“x2=y2”的充分条件，“x2=y2”是“x=y”的必要条件.(2)如果既有pq，又有qp，就记作pq.这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件.例如，命题p：x+2是无理数， 命题q：x是无理数.由于“x+2是无理数”“x是无理数”，所以p是q的充要条件.2.从逻辑推理关系上看充分条件、

2、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题的条件p和结论q之间的下列关系：若pq，但qp，则p是q的充分但不必要条件；若qp，但pq，则p是q的必要但不充分条件；若pq，且qp，则p是q的充要条件；若pq，且pq，则p是q的充要条件；若pp，且qp，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.3.从集合与集合之间关系上看若条件p以集合A的形式出现，结论q以集合B的形式出现，则若AB，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的充要条件；若AB，且AB，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.从集合的观点来判断充要条件的思考方法，可以进一步加深对充要条件的理

3、解.4.应用充分条件，必要条件，充要条件时须注意的问题.(1)充分而不必要条件，必要而不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件，反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，要注意以下几点：确定条件是什么，结论是什么；尝试从条件推结论，结论推条件；确立条件是结论的什么条件；要证明命题的条件是主要的，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立，证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性.(2)对于充要条件，要熟悉它的同义词语.在解题时常常遇到与充要条件同义的词语，如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“反过来也成立”.准确地理解和使用数学语言，对理解和把握数学

4、知识是十分重要的.【重点难点解析】本小节重点是充分条件、必要条件、充要条件的概念及命题真假的判断.难点是对“若p则q”命题中，p是q(或q是p)的什么条件的判断问题.首先要注意“条件”和“结论”是可以相互转化的.也就是说“pq”中p和q都可认为是条件(或结论)，只不过一个是条件则另一个就可认为是结论.其次，充分条件和必要条件是同时定义的，亦即对“pq”而言，p是q的充分条件，同时q是p的必要条件.例1 请在下列各题中选出(A)充分不必要条件，(B)必要不充分条件，(C)充分必要条件，(D)既不充分也不必要条件四个选项中最恰当的一项填空：(1)p(x-1)(x+2)=0是qx=-2的 .(2)p

5、x5是qx3的 .(3)p0x5是qx-23的 .(4)px2是qx2的 .解：(1)p=x(x-1)(x+2)=0q=xx=-2，即qp，填B.(2)p=xx5q=xx3，填A.(3)p=x0<x5q=xx-23，填A.(4)p=xx2q=xx2，填B.评析 对于涉及范围问题的充要条件的判断，可利用集合观点：pq时，称p是q的充分不必要条件.可用“小范围推出大范围”帮助记忆.例2 是的什么条件?并说明理由.解： 但反之却不一定成立.例如取=1,=5,显然满足但不满足所以是的必要但不充分条件.评析 此例中由于但不能推出所以根据箭头推出方向可知是的必要但不充分条件.例3 已知px2-8x-

6、200，qx2-2x+1-a20.若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围.分析 利用数轴观察，能找到解题途径.解：pA=xx-2，或x10， qB=xx1-a，或x1+a，a0如图，依题意，pq，但q不能推出p，说明AB，则有 解得0a3.实数a的取值范围是0a3.例4 设A=x-2xa，B=yy=2x+3,xA，M=ZZ=x2,xA.求使MB的充要条件是什么?解：A=x-2xa,M=ZZ=x2,xA.B=yy=2x+3,xA=y-1y2a+3.当-2a0时，M=Za2Z4.当0a2时，M=Z0Z4.当a2时，M=Z0Za2.当-2a2时，MB42a+3，即a2；当a2时，MBa22

7、a+3，即2a3.综上可知，所求的充要条件为a3.【难解巧解点拨】例1 已知条件pab0,a+b=1；条件qab0,a3+b3+ab-a2-b2=0.求证：p是q的充分必要条件.证明：先证充分性成立：ab0,a+b=1,即b=1-a,a3+b3+ab-a2-b2a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a20再证必要性成立：ab0，a0且b0.a3+b3+ab-a2-b2=0，即 (a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0， (a2-ab+b2)(a+b-1)=0. a2-ab+b20， a+b=1.由、知，p是q

8、的充分必要条件.评析 注意，证明充分必要条件，实际上需要证明原命题和逆命题都成立.它亦等价于证明：(1)原命题和否命题都成立；(2)逆否命题和逆命题都成立；(3)逆否命题和否命题都成立.这种等价转换的思想，就能使思路更广阔，方法更灵活，复杂问题简单化.例2 选择题已知条件px+y-2,qx,y不都是-1.则p是q的( ).A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析 由四种命题中，原命题逆否命题，逆命题否命题，可知判断p能否推出q，等价于判断q能否推出p；判断q能否推出p，等价于判断q能否推出p.解：px+y-2,qx-1或y1.px+y-2,qx-1且y

9、1.qp,但pq.p是q的充分而不必要条件，选A.评析 注意，pq，要给以证明；而pq，只需举一反例说明.在上例中，要证明或者说明p与q的关系比较困难和抽象，而证明qp很容易：由x=-1且y=-1，即有x+y=-2；说明pq也很容易：设x=-5，y=3，有x+y=-2，但x-1，y-1.这种等价转换换的思想也是一种重要的数学思想方法，它几乎贯穿在整个数学学习过程中，要注意掌握好它，并逐步灵活运用它创造性地解决一些数学问题.例3 判断下列各题中条件是结论的什么条件：(1)条件Aax2+ax+10的解集为R，结论B0a4；(2)条件pAB，结论qAB=B.错误分析：此类题的易错点是在用定义判断时，

10、忽略了无论是AB，还是BA均要认真考虑是否有反例，这一点往往是判断充分性和必要性的关键，也是难点.如(1)题中，往往根据二次不等式的解去考虑此题，而忽略了a=0时原不等式变为10这一绝对不等式的情况.在(2)题中同样容易忽略A=B这一特殊情况.解：(1)=a2-4a0，即0a4当0a4时，ax2+ax+10恒成立.故BA.而当a=0时，ax2+ax+10恒成立，AB.故A为B的必要不充分条件.(2)ABAB=B，而当A=B时，AB=B，即qp，p为q的充分不必要条件.【课本难题解答】课本复习参考题B组第6题提示：当a=0时，原方程变形为一元一次方程2x+1=0，有一个负根x=-当a0时，原方程

11、为一元一次方程，有实根的充要条件是=4-4a0即a1设方程ax2+2x+1=0(a0)的根是x1x2，由x1+x2=-,x1x2=.可知方程ax2+2x+1=0(a0)有一个负的实数根的充要条件是a10 即a0方程ax2+2x+1=0(a0)有两个负的实数根的充要条件是a1-0 即0a10综上所述，ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根a1评析 本题也可以用排除法求解.【命题趋势分析】主要考查：在理解并掌握四种命题及其关系的基础上，会用反证法证明.平时要求：1.初步掌握四种命题及其关系2.掌握反证法【典型热点考题】例1 选择题设全集S=(x,y)x、yR，M=(x,y)=1，N=(x,y)y

12、x+1，那么Cs(MN)等于( ).A.B.（2,3）C.(2,3)D.(x,y)y=x+1分析 本题考查集合的概念与运算，以及分式性质与一次函数的图像.解：集合N表示整个直角坐标系中去掉直线y=x+1后的所有点.由=1，得y=x+1(x2).集合M表示直线y=x+1，去掉点(2，3).集合MN表示直角坐标平面上所有点，但去掉点(2，3).Cs(MN)表示仅含点(2，3)的单元素集合（2,3）.应选B.例2 选择题设甲、乙、丙是三个条件，如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件.那么( )A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲

13、的充要条件D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析 本题考查充分条件与必要条件的概念.解：依题意，画出图.不难看出，丙甲，但甲丙.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件，应选A.例3 (1998年江西)已知p2-,qx2+x-30.求p是q的什么条件.分析 本题考查含有绝对值的不等式、一元二次不等式的解法，考查充分条件和必要条件的概念.解：p、q可转化为pxx，或x，qx-6x.pA=xx， qB=xx-6或x.观察图知，AB.p是q的充分但不必要条件.评析 用集合的观点研究充分条件和必要条件有时的确很方便.例4 设命题甲为“0x5”，命题乙为“x-23”.那么( )A.甲是乙的充分条件，

14、但不是乙的必要条件B.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件分析与解：不等式x-23的解是-1x5，显然，当x满足0x5时一定满足-1x5.而反之不然.如x=-0.5满足-1x5，但不满足0x5，即甲乙，乙甲.故甲是乙成立的充分不必要条件.应选A【同步达纲练习】一、选择题1.“AB=A”是A=B的( ).A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.下列判断正确的是( ).A.(x+1)(x-2)=0是x=-1的充分条件B.x24是x22的必要条件C.x+11是-2x0的充要条件D.(a-2)2+

15、(b+3)2=0是(a-2)(b+3)=0的必要条件3.若条件px+12；条件qx25x-6.则p是q的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知A是B的必要条件，B是C的充分条件，则A是C的( )A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无法判断5.“0x5”是“x-23”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.“xy0”是“x+y=x+y”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件二、填空题(从“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既

16、不充分也不必要条件”中选出适当的一种填空)1.复合命题“非p”为假命题是复合命题“p或q”为真命题的 .2.k4,b5是一次函数y=(k-4)x+b-5的图像交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的.3.是的.三、解答题1.分别举出四个例子，说明p是q的“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”，并说明理由.2.已知全集R，A=xx-36，B=xxa,aN+.当a为何值时.A是B的充分而不必要条件；A是B的必要而不充分条件；A是B的充要条件.3.求关于x的一元二次不等式ax2-ax+10对一切xR都成立的充要条件是什么.4.已知pxZ，yZ，m=x2-y2； q

17、kZ,m=2K+1,或m=4k.求证：p是q的充分条件.【素质优化训练】1.设关于x的一元二次不等式mx2-mx+10对一切实数均成立，求a的取值范围.2.是否存在实数p，使“4x+p0”是“x2-x-20”的充分条件?如果存在，求出p的取值范围.是否存在实数p，使“4x+p0”是“x2-x-20”的必要条件.如果存在，求出p的取值范围.【生活实际运用】在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；参考答案：【同步达纲练习】一、1.B