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文档简介

1、习题9.31. 化三重积分为三次积分，其中积分区域分别为：（1） 由双曲抛物面及平面所围成的闭区域。解：（2） 由曲面及平面所围成的闭区域。解：（3） 由曲面及所围成的闭区域。解：（4） 由曲面所围成的在第一卦限内的闭区域。解：2. 计算下列三重积分：（1），其中为两个球：和的公共部分。解：由得所以（2），其中为由球面所围成的闭区域。解：由于关于面对称，被积函数关于为奇函数，所以（3），其中为由平面上曲线绕轴旋转而成的曲面与平面所围成的闭区域。解：旋转面方程为。易得在面上的投影区域，所以（4），其中为所围。解：(5)，其中为由所围成的闭区域。解：（6），其中为由所围成的闭区域。解：(7)，其中

2、为所围成的闭区域。解：(8)，其中为所围成的闭区域。解：(9)，其中为由所围成的闭区域为常数）。解：由轮换对称性，（10）解：（11）解：(12)解：由轮换对称性，(13)由曲面所围成。解：（14）解：由解得所以（15）解：（16）其中由和围成。解：（17）其中由和围成。解：（18）解：（19）其中由围成。解：（20）解：（21）其中由围成。解：（22）解：（23）解：（24）解：（25）解：做变换则(26)解：做变换则3. 设函数连续且恒大于零，其中(1) 讨论在区间内的单调性；(2) 证明：当时，（1） 解：，所以在区间内单调上升。（2）令，则。当时，所以此等价于4.设有一物体，占有空间闭

3、区域，在点处的密度为计算该物体的质量。解：的被积函数是三个函数的乘积，即，积分区域，证明：此三重积分等于三个一元积分的乘积，即证明：，其中为平面所围成的四面体。解：，其中为由平面以及抛物柱面所围成的闭区域。解：因为积分区域关于平面对称，被积函数关于是奇函数，所以其中为由锥面与平面所围成的闭区域。解：9.利用球面坐标计算下列三重积分：（1）其中为由球面所围成的闭区域；解：(2)其中闭区域由不等式所确定；解：10.选用适当的坐标计算下列三重积分：（1）其中为柱面及平面所围成的在第一卦限内的闭区域；解：（2）其中为由曲面及平面所围成的闭区域；解：的体积：（1）解：（2）解：由可得。所以（3）由曲面所围成（图9.33，本图仅画出第一卦限部分）。解：12.利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积：（1）及解：由解得所以（2）及（含有轴的部分）；解：由解得所以（3）及；解：由解得所以（4）及；解：由解得所以（5）解：（6）解：(7)求由曲面将球分成两部分之体积比。解：由解得。所以上部体积为下部体积为所以上下之比为位于锥面和之间的部分的体积。解：14.求上、下分别为球面和抛物面所围立体的体积。解：由解得。所以15.球心在原点、半径为的球体，在其上任意一点

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