中考数学专题复习九中考压轴题

1、【问题解析】中考压轴题是中考必不可少的试题，这类题一般是融代数、几何为一体的综合题，或者是解决实际问题的综合题此类题注重对数学思想方法、探究性思维能力和创新思维能力的考查，涉及的知识比较多，信息量大，题目灵活，要求学生有较高的分析问题、解决问题的能力它符合新课标对学生能力提高的要求从近几年各省市中考数学压轴题来看，作为试卷的最后一题，一般都是循序渐进地设置几个问题，对学生的要求一步步的抬高压轴题涉及知识多，覆盖面广，综合性强，难度系数大，关系比较复杂，解法灵活，既考查了学生的基础知识和基本技能，又考查了学生的数学思想方法和探索创新能力、解决问题能力，是必不可少的近几年来主要以函数和几何综合题、

2、二次函数与代数知识综合应用、一次函数与二次函数综合题、开放探究题等类型出现，【热点探究】类型一：抛物线与三角形的综合问题【例题1】（2016云南省昆明市）如图1，对称轴为直线x=的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使MQC为等腰三角形且MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析

3、式；（2）作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可；（3）画出符合条件的Q点，只有一种，利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；在直角OCQ和直角CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍【解答】解：（1）由对称性得：A（1，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x2），把C（0，4）代入：4=2a，a=2，y=2（x+1）（x2），抛物线的解析式为：y=2x2+2x+4；（2）如图1，设点P（m，2m2+2m+4），过P作PDx轴，垂足为D，S=S梯形+SPDB=m（2m2+2m+4+4）+（2m2+2m

4、+4）（2m），S=2m2+4m+4=2（m1）2+6，20，S有最大值，则S大=6；（3）如图2，存在这样的点Q，使MQC为等腰三角形且MQB为直角三角形，理由是：设直线BC的解析式为：y=kx+b，把B（2，0）、C（0，4）代入得：，解得：，直线BC的解析式为：y=2x+4，设M（a，2a+4），过A作AEBC，垂足为E，则AE的解析式为：y=x+，则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2），设Q（x，0）（x0），AEQM，ABEQBM，由勾股定理得：x2+42=2a2+（2a+44）2，由得：a1=4（舍），a2=，当a=时，x=，Q（，0）【同步练】（2016浙江省湖州市）如图

5、，已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作ABx轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC的内部（不包括ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）类型二：抛物线与四边形的综合问题【例题2】2016青海西宁12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的M

6、的内接四边形，点A，B在x轴上，MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交M于点E，垂足为点M，且点D平分（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标，再利用顶点式求出函数解析式；（2）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出AMD=CMD=AMC=60，进而得出DC=CM=MA=AD，即可得出答案；（3）首先表示出ABP的面积进而求出n的值，再代入函数关系式求出

7、P点坐标【解答】（1）解：由题意可知，MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在M上，则MA=MB=MC=ME=2，又COMB，MO=BO=1，A（3，0），B（1，0），E（1，2），抛物线顶点E的坐标为（1，2），设函数解析式为y=a（x+1）22（a0）把点B（1，0）代入y=a（x+1）22，解得：a=，故二次函数解析式为：y=（x+1）22；（2）证明：连接DM，MBC为等边三角形，CMB=60，AMC=120，点D平分弧AC，AMD=CMD=AMC=60，MD=MC=MA，MCD，MDA是等边三角形，DC=CM=MA=AD，四边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；（3）解

8、：存在理由如下：设点P的坐标为（m，n）SABP=AB|n|，AB=44|n|=5，即2|n|=5，解得：n=，当时，（m+1）22=，解此方程得：m1=2，m2=4即点P的坐标为（2，），（4，），当n=时，（m+1）22=，此方程无解，故所求点P坐标为（2，），（4，）【同步练】（2016四川眉山）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）

9、若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PMAM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PMAM|的最大值类型三：抛物线与图形变换的综合问题【例题3】（2016陕西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）把M、N两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的

10、判别式，可判断抛物线与x轴的交点情况；（2）利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程【解答】解：（1）由抛物线过M、N两点，把M、N坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x23x+5，令y=0可得x23x+5=0，该方程的判别式为=（3）2415=920=110，抛物线与x轴没有交点；（2）AOB是等腰直角三角形，A（2，0），点B在y轴上，B点坐标为（0，2）或（0，2），可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n，当抛物线过点A（2，0），B（0，

11、2）时，代入可得，解得，平移后的抛物线为y=x2+3x+2，该抛物线的顶点坐标为（，），而原抛物线顶点坐标为（，），将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；当抛物线过A（2，0），B（0，2）时，代入可得，解得，平移后的抛物线为y=x2+x2，该抛物线的顶点坐标为（，），而原抛物线顶点坐标为（，），将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线【同步练】（2016重庆市A卷12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E（1）判断ABC的形状，并说明理

12、由；（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E，点A的对应点为点A，将AOC绕点O顺时针旋转至A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A，C1E，AC1E是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点

13、E的坐标；若不能，请说明理由类型四：抛物线下的动态最值问题【例题4】（2016贵州安顺14分）如图，抛物线经过A（1，0），B（5，0），C（0，）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），再把A（1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于

14、点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），A（1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，解得抛物线的解析式为：y=x22x；（2）抛物线的解析式为：y=x22x，其对称轴为直线x=2，连接BC，如图1所示，B（5，0），C（0，），设直线BC的解析式为y=kx+b（k0），解得，直线BC的解析式为y=x，当x=2时，y=1=，P（2，）；（3）存在如图2所示，当点N在x轴下方时，抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，），N1（4，）；当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2Dx轴于点D，在AN2D

15、与M2CO中，AN2DM2CO（ASA），N2D=OC=，即N2点的纵坐标为x22x=，解得x=2+或x=2，N2（2+，），N3（2，）综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，），（2+，）或（2，）【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论【同步练】（烟台市 2015 中考 -24）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为（1，0），（0，2），点D在x轴上且AD为M的直径点E是M与y轴的另一个交点，过劣弧（1）

16、求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由类型五：抛物线下的动态存在问题【例题5】（枣庄市 2015 中考 -25）如图，直线y=x+2与抛物线（a0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求PAC为直角三角形时点P的坐标思路分析：此题主

17、要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识解题时注意联系，对于题（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，很容易求得m的值，又因为已知抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值对于题（3）当PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，需要结合图形从三种情况进行分类讨论，分别求解解题过程：解：（1）

18、B（4，m）在直线y=x+2上，m=4+2=6，B（4，6），A（，）、B（4，6）在抛物线上，解得，抛物线的解析式为（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（，），PC=（+2）（），=，=，PC0，当n=时，线段PC最大且为（3）PAC为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则APC=90由题意易知，PCy轴，APC=45，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则PAC=90如答图31，过点A（，）作ANx轴于点N，则ON=，AN=过点A作AM直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，AMN为等腰直角三角形，MN=AN=，OM=ON+MN=+=3，M（3，0）设直线AM的解析式为

19、：y=kx+b，则：，解得，直线AM的解析式为：y=x+3 又抛物线的解析式为：y=2x28x+6 联立式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）C（3，0），即点C、M点重合当x=3时，y=x+2=5，P1（3，5）；iii）若点C为直角顶点，则ACP=90y=2x28x+6=2（x2）22，抛物线的对称轴为直线x=2如答图32，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（，）当x=时，y=x+2=P2（，）点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，综上所述，PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）规律总结：熟练把握关于二次函数解析式的确定、二次函数最值的应

20、用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识是解此类综合性强的问题的关键【同步练】（2016内蒙古包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx2（a0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（xh）2+k的形式；（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求FHB的面积；（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t0），在点M的运动过程中，当t为何值时，OMB=90

21、？（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由类型六：抛物线与相似的综合问题【例题6】（烟台市 2014 中考 -26）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，ACB=90，OA=，抛物线y=ax2axa经过点B（2，），与y轴交于点D（1）求抛物线的表达式；（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明EDAC的理由【解析】（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得（2）通过AOCCFB求得OC的值，通过OCDFCB得出DC=CB，OC

22、D=FCB，然后得出结论（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果【解答】解：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式，得=a222aa，解得a=，抛物线的表达式为y=x2x（2）连接CD，过点B作BFx轴于点F，则BCF+CBF=90ACB=90，ACO+BCF=90，ACO=CBF，AOC=CFB=90，AOCCFB，=，设OC=m，则CF=2m，则有=，解得m1=m2=1，OC=CF=1，当x=0时，y=，OD=，BF=OD，DOC=BFC=90，OCDFCB，DC=CB，OCD=FCB，点B、C、D在同一直线上，点B与点D关于直线AC对称

23、，点B关于直线AC的对称点在抛物线上（3）过点E作EGy轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则，解得k=，y=x+，代入抛物线的表达式x+=x2x解得x=2或x=2，当x=2时y=x+=（2）+=，点E的坐标为（2，），tanEDG=，EDG=30tanOAC=，OAC=30，OAC=EDG，EDAC【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性质和解三角函数等知识的理解和掌握【同步练】（2016湖北荆门14分）如图，直线y=x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/

24、秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F（1）求点A，点B的坐标；（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断AFG与AGB是否相似，并说明理由（4）是否存在t的值，使AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由【达标检测】1. （2016湖北黄石8分）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游

25、客较少可忽略不计（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入请问馆外游客最多等待多少分钟？2. （2016广西百色12分）正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点（1）建立适当的平面直角坐标系，直接写出O、P、A三点坐标；求抛物线L的解析式；（2）求OAE与OCE面积之和的最大值3. （2016广西桂林12分）如图1，已知开口向下的抛物线

26、y1=ax22ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E（1）直接写出点A，C，D的坐标；（2）当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线lx轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系4. （2016黑龙江齐齐哈尔8分）如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，

27、与y轴交于点C，且点A的坐标为（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B、C两点的坐标；（3）求过O，B，C三点的圆的面积（结果用含的代数式表示）注：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（，）5. （枣庄市 2014 中考 -25）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x22x3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）（1）求OBC的度数；（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且SOCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；（3）过点P作PFx轴交BC于点F，求线段PF长度

28、的最大值6. （郴州市 2014 中考 -26）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由7. （2016湖北荆州14分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”例如，

29、点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=x+4问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将OAP沿着OP折叠，点A落在点A的位置，当点A在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？8. （2016福建龙岩14分）已知抛物线与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（4，0），B（1，0）（

30、1）求抛物线的解析式；（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；（4）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由【参考答案】类型一：抛物线与三角形的综合问题【同步练】（2016浙江省湖州市）如图，已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作ABx轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m0）个单位，使平

31、移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC的内部（不包括ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）【考点】二次函数综合题【分析】（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标；（2）点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的，可先求出直线AC的解析式，将x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；（3）由题意分析可得MCP=90，则若PCM与BCD相似，则要进行分类讨论，分成PCMBDC或PCMCDB两种，然后利

32、用边的对应比值求出点坐标【解答】解：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=x2+bx+c得，解得二次函数解析式为y=x2+2x+4，配方得y=（x1）2+5，点M的坐标为（1，5）；（2）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得，解得直线AC的解析式为y=x+4，如图所示，对称轴直线x=1与ABC两边分别交于点E、点F把x=1代入直线AC解析式y=x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1）15m3，解得2m4；（3）连接MC，作MGy轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5）MG=1，GC=54=1MC=，把y=5代入y=x+4

33、解得x=1，则点N坐标为（1，5），NG=GC，GM=GC，NCG=GCM=45，NCM=90，由此可知，若点P在AC上，则MCP=90，则点D与点C必为相似三角形对应点若有PCMBDC，则有BD=1，CD=3，CP=，CD=DA=3，DCA=45，若点P在y轴右侧，作PHy轴，PCH=45，CP=PH=把x=代入y=x+4，解得y=，P1（）；同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=代入y=x+4，解得y=P2（）；若有PCMCDB，则有CP=3PH=3=3，若点P在y轴右侧，把x=3代入y=x+4，解得y=1；若点P在y轴左侧，把x=3代入y=x+4，解得y=7P3（3，1）；P4（3，7）所

34、有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（），P2（），P3（3，1），P4（3，7）类型二：抛物线与四边形的综合问题【同步练】（2016四川眉山）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PMAM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PMAM|的最大值【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2

35、+bx+c，把A，B，C三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出所求抛物线解析式；（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：根据OA，OB，OC的长，利用勾股定理求出BC与AC的长相等，只有当BP与AC平行且相等时，四边形ACBP为菱形，可得出BP的长，由OB的长确定出P的纵坐标，确定出P坐标，当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；（3）利用待定系数法确定出直线PA解析式，当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PMAM|PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PMAM|=PA，

36、当点M与点P、A在同一直线上时，|PMAM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，联立直线AP与抛物线解析式，求出当|PMAM|的最大值时M坐标，确定出|PMAM|的最大值即可【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，A（1，0）、B（0，3）、C（4，0），解得：a=，b=，c=3，经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=x2x+3；（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：OB=3，OC=4，OA=1，BC=AC=5，当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，点P的坐标为

37、（5，3），当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形；（3）设直线PA的解析式为y=kx+b（k0），A（1，0），P（5，3），解得：k=，b=，直线PA的解析式为y=x，当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PMAM|PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PMAM|=PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PMAM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，解方程组，得或，点M的坐标为（1，0）或（5，）时，|PMAM|的值最大，此时|PMAM|的最大值为5【

38、点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键类型三：抛物线与图形变换的综合问题【同步练】（2016重庆市A卷12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E（1）判断ABC的形状，并说明理由；（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到

39、y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E，点A的对应点为点A，将AOC绕点O顺时针旋转至A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A，C1E，AC1E是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E的坐标；若不能，请说明理由【分析】（1）先求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标，再用勾股定理的逆定理判断出ABC是直角三角形；（2）先求出SPCD最大时，点P（，），然后判断出所走的路径最短，即最短路径的长

40、为PM+MN+NA的长，计算即可；（3）AC1E是等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可【解答】解：（1）ABC为直角三角形，当y=0时，即x2+x+3=0，x1=，x2=3A（，0），B（3，0），OA=，OB=3，当x=0时，y=3，C（0，3），OC=3，根据勾股定理得，AC2=OB2+OC2=12，BC2=OB2+OC2=36，AC2+BC2=48，AB2=3（）2=48，AC2+BC2=AB2，ABC是直角三角形，（2）如图，B（3，0），C（0，3），直线BC解析式为y=x+3，过点P作y轴，设P（a， a2+a+3），G（a， a+3），PG=a2+a，设点D的横坐标为xD，

41、C点的横坐标为xC，SPCD=（xDxC）PG=（a）2+，0a3，当a=时，SPCD最大，此时点P（，），将点P向左平移个单位至P，连接AP，交y轴于点N，过点N作MN抛物线对称轴于点M，连接PM，点Q沿PMNA，运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长，P（，）P（，），点A（，0），直线AP的解析式为y=x+，当x=0时，y=，N（0，），过点P作PHx轴于点H，AH=，PH=，AP=，点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN=+=；（3）在RtAOC中，tanOAC=，OAC=60，OA=OA1，OAA1为等边三角形，AOA1=60，BOC1=30，OC1=OC=3，C

42、1（，），点A（，0），E（，4），AE=2，AE=AE=2，直线AE的解析式为y=x+2，设点E（a， a+2），A（a2，2）C1E2=（a2）2+（+2）2=a2a+7，C1A2=（a2）2+（2）2=a2a+49，若C1A=C1E，则C1A2=C1E2即： a2a+7=a2a+49，a=，E（，5），若AC1=AE，AC12=AE2即： a2a+49=28，a1=，a2=，E（，7+），或（，7），若EA=EC1，EA2=EC12即： a2a+7=28，a1=，a2=（舍），E（，3+），即，符合条件的点E（，5），（，7+），或（，7），（，3+）【点评】此题是二次函数综合题，主要考

43、查了函数极值的确定方法，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是分类讨论，也是解本题的难点类型四：抛物线下的动态最值问题【同步练】（烟台市 2015 中考 -24）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为（1，0），（0，2），点D在x轴上且AD为M的直径点E是M与y轴的另一个交点，过劣弧（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在

44、，请说明理由【解析】（1）首先根据圆的轴对称性求出点D的坐标，将A、B、D三点代入，即可求出本题的答案；（2）由于点E与点B 关于x轴对称，所以，连接BF，直线BF与x轴的交点，即为点P，据此即可得解；（3）从CM=MQ，CM=CQ，MQ=CQ三个方面进行分析，据此即可得解【解答】解：（1）连接BD，AD是M的直径，ABD=90AOBABD，=，在RtAOB中，AO=1，BO=2，根据勾股定理得：AB=，AD=5，DO=ADAO=51=4，D（4，0），把点A（1，0）、B（0，2）、D（4，0）代入y=ax2+bx+c可得：，解得：，抛物线表达式为：；（2）连接FM，在RtFHM中，FM=，

45、FH=，MH=2，OM=AMOA=1=，OH=OM+MH=+2=，F（，），设直线BF的解析式为y=kx+b，则：，直线BF的解析式为：y=x2，连接BF交x轴于点P，点E与点B关于x轴对称，点P即为所求，当y=0时，x=2，P（2，0）；（3）如图，CM=抛物线的对称轴为直线x=，OM=，点M在直线x=上，根据圆的对称性可知，点C与点B关于直线x=对称，点C（3，2），当CM=MQ=时，点Q可能在x轴上方，也可能在x轴下方，Q1（，），Q2（，），当CM=CQ时，过点C作CNMQ，MN=NQ=2，MQ=4，Q3（，4），当CQ4=MQ4时，过点C作CRMQ，Q4VCM，则：MV=CV=，Q4

46、V=，RtCRMRtQ4VM，解得：MQ4=，Q4（，）综上可知，存在四个点，即：Q1（，），Q2（，），Q3（，4），Q4（，）【点评】本题主要考查了二次函数的抛物线的解析式的求法，以及根据对称求线段的最小值的问题，还考查了等腰三角形的知识和相似三角形的知识，是一道综合性很强的题目，注意认真总结类型五：抛物线下的动态存在问题【同步练】（2016内蒙古包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx2（a0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化

47、为y=a（xh）2+k的形式；（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求FHB的面积；（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t0），在点M的运动过程中，当t为何值时，OMB=90？（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先求出GH，点F的坐标，用三角形的面积公式计算即可；（3）设出点M，用勾股定理求出点M的坐标，从而求出MD，最后求出时间t；（4）由PBF被BA平分，确定出过点B的

48、直线BN的解析式，求出此直线和抛物线的交点即可【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx2（a0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，抛物线解析式为y=x2+x2=（x2）2+；（2）如图1，过点A作AHy轴交BC于H，BE于G，由（1）有，C（0，2），B（0，3），直线BC解析式为y=x2，H（1，y）在直线BC上，y=，H（1，），B（3，0），E（0，1），直线BE解析式为y=x1，G（1，），GH=，直线BE：y=x1与抛物线y=x2+x2相较于F，B，F（，），SFHB=GH|xGxF|+GH|xBxG|=GH|xBxF|=（3）=（3）如图2，由（1）有y=x2+x2，D为抛

49、物线的顶点，D（2，），一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，设M（2，m），（m），OM2=m2+4，BM2=m2+1，AB2=9，OMB=90，OM2+BM2=AB2，m2+4+m2+1=9，m=或m=（舍），M（0，），MD=，一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，t=；（4）存在点P，使PBF被BA平分，如图3，PBO=EBO，E（0，1），在y轴上取一点N（0，1），B（3，0），直线BN的解析式为y=x+1，点P在抛物线y=x2+x2上，联立得，或（舍），P（，），即：在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得PBF被BA平分，P（

50、，）类型六：抛物线与相似的综合问题【同步练】（2016湖北荆门14分）如图，直线y=x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F（1）求点A，点B的坐标；（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断AFG与AGB是否相似，并说明理由（4）是否存在t的值，使AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由【考点】二次

51、函数综合题【分析】（1）在直线y=x+2中，分别令y=0和x=0，容易求得A、B两点坐标；（2）由OA、OB的长可求得ABO=30，用t可表示出BE，EF，和BF的长，由勾股定理可求得AB的长，从而可用t表示出AF的长；（3）利用菱形的性质可求得t的值，则可求得AF=AG的长，可得到=，可判定AFG与AGB相似；（4）若AGF为直角三角形时，由条件可知只能是FAG=90，又AFG=OAF=60，由（2）可知AF=42t，EF=t，又由二次函数的对称性可得到EG=2OA=4，从而可求出FG，在RtAGF中，可得到关于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式

52、【解答】解：（1）在直线y=x+2中，令y=0可得0=x+2，解得x=2，令x=0可得y=2，A为（2，0），B为（0，2）；（2）由（1）可知OA=2，OB=2，tanABO=，ABO=30，运动时间为t秒，BE=t，EFx轴，在RtBEF中，EF=BEtanABO=BE=t，BF=2EF=2t，在RtABO中，OA=2，OB=2，AB=4，AF=42t；（3）相似理由如下：当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，即t=42t，解得t=，AF=42t=4=，OE=OBBE=2=，如图，过G作GHx轴，交x轴于点H，则四边形OEGH为矩形，GH=OE=，又EGx轴，抛物线的顶点为A，OA=AH=2，在RtAGH中，由勾股定理可得AG2=G