202X202X学年高中数学第二章平面向量2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示2.1.3相等向量与共线向量课件新人教A版必修4

1、第二章平面向量第二章平面向量 平面向量的实际背景及根本概念平面向量的实际背景及根本概念2.1.12.1.1向量的物理背景与概念向量的物理背景与概念2.1.22.1.2向量的几何表示向量的几何表示2.1.32.1.3相等向量与共线向量相等向量与共线向量目标导航目标导航课标要求课标要求1.1.理解向量的有关概念及向量的几何及字母表示理解向量的有关概念及向量的几何及字母表示. .2.2.理解共线向量、相等向量的概念理解共线向量、相等向量的概念. .3.3.正确区分向量平行与直线平行正确区分向量平行与直线平行. .素养达成素养达成1.1.通过对向量的有关概念和向量的几何及字母表示的学习通过对向量的有关

2、概念和向量的几何及字母表示的学习, ,促使学生养成直观想象和数学抽象的核心素养促使学生养成直观想象和数学抽象的核心素养. .2.2.通过对平行向量通过对平行向量( (共线向量共线向量) )、相等向量等概念的理解、相等向量等概念的理解, ,加加强逻辑推理和数学建模素养的提升强逻辑推理和数学建模素养的提升. .新知导学新知导学课堂探究课堂探究1.1.向量与数量向量与数量(1)(1)向量向量: :既有既有 , ,又有又有 的量叫做向量的量叫做向量. .(2)(2)数量数量: :只有只有 , ,没有没有 的量称为数量的量称为数量. .大小大小新知导学新知导学素养养成素养养成方向方向大小大小方向方向起点

3、起点方向方向长度长度起点起点终点终点方向方向有向线段有向线段 大小大小 思考思考1:“1:“向量就是有向线段向量就是有向线段, ,有向线段就是向量这一说法对吗有向线段就是向量这一说法对吗? ?提示提示: :不对不对. .向量只有大小和方向两个元素向量只有大小和方向两个元素, ,与起点无关与起点无关, ,有向线段有有向线段有起点、大小和方向起点、大小和方向. .零零4.4.特殊向量特殊向量零向量零向量长度等于长度等于 的向量的向量, ,记作记作_单位向量单位向量长度等于长度等于 的向量的向量0 01 1个单位个单位思考思考2:2:零向量没有方向吗零向量没有方向吗? ?提示提示: :零向量的方向不

4、确定零向量的方向不确定, ,即方向是任意的即方向是任意的. .一样一样5.5.向量的关系向量的关系(1)(1)相等向量相等向量长度相等、长度相等、(2)(2)平行向量平行向量( (也叫共线向量也叫共线向量) )定义定义长度长度 且方向且方向 的向量的向量表示方法表示方法向量向量a a与与b b相等相等, ,记作记作a a= =b b结论结论有向线段表示同一个向量的条件有向线段表示同一个向量的条件:_:_指向一致指向一致定义定义方向方向 的非零向量的非零向量表示方法表示方法向量向量a a平行于向量平行于向量b b, ,记作记作a ab b规定规定零向量与零向量与 平行平行一样或相反一样或相反任一

5、向量任一向量相等相等名师点津名师点津(1)(1)向量与数量的区别向量与数量的区别向量被赋予了几何意义向量被赋予了几何意义, ,即向量是具有方向的即向量是具有方向的, ,而数量是一个代数量而数量是一个代数量, ,没有方向没有方向. .数量可以比较大小数量可以比较大小, ,而向量无法比较大小而向量无法比较大小, ,如即使如即使|a|b|a|b|也不能说也不能说ab,ab,特殊地特殊地, ,假设向量假设向量a,ba,b是相等向量是相等向量, ,记作记作a=b.a=b.0 0与与0 0不同不同, ,虽然虽然|0|=0,|0|=0,但但0 0是向量是向量, ,而而0 0是数量是数量. .提醒提醒: :初

6、学者要特别注意零向量初学者要特别注意零向量0 0与实数与实数0 0书写的区别书写的区别, ,对向量对向量0,0,书写时书写时不能漏掉不能漏掉“. .(2)(2)对平行向量对平行向量( (共线向量共线向量) )的理解的理解共线向量与平行向量是同一概念的不同名称共线向量与平行向量是同一概念的不同名称, ,其要求是几个非零向量其要求是几个非零向量的方向一样或相反的方向一样或相反, ,并规定零向量与任意向量平行并规定零向量与任意向量平行. .表示共线向量的有表示共线向量的有向线段所在的直线可以平行向线段所在的直线可以平行, ,也可以重合也可以重合, ,所以所以“共线共线“平行的含平行的含义不同于平面几

7、何中义不同于平面几何中“共线共线“平行的含义平行的含义. .共线向量有四种情况共线向量有四种情况: :方向一样且模相等方向一样且模相等, ,方向一样且模不等方向一样且模不等, ,方向相方向相反且模相等反且模相等, ,方向相反且模不等方向相反且模不等. .这样这样, ,也就找到了共线向量与相等向量也就找到了共线向量与相等向量的关系的关系, ,即共线向量不一定是相等向量即共线向量不一定是相等向量, ,而相等向量一定是共线向量而相等向量一定是共线向量. .课堂探究课堂探究素养提升素养提升题型一向量的有关概念的判断题型一向量的有关概念的判断 例例11以下说法正确的有以下说法正确的有. . (1)(1)

8、假设假设|a|=|b|,|a|=|b|,那么那么a=ba=b或或a=-b;a=-b;解析解析: :( (1 1) )错误错误. .由由| |a a|=|=|b b| |仅说明仅说明a a与与b b模相等模相等, ,但不能说明它们方向的但不能说明它们方向的关系关系. .答案答案: :(3)(3)(4)(4)错误错误. .单位向量不仅有长度单位向量不仅有长度, ,而且有方向而且有方向; ;单位向量的方向不一定一单位向量的方向不一定一样样, ,而相等向量要求长度相等而相等向量要求长度相等, ,方向一样方向一样. .方法技巧方法技巧(1)(1)单位向量、零向量是用向量的长度来定义的单位向量、零向量是用

9、向量的长度来定义的, ,共线向量是用表示共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的. .相等向量是用向量的相等向量是用向量的长度和方向共同定义的长度和方向共同定义的. .(2)(2)对于概念性题目对于概念性题目, ,关键把握好概念的内涵与外延关键把握好概念的内涵与外延, ,正确理解向量共正确理解向量共线、向量相等的概念线、向量相等的概念, ,清楚它们的区别与联系清楚它们的区别与联系. .即时训练即时训练1-1:1-1:判断以下说法是否正确判断以下说法是否正确, ,并简要说明理由并简要说明理由: :(1)(1)零向量只有大小没有方向零向量只有

10、大小没有方向; ;(2)(2)相等向量一定是平行向量相等向量一定是平行向量, ,平行向量不一定是相等向量平行向量不一定是相等向量; ; (3)(3)假设向量假设向量a a与向量与向量b b同向同向,|a|b|,|a|b|,那么那么ab;ab;(4)(4)假设假设a=b,b=c,a=b,b=c,那么那么a=c.a=c.解解:(1):(1)不正确不正确, ,零向量的长度为零零向量的长度为零, ,方向是任意的方向是任意的, ,并不是没有方向并不是没有方向. .(2)(2)正确正确, ,相等向量的方向一样相等向量的方向一样, ,因此必是平行向量因此必是平行向量, ,但平行向量的长度但平行向量的长度不一

11、定相等不一定相等, ,因此不一定是相等向量因此不一定是相等向量. .(3)(3)不正确不正确, ,向量不能比较大小向量不能比较大小. .(4)(4)正确正确. .因为因为a=b,a=b,所以所以a,ba,b的长度相等且方向一样的长度相等且方向一样; ;又因为又因为b=c,b=c,所以所以b,cb,c的长度相等且方向一样的长度相等且方向一样, ,所以所以a,ca,c的长度相等且方向一样的长度相等且方向一样, ,故故a=c.a=c.答案答案: :题型二向量的表示及应用题型二向量的表示及应用 例例2(1)2(1)如图如图,B,C,B,C是线段是线段ADAD的两个三等分点的两个三等分点, ,分别以图中

12、各点为起点和分别以图中各点为起点和终点最多可以写出个互不相等的非零向量终点最多可以写出个互不相等的非零向量; ; 答案答案: :6 6方法技巧方法技巧(1)(1)向量的两种表示方法向量的两种表示方法几何表示法几何表示法: :先确定向量的起点先确定向量的起点, ,再确定向量的方向再确定向量的方向, ,最后根据向量最后根据向量的长度确定向量的终点的长度确定向量的终点. .(2)(2)两种向量表示方法的作用两种向量表示方法的作用用几何表示法表示向量用几何表示法表示向量, ,便于用几何研究向量运算便于用几何研究向量运算, ,为用向量处理为用向量处理几何问题打下了根底几何问题打下了根底. .用字母表示法

13、表示向量用字母表示法表示向量, ,便于向量的运算便于向量的运算. .(1)(1)与与a a的模相等的向量有多少个的模相等的向量有多少个? ?(2)(2)与与a a的长度相等的长度相等, ,方向相反的向量有哪些方向相反的向量有哪些? ?解解: :(1)(1)与与a a的模相等的向量有的模相等的向量有2323个个. .(3)(3)与与a a共线的向量有哪些共线的向量有哪些? ?(4)(4)请一一列出与请一一列出与a a, ,b b相等的向量相等的向量. .方法技巧方法技巧(1)(1)寻找相等向量寻找相等向量, ,先找与表示向量的有向线段长度相等的向量先找与表示向量的有向线段长度相等的向量, ,再确

14、再确定哪些是同向共线定哪些是同向共线; ;寻找共线向量寻找共线向量, ,先找与表示向量的有向线段平行先找与表示向量的有向线段平行或共线的线段或共线的线段, ,再构造同向与反向的向量再构造同向与反向的向量. .(2)(2)向量的相关概念性质与几何知识交汇向量的相关概念性质与几何知识交汇, ,要注意联系几何图形的相要注意联系几何图形的相关性质关性质, ,使向量与几何图形有机地结合起来使向量与几何图形有机地结合起来. .互动探究互动探究: :假设将本例中的正六边形假设将本例中的正六边形ABCDEFABCDEF改为如下图的改为如下图的 ABCD,ABCD,那么那么题型四易错辨析题型四易错辨析 例例4

15、4 以下说法正确的个数是以下说法正确的个数是( () )向量向量a,ba,b共线共线, ,向量向量b,cb,c共线共线, ,那么那么a a与与c c也共线也共线; ;任意两个相等的非任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合零向量的起点与终点都分别重合; ;向量向量a a与与b b不共线不共线, ,那么那么a a与与b b都是都是非零向量非零向量; ;有一样起点的两个非零向量不平行有一样起点的两个非零向量不平行. .(A)1(A)1(B)2(B)2(C)3(C)3(D)4(D)4错解错解: :向量共线具有传递性向量共线具有传递性, ,相等向量的各要素一样相等向量的各要素一样( (包括起点、终

16、包括起点、终点点),),同起点共线向量不是平行向量同起点共线向量不是平行向量. .应选应选B B或或C C或或D.D.纠错纠错: :对共线向量的概念理解不清对共线向量的概念理解不清, ,零向量与任一向量都是共线向量零向量与任一向量都是共线向量, ,共线向量也是平行向量共线向量也是平行向量, ,它与平面几何中的共线和平行不同它与平面几何中的共线和平行不同. .正解正解: :事实上事实上, ,对于对于, ,由于零向量与任意向量都共线由于零向量与任意向量都共线, ,因此不正确因此不正确; ;对对于于, ,由于向量都是自由向量由于向量都是自由向量, ,那么两个相等向量的始点和终点不一定重那么两个相等向

17、量的始点和终点不一定重合合, ,故不正确故不正确; ;对于对于, ,向量的平行只与方向有关向量的平行只与方向有关, ,而与起点是否一样无而与起点是否一样无关关, ,故不正确故不正确;a;a与与b b不共线不共线, ,那么那么a a与与b b都是非零向量都是非零向量, ,否那么否那么, ,不妨设不妨设a a为为零向量零向量, ,那么那么a a与与b b共线共线, ,与与a a与与b b不共线矛盾不共线矛盾, ,从而正确从而正确. .应选应选A.A.方法技巧方法技巧(1)(1)向量是既有大小又有方向的量向量是既有大小又有方向的量, ,解决向量问题时一定要从大小和解决向量问题时一定要从大小和方向两个

18、方面去考虑方向两个方面去考虑. .(2)(2)共线向量与平行向量是一组等价的概念共线向量与平行向量是一组等价的概念, ,两个共线向量不一定在两个共线向量不一定在同一条直线上同一条直线上. .当然当然, ,同一直线上的向量也是平行向量同一直线上的向量也是平行向量. .(3)(3)向量与数量的区别在于向量有方向而数量没有方向向量与数量的区别在于向量有方向而数量没有方向; ;向量与向量向量与向量模的区别在于向量的模是指向量的长度模的区别在于向量的模是指向量的长度, ,是数量是数量, ,可以比较大小可以比较大小, ,但向但向量不能比较大小量不能比较大小. .课堂达标课堂达标B B1.1.以下说法中正确

19、的个数是以下说法中正确的个数是( ( ) )身高是一个向量身高是一个向量; ;AOBAOB的两条边都是向量的两条边都是向量; ;温度含零上和零下温度温度含零上和零下温度, ,所以温度是向量所以温度是向量; ;物理学中的加速度是向量物理学中的加速度是向量. .(A)0(A)0(B)1(B)1(C)2(C)2(D)3(D)3解析解析: :只有中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量只有中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量, ,错错误误. .正确正确. .B B2.(20212.(2021东莞市高一期中东莞市高一期中) )以下说法中错误的选项是以下说法中错误的选项是( ( ) )(A)(A)零向量与任一向量平行零向量与任一向量平行(B)(B)方向相反的两个非零向量不一定共线方向相反的两个非零向量不一定共线(C)(C)零向量的长度为零向量的长度为0 0(D)(D)方向相反的两个非零向量必不相等方向相反的两个非零向量必不相等解析解析: