202X202X学年高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A版必修4 (2)

1、2.4.22.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角夹角目标导航目标导航课标要求课标要求 1.1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算. .2.2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关的问题的问题. .3.3.增强用向量法与坐标法来处理向量问题的能力增强用向量法与坐标法来处理向量问题的能力. .素养达成素养达成1.1.通过平面向量数量积的坐标表示及其运算的学习通过平面向量数量积的坐标表示及其运算的学习, ,使学生提高数学运算和数学建模的核心素养使学生提高数学运算和数学建模的

2、核心素养. .2.2.在运用向量坐标运算求解与向量的模、夹角、垂直在运用向量坐标运算求解与向量的模、夹角、垂直等相关问题的过程中等相关问题的过程中, ,提升逻辑推理和数学运算的核提升逻辑推理和数学运算的核心素养心素养. .3.3.通过运用向量法与坐标法来处理向量问题通过运用向量法与坐标法来处理向量问题, ,提升数提升数据分析和数学建模的能力据分析和数学建模的能力. .新知导学新知导学课堂探究课堂探究设向量设向量a a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b b=(x=(x2 2,y,y2 2),),a a与与b b的夹角为的夹角为.新知导学新知导学素养养成素养养成数量积数量积ab= = 1

3、1向量垂直向量垂直ab 1 1x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=0思考思考1:a=(-2,1),b=(x,-2),1:a=(-2,1),b=(x,-2),且且ab,ab,那么那么x=x=. . 提示提示: :因为因为a ab b, ,所以所以-2x+1-2x+1(-2)=0.(-2)=0.所以所以x=-1.x=-1.答案答案: :-1-12211xy222121+xxyy思考思考2: 2: 向量向量a=(x,y),a=(x,y),与向量与向量a a共线的单位向量共线的单位向量a0a0的坐标是什么的坐标是什么? ?思考思考3

4、:3:向量向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么向量那么向量a a在向量在向量b b方向上的投影怎样方向上的投影怎样用用a,ba,b的坐标表示的坐标表示? ?名师点津名师点津向量垂直与向量平行坐标表示的区别向量垂直与向量平行坐标表示的区别非零向量非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=(x1,y1),b=(x2,y2),假设假设ababx1y2=x2y1;x1y2=x2y1;假设假设ababx1x2=-y1y2.x1x2=-y1y2.两个命题不能混淆两个命题不能混淆, ,可以比照学习可以比照学习, ,分别简记为分别简记为: :纵横交

5、织积相等纵横交织积相等, ,横横横横纵纵积相反纵纵积相反. .课堂探究课堂探究素养提升素养提升题型一平面向量数量积的坐标运算题型一平面向量数量积的坐标运算 例例1 1 向量向量ab,b=(1,2),|ab|=10.ab,b=(1,2),|ab|=10.(1)(1)求向量求向量a a的坐标的坐标; ;解解: :(1)(1)法一法一因为因为a ab b, ,所以设所以设a a=b b(R R),),所以所以a a=(,2),=(,2),所以所以| |a ab b|=|+4|=10,|=|+4|=10,所以所以=2,2,所以所以a a=(2,4)=(2,4)或或a a=(-2,-4).=(-2,-4

6、).(2)(2)假设假设a,ba,b同向同向,c=(2,-1),c=(2,-1),求求(bc)a,(ab)c.(bc)a,(ab)c.解解: :(2)(2)因为因为a a, ,b b同向同向, ,所以所以a a=(2,4),=(2,4),所以所以( (b bc c) )a a=1=12+22+2(-1)(-1)a a=0=0a a=0.=0.( (a ab b) )c c=(2+2=(2+24)4)c c=10=10(2,-1)(2,-1)=(20,-10).=(20,-10).方法技巧方法技巧(1)(1)此类题目是有关向量数量积的坐标运算问题此类题目是有关向量数量积的坐标运算问题, ,灵活应

7、用根本公式灵活应用根本公式是前提是前提, ,设向量一般有两种方法设向量一般有两种方法, ,一是直接设坐标一是直接设坐标, ,二是利用共线或垂二是利用共线或垂直的关系设向量直的关系设向量, ,通过此题第通过此题第(2)(2)问还可验证一般情况下问还可验证一般情况下(ab)ca(bc),(ab)ca(bc),即向量乘法运算结合律一般不成立即向量乘法运算结合律一般不成立. .(2)(2)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化应注意与方程、函数等通过向量的坐标表示实现向量问题代数化应注意与方程、函数等知识的联系知识的联系. .答案答案: :(1)D(1)D(2)(2021(2)(2021郑州市期中郑州市

8、期中) )设向量设向量a=(1,2),a=(1,2),向量向量b=(-3,4),b=(-3,4),向量向量c=(3,2),c=(3,2),那么向量那么向量(a+2b)c(a+2b)c等于等于( () )(A)(-15,12)(A)(-15,12)(B)0(B)0(C)5 (C)5 (D)-11(D)-11解析解析:(2):(2)因为因为a=(1,2),b=(-3,4),c=(3,2),a=(1,2),b=(-3,4),c=(3,2),所以所以a+2b=(1,2)+(-6,8)=(-5,10),a+2b=(1,2)+(-6,8)=(-5,10),所以所以(a+2b)c=-5(a+2b)c=-53

9、+103+102=5.2=5.应选应选C.C.答案答案: :(2)C(2)C(3)a=(2,-1),b=(3,2),(3)a=(2,-1),b=(3,2),假设存在向量假设存在向量c,c,满足满足ac=2,bc=5,ac=2,bc=5,那么向量那么向量c=c=. 备用例备用例1 1 向量向量a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1),a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1),求求: :(1)2a(b-a);(1)2a(b-a);解解: :(1)(1)法一法一因为因为2 2a a=2(1,3)=(2,6),=2(1,3)=(2,6),b b- -a a=(2,5)-(1,3)=(1,2

10、),=(2,5)-(1,3)=(1,2),所以所以2 2a a( (b b- -a a)=(2,6)=(2,6)(1,2)(1,2)=2=21+61+62=14.2=14.法二法二2 2a a( (b b- -a a) )=2=2a ab b-2-2a a2 2=2(1=2(12+32+35)-2(1+9)5)-2(1+9)=14.=14.(2)(2)(a a+2+2b b) )c c. .解解: :(2)(2)法一法一因为因为a a+2+2b b=(1,3)+2(2,5)=(1,3)+(4,10)=(5,13),=(1,3)+2(2,5)=(1,3)+(4,10)=(5,13),所以所以(

11、(a a+2+2b b) )c c=(5,13)=(5,13)(2,1)(2,1)=5=52+132+131=23.1=23.法二法二( (a a+2+2b b) )c c= =a ac c+2+2b bc c=1=12+32+31+2(21+2(22+52+51)1)=23.=23.题型二向量平行与垂直的坐标形式的应用题型二向量平行与垂直的坐标形式的应用 例例2 (20212 (2021丰台区期末丰台区期末) )平面向量平面向量a=(3,1),b=(x,-1).a=(3,1),b=(x,-1).(1)(1)假设假设ab,ab,求求x x的值的值; ;解解: :(1)(1)因为因为a ab b

12、, ,所以所以x=3x=3(-1),(-1),即即x=-3.x=-3.(2)(2)假设假设a(a-2b),a(a-2b),求求a a与与b b的夹角的夹角. .方法技巧方法技巧(1)(1)向量垂直求参数问题向量垂直求参数问题, ,即由相应向量的数量积为即由相应向量的数量积为0 0建立关于参数的建立关于参数的方程方程, ,求解即可求解即可. .(2)(2)非零向量非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).a=(x1,y1),b=(x2,y2).牢记公式的坐标表示牢记公式的坐标表示: :假设假设ababx1y2=x2y1,x1y2=x2y1,即即x1y2-x2y1=0;x1y2-x2y1=0

13、;假设假设ababx1x2=-y1y2,x1x2=-y1y2,即即x1x2+y1y2=0.x1x2+y1y2=0.即时训练即时训练2-1:(20212-1:(2021成都市期末成都市期末) )平面向量平面向量a=(4,-3),b=(5,0).a=(4,-3),b=(5,0).(1)(1)求求a a与与b b的夹角的余弦值的夹角的余弦值; ;(2)(2)假设向量假设向量a+kba+kb与与a-kba-kb互相垂直互相垂直, ,求实数求实数k k的值的值. .解解: :(2)(2)因为向量因为向量a a+k+kb b与与a a-k-kb b互相垂直互相垂直, ,所以所以( (a a+k+kb b)

14、 )( (a a-k-kb b)=)=a a2 2-k-k2 2b b2 2=0.=0.因为因为a a2 2= =b b2 2=25,=25,所以所以25-25k25-25k2 2=0,=0,所以所以k=k=1.1.题型三平面向量的夹角问题题型三平面向量的夹角问题 例例3 a=(1,2),b=(1,),3 a=(1,2),b=(1,),求满足以下条件的实数求满足以下条件的实数的取值范围的取值范围. .(1)a(1)a与与b b的夹角为的夹角为9090; ;(2)(2)a a与与b b的夹角为锐角的夹角为锐角. .方法技巧方法技巧(1)(1)两非零向量夹角两非零向量夹角的范围满足的范围满足0 0

15、180180, ,因此因此, ,仅依靠仅依靠cos cos 的正负不能判定的正负不能判定为锐角或钝角为锐角或钝角. .(2)(2)利用数量积求两向量夹角的步骤利用数量积求两向量夹角的步骤利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积; ;在在0 0180180内内, ,由由cos cos 的值求角的值求角.互动探究互动探究: :假设本例条件不变假设本例条件不变, ,如何求如何求a a与与b b的夹角为钝角时的夹角为钝角时的取值范围的取值范围. .即时训练即时训练3-1:3-1:设平面向量设平面向量a=(-2,1),b=(,-1)(R

16、),a=(-2,1),b=(,-1)(R),假设假设a a与与b b的夹角的夹角为钝角为钝角, ,那么那么的取值范围是的取值范围是. . 备用例备用例3 3 平面直角坐标系平面直角坐标系xOyxOy中中,O,O是原点是原点( (如图如图).).点点A(16,12),B(-5,15).A(16,12),B(-5,15).(2)(2)求求OAB.OAB.题型四易错辨析题型四易错辨析 例例4 a=(3,-4),b4 a=(3,-4),b是与是与a a共线的单位向量共线的单位向量, ,求求b b的坐标的坐标. .学霸经历分享区学霸经历分享区(1)(1)向量的坐标表示简化了向量数量积的运算向量的坐标表示

17、简化了向量数量积的运算. .为利用向量法解决平为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持支持. .(2)(2)应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题几何问题, ,在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力. .(3)(3)注意区分两向量平行与垂直的坐标形式注意区分两向量平行与垂直的坐标形式, ,二者不能混淆二者不能混淆, ,可以比照可以比照学习、记忆学习、记忆. .课堂达标课堂达标C C 解析解析: :因为因为ab,ab,所以所以m-3m-32=0,2=0,那么那么m=6.m=6.2.2.假设假设a=(5,x),|a|=13,a=(5,x),|a|=13,那么那么x x等于等于( ( ) )(A)(A)5 5 (B)(B)10 10 (C)(C)12 12 (D)(D)1313C Ca=(2,3),b=(-2,4),a=(2,3),b=(-2,4),那么那么(a+b)(a-b)=(a+b)(a