一元积分学的几何应用与重积分计算

1、一、考试内容（一）一元积分学的几何应用1、平面图形的面积2、旋转体体积注：利用平面图形的面积与旋转体体积公式时，有时可借助参数方程或极坐标表示3、曲线的弧长（数三不要求）4、旋转体的侧面积（数三不要求）（二）重积分计算法则1、记忆以下二重积分奇偶对称性性质：（1）当积分域对称于轴时，令是关于轴某一侧的部分，则有上述性质可类似地应用于关于轴的对称性与函数关于的奇偶性（3）当积分域关于原点对称时，若，则有（4）若将互换，积分域不变，（关于对称）则（轮换性）2、记忆以下三重积分奇偶对称性性质：（数一）（1）当积分域对称于面时，令是关于面某一侧的部分，则有上述性质可类似地应用于关于其它坐标面的对称性与

2、函数的奇偶性（2）若将互换，积分域不变， 则（轮换性）3、记忆重积分算法对，对，对，特别地，对，为在面的投影则，此为先二后一法（数一）对绕轴（）的旋转体区域，为在处的横截面区域，则，此为先一后二法（数一）特别地，截面面积为已知的立体体积对由球面与锥面所围成的区域，可利用球坐标法计算：（数一）二、典型例题（一）一元积分学的几何应用例1、如图，连续函数在上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设，则有（C）（A） (B)（C）（D）提示：，故选（C）.例2、求由曲线及在上半平面围成图形的面积及周长.解：，或.例3、设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D

3、绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，则提示：，例4、求曲线和直线所围成图形绕极轴旋转一周的.解：.例5、位于第一象限的图像与轴、轴所围区域的面积为提示：面积例6、曲线的弧长提示：例7、过上一点做切线，问为何值时所作切线与抛物线所围区域的面积最小？解：易得两曲线交点，易知时例8、设D是位于曲线下方、轴上方的无界区域，（1）求区域D绕轴旋转一周所成旋转体的体积;（2）当为何值时，最小?提示：(1)(2)（二）二重积分计算例1、换序.例2、设连续，则.例3、.例4、设区域由曲线围成，则提示：对称奇偶性与二重积分的几何意义例5计算，其中解：令，由二重积分奇偶对称性性质知，.例6、设是的第象限的部分

4、，记，则（B）（A）（B）（C）（D）提示：由轮换性知由不等式性质知例7、设，则.（轮换性）例8、设连续，其中为图中阴影部分，则.提示：注意相对于直（极）标为常数，则例9、求.解 如图, 原式.例10、可导，为其反函数，证明：提示：令，则左右（三）三重积分计算(仅数一打印)例1、，其中由锥面与平面（）围成的区域.【解1】原式.【解2】原式.【解3】原式.例2、，其中是由球面所围成的闭区域.【解1】因区域具有轮换性，则故原式.【解2】原式.【解3】原式.例3、计算，由平面以及曲面围成，其中是由曲线绕轴旋转所生成的旋转面.解： 原式.例4、计算，其中解：例5、求上的连续函数，使提示：令，则三、课后

5、练习（一）一元积分学的几何应用1（A）、曲线与轴所围成图形的面积可表为（C）（A）（B）（C）（D）2（A）、设在区间上连续，则曲线夹在之间的平面图形绕直线旋转而成的旋转体体积为（B）3（A）、如图，函数在区间上有连续的导数，则定积分等于（C）（A）曲边梯形面积（B）梯形面积（C）曲边三角形面积（D）三角形面积4（A）、由曲线和直线及在第一象限中所围图形的面积为5（A）、假设曲线，轴和轴所围成区域被曲线分为面积相等的两部分，则6（A）、过原点作的切线，其与及轴所围区域为，则的面积为，绕旋转一周所得的旋转体的体积为7（A）、已知曲线与曲线在点处有公切线，求常数及切点；两曲线与轴所围平面区域的面积

6、；该区域绕轴旋转一周所得旋转体体积8（A）、求曲线所围图形的面积，并求该平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积（）9（A）、设，及轴所围成的平面区域为，则绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为，绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为10（A）、设有曲线，过原点作其切线，求由此曲线，切线及轴围成的平面图形绕轴一周所得到的旋转体的表面积11（A）、求围成的平面图形绕轴旋转所得的曲面面积，并求其绕轴旋转所得的旋转体体积（，）12（A）、设位于曲线下方，轴上方的无界区域为,则绕轴旋转一周所得空间区域的体积是13（A）、设L极坐标方程为，则L所围的区域面积为14（A）、设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0边到的

7、一段弧与极轴所围成的图形面积为15（A）、与轴、轴围成图形的面积为16（B）、设，则其所示曲线与直线及轴，轴围成的区域绕轴旋转一周生成的旋转体体积17（A）、求摆线一拱的弧长18（A）、设曲线由确定，则该曲线对应于的弧长为19（B）、求心形线的全长，其中 （）20（A）、已知曲线的斜率为，则该曲线在中的弧长为21（A）、求曲线的一条切线，使该曲线与切线及直线所围成图形面积最小（）22（A）、设曲线与交于点，过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面区域，问为何值时，该图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？（）23（A）、设与抛物线所围面积为，它们与所围面积为试确定，使达到最小，并求出

8、最小值;求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积24（B）、设，S表示夹在x轴与曲线y = F(x)之间的面积. 对任何t 0，表示矩形-txt，0 yF(t)的面积. 求(I) S(t) = S -的表达式；，t (0 , +).(II) S(t)的最小值是最小值25（B）、设及 ，若表示位于直线左下方部分的面积，则26（B）、曲线与直线,及围成一曲边梯形该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体，其体积为，侧面积为，在处的底面积为,求；计算（ 2 1）27（B）、已知曲线L的方程（I）讨论L的凹凸性；（凸的）（II）过点引L的切线，求切线的方程；（）（III）求此切线与L（对应于的部分

9、）及x轴所围成的平面图形的面积（）（二）二重积分计算1（A）、设连续，则可换序为.2（A）、设连续，则可换序为.3（B）、设 由所围，如图所示，将（0）化为极坐标系下的二次积分. 4（A）、设函数连续, 区域, 则等于（D）（A）（B）.（C）（D）5（A）、设函数连续，则二次积分=（B）（A）（B）（C）（D）6（A）、设，其中，则按从大到小的排列次序为.7（A）、设是面上以为顶点的区域，是在第一象限的部分，则（A）（A）（B） （C）（D）8（A）、如图，正方形被其对角线划分为四个区域，设，则 (A)(A)(B)(C)(D)9（A）、(1)；（2）、求.10（A）、计算.11（B）、计算（

10、极坐标）12（A）、设由及所围，若，则.13（A）、设是由直线所围成的平面区域，则14（A）、设D是由曲线所围成，则15（A）、设区域，则=.16（B）、设, .17（B）、设极标域，则.18（A）、设由与及围成，则.19（A）、设， 则.（对称奇偶性）20（A）、设，则.（轮换性与对称奇偶性）21（B）、设由与极轴围成，则.（对称奇偶性）22（B）、设是由和所围，求.提示：，注意对称奇偶性与分块性.23（B）、设连续，求，由与所围.提示：，注意对称奇偶性与分块性.24（B）、设连续，则（对称奇偶性）25（A）、.（轮换性与对称奇偶性）26（B）、.（分块性）27（A）、设，则（分块性）28（B）、设，计算.（分块性）29（B）、设连续，求证：（换序与换元）30（B）、设连续，求证：（极标）31（B）、设连续,并设则（轮换性）32（A）、若.则（三）三重积分计算(仅数一打印)1（A）、锥面与平面围成，连续，则（B）（A）（B）（C）（D）2（A）、设，则有(C)（A）(B)(C)(D)3（A）、若为平