2017年度秋人教版本数学九上24.1（圆的有关性质）重点复习

1、集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；圆的表示方法：以点为圆心的圆，记作“”，读作“圆”。圆具有的特性：（1） 圆上各点到定点的距离都等于定长（2） 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上注意：（1）根据圆的概念可以知道“圆”指的是“圆周”（一条封闭的曲线），而不是圆面。（2）确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 （3）利用圆

2、具有的特性，我们可以来判断一个多边形的各个顶点是否在同一个圆上。例1：通过下列条件，能确定圆的为（ ） A、已知点O为圆心 B、点O为圆心，2cm为半径C、以2cm为半径 D、经过已知点A，且半径为2cm2：如图，点A 、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC=a,EF=b,NH=c,则下列各式正确的是（ ）A. abc B. bca C. cab D. a=b=c知识点二：圆的有关概念弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，例：直径：经过圆心的弦叫做直径，如图“直径AB”注意：直径是圆中最长弦，但弦不一定是直径弧、半圆、劣弧、优弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简

3、称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如： ；小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如：注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等注意：等圆只和半径大小有关，和圆心的位置无关等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧注意：长度相等的弧不一定是等弧例3：有以下结论： 直径是弦；弦是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半径相等的两个半圆是等弧；长度相等的两条弧是等弧A、1个 B、2个 C、3个 D、4个点拨：只有在同圆或等圆中才存在等弧，在大小不

4、等的两个圆中不存在等弧。在判断等弧时，首先要看两弧所在的圆是否为同圆或等圆，然后再看弧的长度是否相等。知识点三：圆的对称性1、 轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。2、 旋转对称性：圆具有旋转不变性，它绕圆心旋转任意一个角度都能与它本身重合，因此圆也是中心对称图形，圆心是对称中心。例4：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） 等边三角形； 平行四边形； 等腰梯形； 圆知识点三：垂直于弦的直径（重点）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦

5、所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： 是直径 弧弧 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。例5、如图，AB为O的直径，弦CDAB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE=（ ）。 （6） （5） 例6：如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是弧 AC的中点，OE交弦AC于D若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长 为_ 练习：1下面四个命题中正确的一个是（ ）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B平分一条弧的直线垂

6、直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2下列命题中，正确的是（）A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线必过圆心C 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧3、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是_cm.4、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为_cm.5、如图，已知在中，弦，且，垂足为，于，于.（1）求证：四边形是正方形.（2）若，求圆心到弦和的距离.6、已知：ABC内

7、接于O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长7、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，ADBC于D，求证：AD=BF.垂径定理典型例题总结1如图1，O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（ ）A4 B6 C7 D82如图，O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A2 B3 C4 D53过O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ）A9cm B6cm C3cm D4如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在

8、一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）A12个单位 B10个单位 C1个单位 D15个单位1已知AB是O的弦，AB8cm，OCAB与C，OC=3cm，则O的半径为cm2在直径为10cm的圆中，弦的长为8cm，则它的弦心距为cm3在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于4已知AB是O的弦，AB8cm，OCAB与C，OC=3cm，则O的半径为cm5如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若COD120°，OE3厘米，则CD厘米6半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为cm.7过O内一点M的

9、最长的弦长为，最短的弦长为，则OM的长等于cm8已知AB是O的直径，弦CDAB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=_9如图，AB为O的弦，O的半径为5，OCAB于点D，交O于点C， 且CDl，则弦AB的长是10某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB16m，半径OA10m，则中间柱CD的高度为m1已知O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长2已知O的半径长为50cm，弦AB长50cm.求：（1）点O到AB的距离；（2）AOB的大小3如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB4如图，已知O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平

10、行，他们之间距离为7，AB=6求：弦CD的长OCADB5如图，已知AB是O的直径，CDAB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=12m，求ACD的周长OCDABE6如图，已知C是弧AB的中点，OC交弦AB于点DAOB=120°，AD=8求OA的长ODACBABCDEO7已知：如图，AD是O的直径，BC是O的弦，ADBC，垂足为点E，BC=8，AD=10求：（1）OE的长；（2）B的正弦值8如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D。已知：AB=24cm，CD=8cm（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径.1如图

11、，AB是O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD。求证：OC=OD2如图，是的弦，点D是弧AB中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C求证：ADDC·3已知：如图所示：是两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于CD，求证：AC=BD4如图，AB、CD是O的弦，且AB=CD，OMAB，ONCD，垂足分别是点M、N， BA、DC的延长线交于点P 求证：PA=PC5已知：如图，点P是O外的一点，PB与O相交于点A、B，PD与O相交于C、D，AB=CD求证：（1）PO平分BPD；（2）PA=PC OPBACD6已知：如图所示，点P是O外的一点，PB与O相交于点A、B，PD与O相交于C、

12、D，AB=CD.求证：（1）PA=PC；（2）ODCPAB知识点五：弧、弦、圆心角的关系（难点）圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角（拓展：圆心角的度数与所对弧的度数相等）如图：哪个是圆心角？圆心角有什么主要特征？（7）（5）（4）弧、弦、圆心角之间的关系：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。结论：1、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。2、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧相等、劣弧相等注意：不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果丢掉了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相

13、等，例：环形规律总结：在同圆或等圆中，两条弧（一般同为优弧或劣弧）、两条弦、两个圆心角中，只要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等例7：如图所示,AB是圆O的弦,C、D为弦AB上的两点，且OC=OD,延长OC、OD分别交圆O于点E、F。 求证：弧AE=弧BF知识点六：圆周角（重点）（1） 圆周角必须具备两个特征：第一，顶点在圆上；第二，两边都与圆相交。（2） 同一条弧所对的圆周角有无数个。圆心角与圆周角的区别与联系区别：圆心角：顶点在圆心，在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 圆周角：顶点在圆上，在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个联系：两边都和圆相交知识点七：圆周角定理及其推论

14、（难点）定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两个，它们相等或互补”（3） 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径（此性质介绍了一种常见的引辅助线的方法：有直径，通常作直径所对的圆周角；反过来，有90°的圆周角，通常作直径）例8、O的半径为1，AB是O的一条弦，且AB=，则弦AB所对圆周角为（ ）A、30° B、60° C、30°或150° D、60°或120&#

15、176;规律总结：（1）求一条弦所对的圆周角的度数时，应注意一条弦所对的圆周角有两种情况。（2）在同圆或等圆中，一条弦两侧所对两个圆周角的度数之和为180°。经典例题：【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？【例2】如图，已知O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，ACB的平分线交O于D，求BC、AD和BD的长【例3】如图所示，已知AB为O的直径，AC为弦，ODBC，交AC于D，BC=4cm（1）求证：ACOD； （2）求OD的长； （3）若2sinA1=0，求O的直径【例4】四边形ABCD中，ABD

16、C，BC=b，AB=AC=AD=a，如图，求BD的长【例5】如图1，AB是半O的直径，过A、B两点作半O的弦，当两弦交点恰好落在半O上C点时，则有AC·ACBC·BC=AB2（1）如图2，若两弦交于点P在半O内，则AP·ACBP·BD=AB2是否成立？请说明理由（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2=参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性巩固练习：一、选择题1下列说法正确的是（ ） A、顶点在圆上的角是圆周角 B、两边都和圆相交的角是圆周角 C、圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半 D、圆心角是圆周角的2倍2如图2，A、B、C

17、三点都在O上，点D是AB延长线上一点，AOC=，则CBD的度数为（ ） A、 B、 C、 D、3在同圆中，同弦所对的圆周角（ ） A相等 B、互补 C、相等或互补 D、互余4锐角三角形ABC内接于O，若OBC=，则A的度数为（ ） A、 B、 C、 D、5在O中，半径为r=1，弦AB=，弦AC=，则BAC为（ ） A、 B、 C、或 D、或6如图3，已知A、B、C、D、Q五点在O上，BD的度数为，则P+AQC等于（ ） A、 B、 C、 D、D·QBPACO图3·OADBC图2二、解答题1如图所示，BC为直径，G为半圆上任一点，A为弧BG中点，APBC于P，求证：AE=BE=EF·ABPEFGCO2.已知:如图所示A、B、C、D、E为O上的点，且AB=BC=CD，求AED的度数·ABCDEO课后练习：一选择题1如图所示，内接于O，AB=AC，弦AD和底边BC交于点E，AC=6，AE=4，则AD等于（ ） A、10 B、9 C、8 D、2如图3、一副三角板ABC和DEF的顶点都在同一圆上，则DA与EFC的度数·ABCD