微积分学下综合练习

1、软件学院2013级高等数学(下)综合练习一、指出下列各题解题错误的原因，并给出正确的解法1、求 z= x+ (y- 1)arctan -在点(0,1)的偏导数。徉 ft 昔?z?yx= 0y= 1轾犏rcsin Jx / y +不O 1 -X yO 1X?Z ?在(y- 1)丄 鬃=寸1- x/ y 2jx/ y ?y(-x2)y不存在x= 0y = 12、求 z = f (x,y)二 1，lx + y,xy = 0 亠'，求 fx(0,0)。xy = 0错解：因为X。二y。=0,所以应该用下面的表达式,z=x+y ,依照多元偏导就是一元导数的知识，有fx(0,0) = (x y)x(

2、0,0厂 13、设 z=f(x,y) 且 dz = (x2 + 2xy- y2)dx+ (x2- 2xy- y2)dy， 求 f(x,y)错解：由题设知抖z = x2 + 2xy- y2, z = x2- 2xy- y2抖y3故 f(x,y)= °fxdx= '+X2y- xy2 + C 和 f (x,y)= °fydy=x2y- 3又由于上式应恒等，所以3即 x=-y，因此 f (x, y) = + 2y3 + Cy4、设 L 为 x2 y2 =1上点 A(- 22 22)到 B('22, 22 )的逆时针的一段弧，求曲线积2xy -3z+c3错解：令P

3、=Fr,Q二飞社，则可以验证x+y x+yex cy故曲线积分与路径无关。从 A到B的直线方程为x"(2罕2)=t 22所以，xd冷二也十L x +yab x +y'也：tdt tdt-2 2 2t25、判断瓦亠的敛散性。nn错解：因为p = nn 1(n>1时)，按p-级数的收敛结论可知，该级数收敛oa a6判断级数v 的敛散性ndZ解：记Unlim也 Un由于极限不存在,1n 1 (l)n 112(')n 14二 lim lim ( n 1n_L12nF：2()2 142*()n,所以极级数发散。n 二 2mn = 2m 1Q07、求幕级数、n，Xn2nn的

4、收敛域错解：因为limnc a2nJ nn1 r 1 1 lim廿I 1 (1七n所以级数的收敛半径为+：，故收敛域为(-：，+) 、解下列微分方程1、(ex+ y- eX)dx+ (ex+y + ey)dy = 02、 y'+ sin X+-y = sin jX-y (应用和角公式展开)2 2y3、 xy'= yln ，4、f (xy) ydx + g(xy)xdy = 0 (令 u=xy)x5、y' = 12(令 x+y=u)，6、y'=-3(化为：x'- x=y2)(x+ y)2x+ y3y7、 . 1+ x2 sin2y® = 2xsi

5、n2 y+ e2 1+x (令 u = sin2 y)dx2 28、yy"- y' = y lny三、求解下列微分方程的应用问题1、设f(x)在1,+ g)上连续，若y=f(x)、x=1, x=t(>1)所围图形绕x轴旋转的体积为V(t)= |t2f (t)- f(1)，试求y=f(x)所应满足的微分方程，并求y(2)=2/9的解。2、 若某二阶常系数线性齐次方程的特征方程的一个根为3+ 2i，写出该方程并解方程3、已知y1 = xex + e2x, y2 = xex + e- x, y3 = xex + e2x- e- x为某二阶常系数线性非齐次方程的三个解，求解该方

6、程。4、一质量为m的物体在粘性液体中由静止自由下落，若阻力与运动速度成反比(比例 常数为k)，求运动规律。ds提示：因(吨-k捫d2sm2dt2且 s(0) = 0,s'(0) = 05、设y=y(x)满足多 y"+ 4y'+ 4y =扌 y(0)= 2,y'(0) =I0 卡-4，求+ ?&y(x)dx06、已知yi(x) 1 y2(x)均为y+ p(x)y = q(x)的解，求其通解7、y=x 为 x2y"- 3xy'+ 3y = 0 的解，求 x2y"- 3xy'+ 3y = x3 通解。四、求解下列偏导数(微

7、分)问题1、 设z= f (x2 - y2, y2- x2)，且f具有一阶连续偏导。证明：y抖x* xy = 02、设 f(x,y) 可微，且 f (0,0) = 0, fx'(0,0) = a, fy'(0,0) = b,g(t)= f (t, f(t,t)，求 g'(0)3、设 z= f(x, y)由方程 ex/2 + ey/2 = 2e 所确定。求 zx, Zy .x4、 设z=f(u)，而方程u=j(u)+ &p(t)dt确定了 u是x,y的函数，其中f(u),j (u)均可微，p(t)y连续，且 j '(u) 112、设函数 f(x)在0,1上

8、连续，且 gf (x)dx = A，求蝌x f (x)f (y)dy00x3、求平面z=x-y,z=0与柱面x +y =ax所围成的体积(a>0)。4、 一曲顶柱体，以双曲抛物面z=xy为顶，以xOy坐标为底，在xOy面上的投影为(x,y)|x2+y2> 1和(x,y)| x2+y2< 2x在第一象限的公共部分。求柱体的体积。 1，求 p(y)普+ p(x)Z抖(y5、求函数z=ln(x+y)在点(1,2)处沿着抛物线y2=4x在该点切线方向上的方向导数。6、设f,g连续可导，且u = f(x, xy),v =g(x xy)，求匕皿心此7、设 z =f (exsin y,x2

9、 y2)，其中 f 二阶连偏，求8、设方程z x2 y2 z2 = x3f ($)确定了隐函数z=g(x,y)。证明：曲面z=g(x,y)上任一点xM(x,y,z)处的切平面在oz轴上的截距与切点到原点的距离之比为定值。9、 求 x2 yxy x y在闭区域D =( x, y) | x空0, y空0,x y：-3上的最值。五、求解下列积分问题：1、 计算积分 I =蝌 xydxdy，x3- y2D25、计算曲面积分 蝌1dS，其中，S是球面x2+y2+z2=4在平面z=1上方的球冠。S z6设L为正向的圆周x2+y2=9,求曲线积分&(2xy- 2y)dx+ (x2- 4x)dyL7、

10、 求曲线y= x的一条切线I ,使该曲线与切线I及直线x=0和x=2所围成的图形的面积最 小。8、求曲线y= ,x+7与直线x=1,x=2,y=0所围图形分别绕x轴和y轴所成的体积。tt9、 求曲线x= 蝌竺du, y= sindu自原点(0，0)到它右边第一条垂直切线的切点间的的1 U1 u孤长。(提示：分别求出原点和切点对应的参数t的值)。10、 (绝对值函数积分问题的处理)由x2 y2及z=1所围的空间体中分布有密度为(x, y) =|x | | y的质量，求总质量。11、 求 I = (x y 2y2)dxdy，其中 D =( x, y) | x2 y2 - 2ax _ 0D1 112

11、、(由积分限定积分区域)求Jdx J / xy dy0 x2 / + y313、求J二 z2dv，其中门是两球x2y2z2 < a2和x2y2z2岂2az2的公共部分Q14、计算I=sin xydxdy，其中D的左右边界分别为(利用对称性和齐偶性)解：D关于x轴对称，而被积函数关于y为奇函数，所以11115、设 f(x)在区间0,1上连续，并设 f(x)dx 二 A，求 J= dx f(x)f(y)dy00x1解：记 F(x)二 f (y)dy，贝U F'(x) =-f (x), F (0) = A, F(1) =0，于是xQQQ16、若 D =(x, y)|x y - r ,

12、r 0，f(x,y)1为D上的连续函数，求lim 2 f (x, y)dxdy t兀r d4217、计算dy严1 yx tdx (交换积分次序)18、 计算口z2ds，其中L为球面x2 y2 z2 = R2与平面x+y+z=0之交线。L(利用对称性，在计算积分问题时，对称性、奇偶性是首先要考虑的！)19、 求 y2ds，其中 L 为摆线 x =a(t-sin t), y =a(1-cost),(0 t 2二)(纯定义法)20、求Z 2 ds，其中L为柱面x2 + y2 = R2与平面z=y的交线。(挖掘参数方程)x y(L 的参数方程为 x=Rcost,y=Rsint,z=Rsint (0 t

13、 辽 2二)21、计算(x y)dx (y-x)dy，其中 L 是：L(1) 先沿直线从A(1,1)到B(1,2)，再沿直线到C(4,2)x'+y'i从z轴正向看去的顺x-y z = 2(2) 抛物线 x=y2上从 A(1,1)到 C(4,2) 22、计算也(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz，其中 L 是曲线伍L.时针方向。(曲线的参数方程)23、x2+y2=a2. (Green 公式)曲线 L 的参数方程为 x =cost, y =sint,z =2 cost sint,t:2 ： 0)求口(yx3 ey)dx (xy3 xe2y)dy，其中L为正向圆周曲线L24

14、、求| = (x-y)dx (x y)dy，其中L为沿抛物线由点A(-1,0)Lx2y2到 B(1,0)的弧。(凑 Green公式，且注意避开暇点)25、求 I = j(12xy ey)dx-(cosy-xey)dy，其中 L 为由点 A(-1,1)L再沿直线到B(2,0).(部分利用与路径无关)注：I 二 12xydx 亠 ieydx -(cosy-xey)dy = h 12，其中 12与路径无关。LL沿抛物线y=x2到0(0,0),26、 求球面x2 y2 z a2 (a 0)被平面z = -,z= 所夹部分的面积。4227、 求.z2dS，其中二是球面 x2 y2 z2 =a2(a 0)

15、y28、求.i i ixyzdv，V 由曲面 x2 y2 z2 =1， z=0，y=0,x=0 所围成V六、判断下列级数的敛散性1 1 1 11 1十 1 I iT _ *1 ''。.n -1 n 11、 2-12 13-13 1提示：加括号二一1 一 12发散n n -1. n 1n2、oO、J"1 , 1/ nndx ；(而0 xdx匕押收)4、:1 -cost; nnQ0 /、' In 1 -nd n6、t"j (比值法时极限为1,但是从大于1的一侧趋于1,故发散)7、Y 1+ 2!+ .+ n! ?-n=1 (n + 3)!(比较法：1+2&

16、quot;"n! nn!(n +3)!<?K+= (n+3)(n+2)(n+1)<n2)8、(n 1)(n 2)'9、 '、 ilnU (由 ln(1+ x)<x，知 in n4n n-1n_110、:円(a 0)；(a>1 时，1 an .an有<(1)n 收a1 an11、:1、pn(x © (由 xlnn n空xIn nln x 二 eln x11二n 有xlnn nlnx当 lnx>1时收,当 Inx<=1时散）12、:=1n 4 1 nn n131sin (a .0);n（与古相比）14、1 a y na2

17、 n15QOzn a1+nP 0）；（与汁相比,极限为Ip）16、2ng)!'（比值法）17 、n.、上J ;（比值法）18、'、存（比值法）n 吕（n 1）!心 n19、n_2 2nx n 3 n E;（根值法）20、QOzn 二(其中 an0, n =1,2, , lim an =a 0,b 0)；n咨提示：根值法知极限为ba当 a=b 时,an =b 匕n(： n-； 0),若:-n-则散；若=o（-）则散；若nn1 =o(、tn)则收noOzn -1i ；（根值法）n 1器；（比值法）n23 、:2n爲（根值法）nT 324、QOzn吐n于（比值法）；25、二扑2。艸（

18、根值法）26、(1)n Inn =1q ；（取Tg）单增趋于0,且同负,条收）27、:(沖nn-lnn；（取f（x）=单减趋于0,且同正，条收）x -ln x28、od二.(_1)n生n 4 (2 n -1)!(因 an 1 _ 2n 1 (2n)!an _2n21 （单减）且0唱n即1的°条收）QOzn=2nf （一）（无单调性，不能用莱布尼兹，用S,求出Sn+1及Sn = Sn+1+（2门），条收） n （-1）n旳130、v （_1）n丄 讨论p>1（绝收），0<p<=1（条收），p<=0三种情况（发散） nqnpod31、(_1)n(na=1)(a .

19、0,a=1)；n 4提示：与1/n比较知不绝收；0<a<1时，单减趋0; a>1时，单减趋0,均条收JIQO32、7 sin 厂二 (sin n2 .仁= (_1)nsin(Jn2 刊n)兀=(_1)nsin单减)n 1. n 1 n七、解答下列级数问题1、用定义求级数的和（部分和、部分和子列）(1)提示：Sh =(n 1)!-1(n 1)!(2)cO"2n(3)oO' ( n 1 _ n)；n A(4)oO心 n(n 1)(n2)提示:(3)n(n 1)(n 2) _2 |_n(n 1) (n - 1)(n - 2)GO 12、已知v冷二，n吕n6QO求&

20、#39;、'n(2n -1)23、已知级数J（_1）n珀n .4anqQqQ=2L a2nJ =5，证明级数v an收敛，并求出和数。n Tn T提示：J 2nY2n）是（-1）2冇的一个加括号级数，已知a.的奇数项级数收敛，从而n £n T4、设Xn是正的单调递增数列，且有上界，判别级数E 1Xn的敛散性。提示：nn(1 Xn)1% 0且s.-人汀人一加X1及xn有界xnxn +ixi +i m X1X1xn 1qQOQqQ5、设正项级数送收敛，证明级数送收敛。（提示:n &n m n 3a2 - -'an ,anan 1 -' an )&设

21、an是正数列，且liman=a0,证明级数 n?CooZln =1qQan 1 an与级数二nm丄丄有相同的敛散an 十 an性。（提示:7、设级数7 (Un Unj)收敛，级数二窃绝对收敛，证明级数V叫冷绝对收敛ngngn 丄n提示：由Sn =7他_U) =Un _Uo收敛知Un收敛，进而有界。故|听论庄皿收k 48、设正项数列an单调减少，且级数(-1)nann 4od /£发散，证明级数送:收敛心lan中1 j提示：(1)lim an=a>0, (2)由根值法有 lim nU =1 收v a+1八、求解下列幕级数问题1、求下列幕级数的收敛半径和收敛域：(1f(根值法可得

22、R=e 丄.1'匕 j提示：令，nM|_5七丿心2n2X丿1X先分析:(1)ndxn的收敛范围为 X (-1,1，再解不等式 ng"1 X ,-11，得 x ( -： ： ,01 -X(3)0、(-1)nn =014 - xn提示：因lim |Un 1二| x| 1 |X| 1，而当| x|)1时,lim Un冷=0 (发散)，故收敛域为| x| 1 1,=|x|G(-1)n2F (比值法)n仝n3(5)二专x"(根值法)00 1(6) 7亠x2n；(根值法)n三2 n2、求幕级数的和函数及求数项级数的和值(注意收敛域)(1)求& n(n 2)xn的和函数，

23、并求二叫3的和值n ±n =1 2(2)求” Zx2n的和函数，并求二的和值 n=e n!n=0 n!cO求:戸总x2n的和函数(分x=0与")，： 2并求V (_1)n»匸的和值n=02提示:;'(-1)nn =0n2 -n 12n其 n(n-1) Jg.2cO+zn=00 2(4)求幕级数7(_i)n4n!x2n的收敛域及和函数，并求级数n 卫(2n)!n =0(1)n(4n2 1)二 2n(2n!)的和。解：(i)求出收敛半径R=+n4n2 -1 2n/八n2n2n f (-1)“ 2nx -(-1)xxnJ(2n -1)!n(2 n)!=(1)n(

24、2n+2) 2M1,-cosx = -xxxf (x) -cosx7(加曰)oo、(-1)(ii )因(2n)!n/n-1x:而 f(t)dt(_i)n0n =0故 S(x)= - x f ' (x)-cosx= -x 2cosx-cosx-xsinx(iii )把x =二代入S(x)即得级数的和值为1 二23、将下列函数展开为相应的幂级数(注意收敛域)1(1) 将f(x)二 一 展开为(1)x的，以及(2)x-4的幕级数x 一5x +6(2) 设f(x)=arcta门)将f(x)展开成x的幕级数，并求收敛域；(ii)利用展开式求f(101)(0)1 x2n 1x xsin x (2n

25、 1)!1旳解：(i ) 因 f'(x) r (_1)nx2n,( 一1 ：:：X ：:：1)，逐项积分，有1+xn=0f (x) _f(0)(-1)n x2ndx 八n =00n =0dx2n 1 及 f(0)=12n 1其收敛域为x = _1,1)近 f (n) (0)(ii )由泰劳展式f(x) - (-)xn知第n=101项对应于级数的第n=50项 n=0 n!故:(101)(0)(-1)50101! - 101(101)(0) =100!(4)1+x2设 f(X)二 xarcta n儿1,x0，试将f(x)展开成x的幕级数，并利用幕级数展开式求级数x =0,的和1(i ) (arctan x)'1 x2cO2 2n(-1) xn £二：X: 有 arctanx-arctan0=、(T)n x2ndxn出0COf (x) =12、n =0而上述级数在X二1时也收敛，故收敛域为-1,1.(一$2n 七x(2n 1)(2 n 3)又由于f(x)在x=0处连续，所以上式对一切|x|_1均成立。(ii)因f(1)=-，又由级数结果知00 ( 1)0故、np(-1)n2n 1qQ进而'丁n 4(-1)n1 _4n2J.：(-1)n 1_n2 2n_