机械优化设计题库

1、绪论1. 思考题1. 何为约束优化设计问题 ?什么是无约束优化设计问题 ?试各举一例说明。机械优化设计 问题多属哪一类？2. 一般优化问题的数学模型包括哪些部分?写出一般形式的数学模型。3. 机械优化设计的过程是怎样的 ?它与常规的机械设计有什么不同 ?4. 怎样判断所求得的最优解是不是全局最优解？5. 试简述优化算法的迭代过程。6. 何为可行域？为什么说当存在等式约束则可行域将大为缩小?当优化问题中有个等式约束时可行域是什么 ?当优化问题中有两个等式约束时可行域是什么?当 n 维优化问题中有 n 个等式约束时可行域是什么？7. 什么是内点、什么是外点 ?在优化设计中内点和外点都可以作为设计方

2、案吗?为什么 ?8. 试写出第一节中第三个问题的数学模型。9. 目标函数及其等值线（等值面）的意义和特性是什么？2.习题1. 设计一容积为 V 的平底、无盖圆柱形容器，要求消耗原材料最少，试建立其优化设计 的数学模型，并指出属于哪一类优化问题。2. 当一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S 时，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答：属于几维的优化问题？是线性规划还是非线性规划？3. 欲造容积为 V 的长方形无盖水箱，问应如何选定其长、宽、高尺寸，才能使用料消耗 最少？试写出其数学模型。4. 试求直径为 D 的圆内所有内接三角形面积中的最大值。5在曲面fl（Xl,X2,

3、X3）=0上找一点 Pl,在曲面f2（Xl,X2,X3）=0上找一点 P2，使得Pl与P2的 距离为最短，试建立优化问题的数学模型。6有一薄铁皮，宽 b=14cm，长L=24cm，制成如图2-9所示的梯形槽，求边长 x和倾斜 角a为多大时，槽的容积最大？试写出此问题的优化设计模型并指出该问题属于哪一类的优 化设计问题。7欲制一批如图 2-12所示的包装纸箱，其顶和底由四边延伸的折纸板组成。要求纸箱 的容积为2m3,问如何确定a、b和c的尺寸，使所用的纸板最省。试写出该优化问题的数 学模型。8根长I的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形。问应以怎样的比例截 断铅丝，才能使圆和方形的面积之

4、和为最大，试写出这一优化问题的数学模型。9某厂生产A、B两种产品：A每桶需用煤90kN、电4度、劳动日3个，获利润700 元；B每桶需用煤40kN、电5度、劳动日10个，获利润1200元。但计划规定可用煤 3600kN、 电200度、劳动日300个，试问A、B各生产多少桶时利润最大？列出其教学模型，并说明 属于何种数学规划问题 ？10. 某厂生产两种机器，两种产品生产每台所需钢材分别为2吨和3吨，所需工时数分别为4千小时和8千小时，而产值分别为4万元和6万元。如果每月工厂能获得的原材料为 100吨，总工时数为120千小时。现应如何安排两种机器的月产台数，才能使月产值最高。 试写出这一优化问题的

5、数学模型。11要将10米长的钢管截成3米和4米长的各100根，要求设计出用料最省的下料方法。 试写出其数学模型。12. 设计一个二级展开式渐开线标准直齿圆柱齿轮减速器，已知总传动比i = 20,高速级齿轮模数m1,2=2.5mm ,低速级齿轮模数 m3,4=3mm ,要求减速器高速轴与低速轴间中心距a最小，试建立其优化设计的数学模型，并指出属于哪一类优化问题。13. 设计一个展开式二级圆柱齿轮减速器，要求其高、低速轴间的中心距最小。已知总 传动比i=i1 x i2=4，齿轮齿数Z1=Z3，模数均为2.5mm，试建立其数学模型，并说明属于何种 数学规划问题。14. 自行提出一个数学规划问题，并建

6、立其数学模型。15. 如图2-13所示，已知跨距为I、截面为矩形的简支架，其材料密度为 p许用弯曲应 力为%，允许挠度为f，在梁的中点作用一集中载荷 P,梁的截面宽度 b不得小于bmin , 现要求设计此梁，使其质量最轻试写出其优化设计数学模型。图ZI3蔺2"16. 矩形截面简支梁，在跨距I的全部长度内受到均布载荷q,其材料密度为 p许用弯曲应力为om。要求梁的宽度不小于bmin，最大挠度不大于Q。试写出此梁重量最轻优化设计的数学模型。17. 有一圆形等截面的销轴，一端固定在机架上，另一端作用着集中载荷P和扭矩M ,其简化模型如图2-14所示。由于结构的需要，轴的长度 I不得小于Im

7、in。已知销轴材料的许 用弯曲应力血和许用扭剪应力T，允许挠度为f；设计材料的密度为 p和弹性模量为E。 现要求设计这根销轴，在满足使用要求下使其质量为最轻，试写出其优化设计数学模型。18. 试按质量最轻的原则选择平均半径R和壁厚t，设计图2-25所示的薄壁圆柱形容器，要求容积不小于 25.0m3,容器内压力p为3.5MPa，切向应力ce不超过210Mpa，应变量不 超过0.001。q- 7肥Okp/m'.E = SlOGFa.y = 0,J要求：(1)建立优化设计的数学模型；(2)用图解法求出最优解。19. 三杆悬挂结构(图1-5)的材料已经选定，其比重为p,弹性模量为E,许用拉应力

8、为C。 此结构的设计载荷为 2p。试写出其重量最轻优化设计的数学模型。20. 平面桁架(图1-6)由钢管组成，承受载荷2p。钢管的壁厚为t，桁架的跨度为2B。钢 管的直径d和桁架高度H可以选择。桁架应满足强度和刚度的要求。试写出其重量最轻优 化设计的数学模型。21. 当某试验参数a为1, 2, 3, 4, 5时，其对应结果f(a)为3, 5, 4, 2, 1。试用一个 二项式p(a)=a2x1+ax2+x3，去逼近f(a)，求x1, x2, x3为多大时，使得当 a=2, 3, 4, 5时各 点误差平方和为最小，且要求 a=1时，p(a)=f(a)。试写出该问题的优化设计数学模型。22. 己知

9、两个物理量x和y之间的依赖关系为a21a3 ln(1X a±)a5其中aia5为待定参数。为了确定这些参数的值，对x和y测得m个实验点：(xi, yi),(X2,y2),，(Xm,ym)。试将确定参数的问题表示成最优化问题。23. 有一个初始的设计电路，内有 m个可调整的电阻。如图 1-4所示。要求的响应是电 路内m个节点电压为给定的一组数，即Vl=VD1,V2=VD2,，Vn=VDn，而实际的响应里每一'个节点的电压都依赖于这 m个可调的电阻，示为Vi=Ui(Ri,R2,.,Rm), i=1n试建立优化的数学模型。riip-i_j丄lU-J1十S3L . _图4有和个可调电

10、齟的电路24. 某现象的理论公式为：F(t) Xi x?e X3t。透过实验已测得m个F(t)对应于t的值。要求确定Xi、X2和X3三个参数，其中X3> 0，使理论公式与实验数据的偏差平方和为最小。试写出这个问题的数学模型。25. 热敏电阻R= X1 exp 4 ，今测得温度t与R的15组实验数据。要求确定参数t X3X1、X2和X3使电阻R的计算值与实测值的均方差最小。试建立其数学模型。26. 已知一圆形截面悬臂梁，在其悬臂端作用一集中载荷P和一扭矩M，要求悬伸长度L=ab,截面直径 d=dod1。问在满足强度和刚度要求的条件下使所需材料最少，应如何建 立该优化设计问题的数学模型？并示

11、出。27. 试画出下列约束条件下，x=x1 x2t的可行域：(1) g1 (x)=X12+(X2-1)2-1 < 0g2(x)=(Xl-1)2+X22-1 < 0g3(x)=X1 + X2-1 < 0(2) g1 (x)=2x 1 + X2-6 < 0g2 (x)=-Xl < 0 g3(x)=-X2< 0g4(x)=X12+X22-16 < 028. 试画出下列约束条件下X= X1 ,X2t的可行域，并说明哪个是不起作用的约束。2(1) g1(x)=-X1 +X2> 0g2(x)=Xl-X2+3 > 0g3(x)=-X1-X2+8 >

12、 02 2(2) g1 (x)=X1+X2/2-3 > 0g2(x)=Xl > 0 g3(x)=X2> 0 h(x)=-X1 -X2 +16 > 029. 已知约束条件为2 2g1(x)=-Xl+X2-3 > 0g2(x)=-X1 -X2 +9 > 0试问X1=2,-2T, X2=3,3 T, X3=-3,0t, X4=-1,1T等四点中有几个可行点？并写出可行点。30. 画出满足下列约束的可行域。g1(x)=48-3 X1 -2x2> 0g2(x)=18-x1-x20 g3(x)=X1> 0 g4(x)=X2> 031. 试将优化问题mi

13、n F(x) x12 x22 4x2 4x DR2D: g1(x) x1 x22 1 0g2(x) 3 x1 0g3(x)x20的目标函数等值线和约束边界曲线勾画出来，并回答下列问题：(a) X=1,1T是不是可行点？(b) X=5/2,1/2 T是不是可行点？(c) 可行域D是否为凸集，用阴影线描绘出可行域的范围。32. 已知某约束优化问题的数学模型为22min F(x) (x1 3)2 (x2 4)2x DR2D : g1(x) 5 x1 x2 0g2(x) x1 x2 2.5 0 g3(x) x1 0 g4(x) x2 0(1)该问题是线性规划问题还是非线性规划问题？按一定比例画出目标函

14、数F(X)的值分别等于1, 2, 3时的三条等值钱，并在图上划出可行域。(3) 在图上确定无约束最优解和约束最优解。(4) 若在该问题中又加入等式约束h(X)=xi-x2=0，其约束最优解 X*、F(X*)又为多少？33. 画出下列目标函数的等值线，并指出函数值为正和负的区域；它有没有极小值点？1) F(x1,x2)=x1x2；2)F(x1,x2)=x12-x22；3)F (x1,x2)=x12+3x1x2+4x22+634. 用图解法求解下列优化问题的最优点。minF(x)(x13)2(x23)21)s.t.2x1 x20;x1,x20minF(x)(x12)2(x22)22) 12s.t.

15、x12x24;x1,x2022minF(x) (x1 3)2 (x2 3)2s.t. x1 /2 x2 4; 3x1 x2 15x1x21 x1,x2A g 10000 N / cmK4-H筍贬第板AAb35. 如图所示，设有一箱形盖板，已知长度l=600cm，宽度b=60cm，侧板厚度ts=0.5cm ,翼板厚度为tf（cm），高度为h（cm），承受最大的单位载荷q=10000N/cm，盖板的许用弯曲应力寸=70MPa，许用剪切应力T=45MPa，单位长度允许挠度f°=0.0025mm，弹性模量 E=7 x 104MPa，泊松比u=0.3.要求在满足强度、刚度和稳定性等条件下，设计

16、一个质量最小的 结构方案。5-17搪瓷厂要生产一种容积为785cm3的圆柱形茶杯，试用拉格朗日乘子法设计茶杯的尺寸使所用的原材料最省。1.设计一曲柄摇杆机构（见图7-16）,已知：杆1的长度11=1 ,杆4的长度14=5（均为相对 长度）。要求曲柄由4。转到4。十90。时，摇杆的输出角实现如下给定的函数关免V y,十方（4 40）,式中4。和贝。分别为对应于摇杆在右极限位置时曲柄和摇杆的位置角.运动过程中的最小传动角不小于 45。，艮卩7m, 7 = 45。试建立上述问题的数学模利，并选择优化方法，有条件的同学可2:= 4. 1286, z：= 2. 3325）。设计训加揺杆机袍（见raZ-I

17、GK 科剤 抒1的民度I严1杆4的艳度匚冃3 （均为相对氏度）.罂求曲柄由肌转刮乩+ 9时，摇杆的输出焰实现如下彫定的函数式中叽和奴*分脚为对或于揺軒在右扱医使賈时曲柄和摇杆的位置傩.并要求左谀区问的 运动过程屮的最小怜诙笊不小于佔j即丁 “;口=4貸武建之上述洞腿的数学廡型，井选胖忧化方法，右条件的同学才上机计算（答案为 仏-4,1266, ft = 2.3325 ）.阳7-H呼面伐度闷杆轨拘简图2.如图为一批量生产的压力容器，其结构方案和有关尺寸已定。内部气压为p=12.75MPa，容器内径 A=120mm，安装螺栓的中心圆直径 D=200mm，壁厚 E=H=20mm , 用衬垫密封，为保

18、证拆装时具有足够的扳手空间，螺栓间的周向间隔不应小于5d（d为螺栓直径），同时为保证螺栓间的密封压力均匀，不致有局部漏气，螺栓间的周向间距不应大于10d。螺栓树料选用35号钢，长度为50mm，型式为六角头半精制螺栓，其单价见下表：101£，B单ifrn克）f. DR2畦r0*裁I要求合理地选择紧固螺栓的直径d和螺栓的数量n,使压力容器的螺栓总成本最低。试建立上述优化设计问题的数学模型，并选择优化方法，有条件的同学可上机计算。（答案为d=25， n=3）。3设有一重量 P=10000N的物体悬挂在两根钢丝绳上，如图7-18所示。已知钢丝绳长li=14.1m , l2=11.5m，许用应力q=100Mpa，弹性模量E=2 x 105MPa。为保证此装置正常工 作，除钢丝绳的工作应力不应大于许用应力外，还规定悬挂点的铅垂