微积分基础知识总结以及泰勒公式

1、§3.3泰勒公式常用近似公式e V x , sinx ” x（ x充分小），将复杂函数用简单的一 次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其 当x较大时），从下图可看出。上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：1、提高近似程度，其可能的途径是 提高多项式的次数。2、 任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。将上述两个想法作进一步地数学化：对复杂函数f（X），想找多项式Pn（X）来近似表示它。自然地，我们希望Pn（x）尽可能多地反映出函数f（X）所具有的性态 一一女口：在某点处的值与导 数值；我们还关心Pn（X）的形式如何确定；Pn（x）

2、近似f（x）所产生的误差Rn（X）二 f（X）- Pn（x）0【问题一】设f（x）在含X。的开区间内具有直到n "阶的导数，能否找出一个关于（x _xo）的门次多项式Pn（x） =a。 ai（x - Xo） a2（x - Xo）2an（x - Xo）n（1）且 即&0）= f（k）（xo） （k = 0,1,n）近似f（X）?【问题二】若问题一的解存在，其误差&(X)二f(X)_ Pn(x)的表达式是什么？【求解问题一】问题一的求解就是确定多项式的系数 a0, a，an 。2Pn( x)=ao ai(x-xo) a2(xxo) 亠 亠 an( xx°)a。二

3、 Pn(Xo)Pn(x)二 ai 2a 2 ( - x o ) 3a3(x - x。)2n a.(x - x。)"'-ai=pn(x°)2n 2Pn (x) =21a23 2a3(x - x°)4 3日4(x -x°)亠 亠 n (n -1) a“(x - x°)-2 1 a p"( xo)Pn (x) =32 1 S3 4 32 S4 (x-© 5 4 3 (x-xo)2n(n-1) (n-2) q (x-xo)n3 2 1 a3 二 Pn (Xo)上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出:a。= Pn(Xo) =

4、 f (Xo)1 a Pn(X°) = f (Xo)2 1 £2 二 Pn(Xo) = f (Xo)3 2 1 G3 二 Pn (Xo ) = f (Xo)一般地，有k(k -1)( k - 2)2 1 ak 二 pnk)(x°) = f (k)(x。)从而，得到系数计算公式:ao = f (Xo)a1f(X。)1 !a2f (Xo)a3f (xo)3!ak(k)(Xo)(k = 0,1,2 厂，n)于是，所求的多项式为:盼)器(X%警(X-Mn!【解决问题二】泰勒(Tayler)中值定理若函数f(X)在含有Xo的某个开区间(a，b)内具有直到n T阶导数，则当x

5、 (a,b)时，f(x)可以表示成f(X)二 Pn(x) Rn(x)汕(x-Xo)kk!f (n 1)()(n 1)!(x-x°)n 1这里是Xo与x之间的某个值 先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路:f(X) = Pn(x)Rn(x)f(n4l)(C)n 半二 f(X)- Pn(X)二 Rn(X)(X - X。)(n +1)!_Rn(X)_ f (n4l)u(X 一 Xo)n 1 = (n 1)!注意到：Rnk)(x°) = f(k)(x°) 一 pnk)(x°) =0 (k =0,1,2,，n) q(t) =(t -x°)n JqZ&a

6、mp;o) =0 (k =0,1,2,n),q(n*)(t) _(n +1)!(因q(t)是关于t的n+1次多项式) Pn(t)(n三0(因Pn(t)是关于t的n次多项式)取 Rn(t)二 f (t) 一 Pn(t)，贝U 忠“ ° (t) = f (n °(t)一 Rn(X) Rn(X。)_ 氏“L q(x)q(x°) 一 q(n41)(t) 7这表明：只要对函数(t) = f (t) - Pn及在x与X。之间反复使用n - 1次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。【证明】X(a,b) xx。以X。与X为端点的区间XO,X或X,X0记为I , I (a,b

7、)。函数二f(° 一 Pn在|上具有直至nT阶的导数，且 凡(x°)=凡(x°)= R(X)h 二 Rr(X0)=0老 )= f(n 1)(t)n比函数q(t) = (t - x0)在|上有直至n T阶的非零导数，且 q(X0)= q (X0)=q (X0)= =q(n)(X00q(n "(t)二(n 1)!于是，对函数Rn(t)及q(t)在I上反复使用n 1次柯西中值定理，有在Xo与X之间2在Xo与r之间3在Xo与2之间n .1在Xo与n之间(n 1)(n 1)()(n +1)!(X - Xo)n 1三、几个概念1、n f (k)( X ) f(X)=

8、f(Xo)：=1(X_Xo)kf (n 1)()(n 1)!(x- Xo)此式称为函数f(X)按&一冷)的幕次展开到n阶的泰勒公式;或者称之为函数f(x)在点X。处的n阶泰勒展开式当n=0时，泰勒公式变为f (o 1)()f(X)二 f (Xo)(x-x°)° 1 二 f(x°) f ( ) (X-Xo)(0 + 1)!这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。f (n 1)(-)&(X)”(X-Xo)" 1(n 1)!为拉格朗日余项。2、对固定的n，若f (n41)(x)兰 M(n 1)!nFX_ X。Rn(X) R

9、n(X)一 Rn(Xo) Rn ( 1 ) q(x) q(x)q(Xo) q ( 1)_ Rn ( 1)- Rn (Xo)Rn( 2)q ( 1)q (Xo) q ( 2)Rn ( 2) - Rn (Xo)呼(3)-q ( 2)-q (Xo)- q(3)( 3)Rnn d)( 'nd) (n -1)q ( n 1)(n 1)/ - f( n 1(n 1)!记'n 1 ,'在Xo与X之间此式可用作误差界的估计Rn(x) (x-X0)n爲 + x Xo|t 0 (XT X) (n +1)!故 Rn(X)二 0(X- X°)n (X > X。)表明：误差Rn（

10、X）是当X X。时较（X-Xo）"高阶无穷小，这一余项表达式称之为皮亚诺余项3、若X。= 0，则 在0与X之间，它表示成形式'X （° ：八：°，泰勒公式有较简单的形式麦克劳林公式f(X)=f(0) fiOh X2 SXn Lt1!2!n!(n +1)!近似公式f (x) ： f (0)xX2 香门 Q xn (0 :： V :：: 1)1!2!n!误差估计式Rn(X)M(n 1)!麦克劳林展开式是一种特殊形式的泰勒展开式，容 易求。因此，求函在任意点工二心处的泰 勒展开式时，可通过变量替换 x -戈a二£化归到这 一情舐令 x -x0 =t则丁

11、（工八 +叼）二陀）对函数严（。作麦克劳林展开。解：f(k)(x)二 ex (k = 0,1,2, n)例 1】求f（X）的麦克劳林公式f(0)= f (0)= f ”(0)=f(n)(0)=e0 = 1f(n41)(e x) = eX于是ex才 X1!2xnev_ _e xn 1(n +1)!2!n!有近似公式2x,XXex1-1! 2!nxn!其误差的界为Rn(X)乞ex(n 1)!n+1X我们有函数y =e的一些近似表达式、yr x -x2y : V x - x - x32(3)、 2 6在matlab中再分别作出这些图象，观察到它们确实在逐渐逼近指数函数【例2】求f(x)=sinx的n

12、阶麦克劳林公式。f(n)(x) = si n(x ) f(n)(0) = sin 解: 2 2f(0) = 0, f (0)=1, f "(0) = 0, f(3)(0) = -1, f(4)(0) = 0,它们的值依次取四个数值0, 1, 0, _1 。2m-1m-1 xX3X5sin¥ (旷 J R2m(x)同样，我们也可给出曲线图象。1y x y *6Xy *-x3 丄 x56 120sin二 x (2m 1)(2m 1)!RUX)=匸其中：y = sin x的近似曲线如下，并用matlab作出它们的【例3】求f（x）二tgx的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项

13、解:(tgx)=12 cos x/丄、“2cosx (sin x) 2sinx(tgx)4厂cos xcos x3222cosx cos x-sinx 3cos x (-sinx) 2cos x 6sin x (tgx) = 264cos xcos xtgx xm=o, (tgx)'xn", (tgx)" xm=o, (tgx厂 x=2于是:tgx = x-x3 o(x3)3!利用泰勒展开式求函数的极限,可以说是求极限方法中的“终极武器”用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。【例4】利用泰勒展开式再求极限x3tgx sin xlimXrO解:tgx 二133X 1x o(x)sinx = x - lx3 o(x3)6133133tgx - sin x = x x3 o(x3) - xx3 o(x3)36x3) (o(x3) - o(x3)613=(x _ x) (-x3o(x3)limtgx-sinxx. 0X31 3/ 3、1 3X o(x )Xlim 3limlimx_；0X3X；0 X3X；0o(x3)X3【注解】 现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处从而因为 tgx Xsinx