2014年广东省深圳市高三一模理科数学试题及答案

1、广东省深圳市 2014 届高三 2 月第一次调研数学理试题2014.2本试卷共 6 页，21 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1 .答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号,同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、 不污损.2 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上不按要求填涂的，答案无效.3 非选择题必须用 0 .

2、 5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原的答案，然后再写 上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4 作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答漏涂、错涂、多涂的答案无效.5 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 PA BPA) P；B);如果事件 A、B 相互独立，那么P( AB)二R A)R B);若锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积为V=】Sh.3一、选择题：本大题共 8 个小题；每小题 5 分

3、，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一 项是符合题目要求的.1已知集合A=2, 0,1,4，集合B=x0cx兰4,x迂R，集合C =A “B.则集合C可表示为C. 1,2,4 D.xOvx兰4,x乏R2.复数z满足z(1 -i) = 1(其中i为虚数单位)，则z=1,x：04.“ =1”是“函数f(x) =cosx在区间1.0, J上单调递减”的A.2,0,1,4B.1, 2,3,43.A.B.F列函数中，为奇函数的是D.A.B. y =x, x 0,1/C. y = x sin xD.y = 0,x = 01,XA0A.充分不必要条件B .必要不充分条件8.在平面直角坐标系中，

4、定义两点P(Xi, yi)与Q(X2,y2)之间的“直角距离”为d(P,Q) = Xi X2+ yi- y2.给出下列命题:(1)若P(1,2),Q(sin,2cos)( R)，则d(P,Q)的最大值为3,5；(2)若P,Q是圆x2y1上的任意两点，则d(P,Q)的最大值为2&；1若P(1,3)，点Q为直线y=2x上的动点，贝U d(P,Q)的最小值为一.2其中为真命题的是A. (1) (2) (3)B . (1) (2)C . (1) (3) D .(3)7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分.本大题分为必做题和选做题两部分.9、10、11、12、13 题为必做

5、题，每道试题考生都必须作答.9 .函数 f(x) =；2X-4 的定义域为 _ .10 .某几何体的三视图如图3 所示，其正视图是边长为 2 的正方形,5.执行如图1 所示的程序框图，则输出的a的值为(注:aa =2”，即为“a2” 或为“a: =2”.)A.21B.3C.12D.-36. (x-4的展开式中常数项为11A.B22C.3D ._3227.如图2, 在矩形 OABC 内：记抛物线讨二X 1 与直线 y = x 1点P，则点P落在区域M内的概率是A.丄B丄1812C.1D163、填空题：本大题共(一)必做题：第C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件围成的区域为M(图中阴影部分).

6、随机往矩形 OABC 内投一O图 2正视图侧视图侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几何体的体积是_俯视图A.充分不必要条件B .必要不充分条件2 2 2 211. 已知双曲线C:冷-与=1与椭圆x-1有相同的焦点，a2b294且双曲线C的渐近线方程为y =，2x，则双曲线C的方程为_ 工x乞y,12.设实数x, y满足y _ 10 - 2x,向量 a =（2x y, m） ,b =（ -1,1） 若 a / b，则实数m的最大值x -1,为_ 13. 在数列 江中，已知a?=4,a?=15，且数列an-是等比数列，则a.二_ （二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题

7、全答的，只计算前一题的得分.14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系 xOy 中，以原点0为极点，x 轴的正半轴为极轴建立| x =t极坐标系若曲线 G 的参数方程为 2:丁（ t 为参数），曲线 c2的极坐标方程为Psin 日 Pcos 日=一 1 .则曲线 G 与曲线 C2 的交点个数为 _15.（几何证明选讲选做题）O 的切线，过A作弦AB=_三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说证明过程和演算步骤.16.（本小题满分 12 分）已知函数f （x）二sin（2 x）（0：冗）的图像经过点（，1）12（1） 求 的值；如图4， 已知AB是BAO图 4（2）在AB

8、C中，A、. B、 C所对的边分别为17.（本小题满分 12 分）某网络营销部门为了统计某市网友 2013 年 11 月 11 日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市a、b、c，若a2b2c2二ab，且A nf(A才求sin B若网购金额超过2千兀的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过 义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为2千兀的顾客定3: 2 .(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图 5(2)(2)该营销部门为了进一步了解这60 名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定 10 人， 若需从这 10 人中随机选取

9、3 人进行问卷调查设为选取 的 3 人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望.18.(本小题满分 14 分)如图 6 所示，平面 ABCD 平面 BCEF，且四边形 ABCD 为矩形，四边形 BCEF 为直角梯形,19.(本小题满分 14 分)当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表(如图网购金额(单位：千元)频数频率(0,0.530.05(0.5,1xP(1,1.590.15(1.5,2150.25(2, 2.5180.30(2.5,3yq合计601.00BF /CE ,(1)(2)(3)BC_CE , DC =CE =4 , B BF =2 .求证：AF /平面CDE;求平面A

10、DE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值; 求直线EF与平面ADE所成角的余弦值.(1)5 ( 1)：频率图 6x已知数列的前n项和为Sn,且满足4(n - 1)(Sn1)=(n 2)乜(nN ).x(1)求印,a2的值；(2)求an；(3)设bn =n_-，数列、bn f的前n项和为Tn，求证：Tn：-.an420.(本小题满分 14 分)如图 7,直线丨：y =xb(b 0)，抛物线C:y2=2px(p 0)，已知点P(2,2)在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为 土2.(1)求直线I及抛物线C的方程；(2)过点Q(2,1)的任一直线(不经过点P)与抛物线C交于A、B两点，

11、直线AB与直线I相 交于点M，记直线PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3问：是否存在实数 ，使得k1k k3?若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.(2)在ABC中，A、 B、 C所对的边分别为a、b、c，若a2b2_ c2= ab，且21 .(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)9x(a 0) 1 +ax1(1) 求 f(x)在,2上的最大值；2(2)若直线 y = _x 2a 为曲线 y = f(x)的切线，求实数a的值；(3)当 a =2 时，设 x1, x2,4|12 ,且人+ x2+ x 戸44,若不等式f( x )+ f(X2)+f (为4)恒成立，求实数的最小值.

12、2014 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查 内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较 严重的错误，就不再给分.三、 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数.一、选择题：本大题每小题 5 分，满分 40 分.三、解答题16.(本小题满分 12 分)

13、12345678CBDADCBA5 分，满分 30 分.二、填空题：本大题每小题9.x X =2;10.11.I；12.6;13.2 3n4-n；14.15.2,6.已知函数f (x) =sin(2 x+)(0 v u)的图像经过点(1).12(1)求的值;：A 0,二，.sin二丄210 分又Tsin B二sin( n(A - C)二sin(A C),近1 sin B二sin AcosC cos A sinC =-2 22.32一6r - X -=-22412 分【说明】 本小题主要考查了三角函数f(x)二Asin(:)的图象与性质，三角恒等变换，以及余弦定理等基础知识，考查了简单的数学运算

14、能力.17.(本小题满分 12 分)某网络营销部门为了统计某市网友2013 年 11 月 11 日在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表(如图 5 ( 1):网购金额(单位：千元)频数频率(0,0.530.05(0.5,1xP(1,1.590.15(1.5,2150.25(2, 2.5180.30(2.5,3yq-.求sin B.2冗=1，即sin( )=1.6n . n-+P=_6 2(2)：a2b2-c22.cosC二2ab由(1)知f (x) = sin(2 x +n),3A n二、2f (+) =sin(A 3)=COSA = -解：(1)

15、由题意可得f2 2 2a b -c 12频率若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过 义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为(1) 试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图 5(2)(2) 该营销部门为了进一步了解这 60 名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10 人，若需从这 10 人中随机选取 3 人进行问卷调查设 为选取的 3 人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望.解：(1)根据题意，有3x91518 y = 60,18+y23x9153f x = 9,解得. 2 分y =6.p =0.1

16、5,q =0.10补全频率分布直方图如图所示. .4 分(2)用分层抽样的方法，从中选取10人，贝 U2其中“网购达人”有10=4人，“非网购达人5故的可能取值为 0, 1, 2, 3;所以的分布列为:0123p1131621030.E =011 -12331-6. 12 分62103052千元的顾客定3: 2 P(讣窖C10P( =1)学C10P( =2)C42CC3010P(沖等咕.10 分频率2【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识, 考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力.18.(本小题满分 14 分)如图 6 所示，平面 A

17、BCD 平面 BCEF，且四边形 ABCD 为矩形，四边形 BCEF 为直角梯形,BF/CE , BC_CE , DC =CE =4 , BC = BF = 2 .(1) 求证：AF /平面CDE;(2) 求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值;(3) 求直线EF与平面ADE所成角的余弦值.解：(法一)(1)取CE中点为G连接DG、FG,BF/CG且BF =CG,.四边形BFGC为平行四边形，则BC/FG且BC二FG.四边形 ABCD 为矩形，.BC/AD且BC = AD,.FG/AD且FG二AD,.四边形AFGD为平行四边形，则AF /DG.:DG二平面CDE,AF二平面CDE,.A

18、F/平面CDE. 4 分(2)过点E作CB的平行线交BF的延长线于P，连接FP,EP,AP,EP/BC/AD,A,P,E,D四点共面.四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形,EP_CD,EP_CE，又：CD CE二C,EP_ 平面CDE,EP _ DE,又T平面ADE|平面BCEF = EP,ZDEC为平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的平面角.DCMEM,cosDECG图 62即平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为DE n =0.AF/平面CDE .（3）过点F作FH _ AP于H，连接EH,；根据（2）知A,P,E,D四点共面，EP/BC/AD,BC _ BF,BC_

19、AB,又.ABBF =B,BC_ 平面ABP, 二BC丄FH贝U FH丄EP.又.FH _ AP,. FH_ 平面ADE.直线EF与平面ADE所成角为.HEF.DC二CE =4，BC二BF =2，11 分.FH = FPsin45 八2,EF = . FP2EPcos. HEF二空一飞二二EF2近2即直线EF与平面ADE所成角的余弦值为（法二）（1）i四边形BCEF为直角梯形,BC_CE，BC_CD，又.平面ABCD_平面BCEF，且平面ABCDi平面BCEF =BC，DC_ 平面BCEF.以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系.根据题意我们

20、可得以下点的坐标:14 分四边形A(2,0,4),B(2,0,0),C(0,0,0),D(0,0,4),E(0,4,0),F(2,2,0),则AF = (0,2,-4),CB =(2,0,0).；BC _ CD,BC _ CE,CB为平面CDE的一个法向量.又：AF CB = 0 2 2 0 (-4) 0 =0,AD n0,DE n =0.（2）设平面ADE的一个法向量为n=(羽$,乙)，则当n=2时，有4 (2 1)(31321(2 2) 32，解得32=27.2 分7 AD =(-2,0,0),DE =(0,4, -4),；DC _平面BCEF,.平面BCEF一个法向量为CD =(0,0,

21、 4),设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为 :,因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为(3)根据(2)知平面ADE一个法向量为q =(0,1,1)，设直线EF与平面ADE所成角为0，贝U cos0 = sin c EF ,口因此，直线EF与平面ADE所成角的余弦值为32【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力.19.(本小题满分 14 分)已知数列fan的前n项和为Sn,且满足4(n - 1)(Sn1)=(n 2)匕(n N ).设bn二n1，数列、b

22、n的前n项和为Tn,求证：Tn：-.3n42f 2为=04% -4z,=0取z-1, 得n (0,1,1)7 EF = (2, -2,0),” cos EF , m a =-2EF n12、迈.212 分14 分(1)求印,a2的值;(2)求an；(3)COS :-二4_辽4221,10 分解：(1) 当n=1时，有4 (1 1)(a1+1)=(1+2)a1，解得a1=8.21,10 分2(2)(法一)当n_2时，有4(Sn1(n 2) an(n +1)2ani4(Sm 1)奧n3an=(n 1) (n _2).用数学归纳法证明如下:3(I)当n=1时，有a(1 1)，猜想成立.3(n)假设当

23、n二k时，猜想也成立，即：ak=(k 1).2那么当n二k 1时，有4(k 1 1)(Sk i1) = (k 1 2)2ak i，前(k+1+2)2ak十即：4(Sk1丿k1(k+2)2ak又4(Sk山十丄，解，得ak+1=(k 2)=(k 1 1)3.当n k 1时，猜想也成立.an=( n 1)3成立.一得：4an2 2(n 2) an(n 1) an，即：旦_an_1(n 1)33nan 2J 亠二3(n -1)3n3(n-1)3另解：an二玉也II 邑日1anan_2a1(n 1)33n3n(n-1)3HI42(n 1)3.又:当n=1时，有a=8,3an=(n 1).(法二)根据ai

24、=8,a2=27，猜想:3an=( n 1).2-得：4ak1二罗严(k 2)2ak(k 3)1(k 2)2(k 1)3因此，由数学归纳法证得1,10 分n +1 =1an(n 1)21 1n(n 1) n n 1直线I的方程为y = x 2，抛物线C的方程为y2= 2x.6 分Tn= bi b2b3.bn Jbn1 1 1 1 1223242n2(n 1)21 1 1 1 1222 3 2 3 (n -1)n n(n 1)1(-1) J)(丄4 2 3 3 4n-1 1113+- - -B(x2, y2)，则224ky1y2,y2：kk；飞y1-2y1-22% -222 -2y2 k1ky1

25、2y2222+8k_y22(y1y2) 42-4k224k k2(y1y2)8得xMk -14k-1k -1，4k -12 _ k -1 2k12k -12k 1313 分因此，存在实数，使得k1k - k3成立，且，=2 . . 14分【说明】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系，切 线方程，点到直线距离，最值问题等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决 问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想.21 .(本小题满分 14 分)(法二)：点P(2,2)在抛物线C上，.p=1，抛物线C的方程为寸=2x.设M( ,t)(tR)为抛物线C上的任意一点，点

26、M到直线l的距离为d二2i象，有t b 0,d： (t -1)22b -1,22 近:t R，d的最小值为2b，由2叱1，解得b = 2.2血224因此，直线l的方程为y = x 2，抛物线C的方程为(2) 丁直线AB的斜率存在，.设直线AB的方程为y=kx2k+1,22得ky2y4k+2=0,y =2x,，根据图y-1 = k(x -2)，即y = kx-2k 1,由f丁2，已知函数 f(x)2(a 0).1 +ax21求 f(x)在,2上的最大值;9x(1)2(2)设切点为(t,f)，则；(；：二鳥.9t(2)若直线 y = _x 2a 为曲线 y = f(x)的切线，求实数a的值;a =2 时，设 x1, x2-x 4|1 2 ,且