华东师大版九年级数学下册教案：27.4正多边形和圆

1、精品资料欢迎下载课题27.4正多边形和圆授课人教学目标知识技能使学生经历正多边形的形成过程，了解正多边形的有关概念，掌握用等分圆周圆圆的内接正多边形的方法；能应用正多边形的边角关系进行有关计算.数学思考使学生丰富对正多边形的认识，通过设计图案，发展学生的形象思维.问题解决使学生会等分圆周，利用等分圆周的方法构造正多边形，并会设计图案，发展学生的实践能力和创新精神.情感态度通过等分圆周、构造正多边形等实践活动，使学生在数学学习活动中状得成功的体验，建立自信心.教学重点理解掌握正多边形的半径、中心角、边心距、边等名称及其求法.教学难点探索正多边形和圆的关系.授课旧新授课课时教具多媒体教学活动教学步

2、骤师生活动设计意图回顾(多媒体演示)问题：1 .切线长定埋的内容是什么？请回出一个二角形的内切圆2 .请画出垂径定理的基本图形，并说明其中的数量关系.3.什么是正多边形？你对正多边形有多少了解？师生活动：教师引导学生进行解答，并适时做出补充和讲解.回顾以前学习过的且对本节课的学习后基础作用的知识，为学习新知打下基础.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】(课件展示)观看卜列美丽的图案，提出问题：役图2744(1)你能从这些美丽的图案中找出正多边形吗？(2)你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样作出一个正多边形呢？师生活动：教师引导学生观察、思考，学生讨论、交流，发表各自见解.教师关注：学生能否从图

3、案中找出正多边形；学生能否从图案中发现正多边形和圆的关系.创设情境，使学生主动将圆的知识与正多边形联系起来，激发学生探索的热情，调动学生学习的积极性.9 / 10活动实践探究交流新知活动实践 探究 交流 新知1 .将结论由特殊推广到一 般，符合学生的认知规律， 并交给学生一种研究问题 的方法.2 .教学中，使学生明确圆 内接正多边形必须满足各 边相等，各角相等，培养 学生严谨的态度和思维批判性.3 .通过学生探索、归纳， 教给学生等分圆周的方【探究新知】问题1:将一个圆分为五等份，依次连结各分点得到一个五边形，这个五边形一定是正多边形吗？如果是，请你证明这个结论.师生活动：教师演示作图并提示学

4、生从正多边形的定义入手证明，引导学生观察、分析，教师指导学生完成证明过程.教师在学生思考、交流的基础上板书证明过程：图2745如图2745,AB=BC=CD=DE=EA,AB=BC=CD=DE=EA.BAD=CAE=3AB,./C=ZD.同理可证：/A=/B=/C=/D=/E,五边形ABCDE是正五边形.,.A,B,C,D,E在O。上，五边形ABCDE是圆内接正五边形.教师小结：圆心。到各边的距离都相等，记为r,那么以点。为圆心、r为半径的圆就与正五边形的各条边都相切，它就是正五边形的内切圆.归纳：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.这两个圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.外接圆的

5、半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距.正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.问题2：如果将圆n等分，依次连结各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正世形.师生活动：学生思考，然后小组内交流、讨论，教师根据学生的回答进行总结.教师重点关注：学生能否按照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正世形.问题3:各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？请说明理由.师生活动：学生讨论，思考回答，教师进行总结讲解教师重点关注：学生能否利用正多边形的定义进行判断；学生能否由圆内接正多边形的各边相等得到弦相等及法，尤其是尺规作正方形、正六边形.弦

6、所对的弧相等；学生能否举反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形.【应用新知】活动一：教师演示课件，根据正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念进行相关计算.教师提出问题：(1)正多边形的中心角怎么计算？(2)边长a,半径R,边心距r有什么关系？(3)正多边形的面积如何计算？图2746师生活动：学生在教师的引导下，结合图形，得到结论：正n边形的中心角等于360°刃，(a)2+r2=R2活动二：提出问题：如何把一个圆进行n等分呢？师生活动：学生小组内讨论，得到：把中心角n等分,则弧被n等分，即可得到正多边形.教师引导分析：正方形的中心角为90。，说明两条半径互相垂直；正六边形的

7、中心角为60。，说明两条半径和一边构成等边三角形.活动开放 训练 体现 应用学生在教师的引导下，将正多边形的中心、半径、中心角、边心距等集中在一个三角形中研究，可以利用【应用举例】例1如图2747,有一个亭子，它的地基是边心距为2V3的正六边形，求地基的周长和面积(结果保留根号).图2747解：.六边形ABCDEF是正六边形，.BOC=1X360°=60°,而6OB=OC,OP!BC,./OBC是等边三角形，ZBOP=ZCOP=30°,勾股定理进行计OP.BC=OB,cos30=ob-,而OP=24.BC=OB=4,.该地1基的周长=4X6=24,面积=6>

8、<2><4><23=240.师生活动：教师引导学生画出图形，进行分析，完成例题的解答.教师总结：正六边形中由两条半径和边组成的三角形为等边三角形，所以半径与边相等，所以正六边形的周长为半径的6倍;正六边形的面积分割为六个全等的等边三角形，先求每个等边三角形的面积再乘6即可.变式训练如图2748,正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳手的开口a的值应是（A）A.2mcmB.mcm图2748-23算，进而能够求得正多边形的所有量.教师引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形问题转化为三角形问题.C.z1-cmD.1cm【拓展提升】例2已知半径为R的。O,用多种工具、多种

9、方法作出圆内接正三角形.师生活动：学生先独立解决问题，然后小组中讨论，鼓励学生勇于探索实践，然后与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注学生的解题过程.（方法一）（方法二）（方法三）图27 4 9（续表）活动开放训练体现方法一：用量角器画圆心角/AOB=120°,/BOC=120°连结AB,BC,CA,则ABC为圆内接正三角形.方法二：用量角器画圆心角/BOC=120°及时获知学生对所学知识的掌握情况，落实本课的学习应用目标.分层设计可让不同程度的同学最大限度地发挥他们的潜力，树立学好数学的信心.在。上用圆规截取弧AB=MBC;连结AC,BC,AB,则ABC为圆内接

10、正三角形.方法三：作直径AD;以点D为圆心，OD长为半径画弧，交。于点B,C;连结AB,BC,CA,则ABC为圆内接正三角形.例3如图27410,AB,CD是。中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，OA为半径画弧，与。交于E、F两点.(1)求证：AE是正六边形的一边；(2)请在图上继续画出这个正六边形.解：(1)证明：连结OE,OF,AF,，.AE=OA=OE,：zAOE是等边三角形，故/OAE=60°,同理可证：4OAF是等边三角形.AE=AF,且/EAF=/OAE+ZOAF=120°,AE是正六边形的一边.图27410(2)以B为圆心，AE长为半径画弧，与。O交于点G,H

11、,然后顺次将A,E,G,B,H和F连结起来就得到正六边形.【达标测评】1 .若正六边形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为(B)A.6,3亚B.6,3V3C.3脏,6D,6,32.如图27411,在。中，OA=AB,OC±AB,交。于点C,那么下列结论错误的是(A)A./BAC=30B.AC=BC活动 四： 课堂 总结 反思图27 411 图27412C.线段OB的长等于圆内接正六边形的半径D.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长3 .如图27412,在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点。重合，点A在x轴上，点B在反比快J函数y=kx位于第

12、一象限的图象上，则k的值为9y.(续表)4 .如图27413,已知正五边形ABODE,AF/CD交DB的延长线于点F,交DE的延长线于点G.(1)写出图中所有的等腰三角形；(2)求证：/G=2/F.图27 4 13活动 四： 课堂 总结 反思设置达标测评的目的是 使学生加深对所学知识 的理解和运用，在问题 的选择上以基础为主、 疑难点突出，增加开放 型、探究型问题，使学 生思维得到拓展、能力 得以提升.巩固、梳理所学知识.对学生进行鼓励、进行思想教育.解：(1)二.五边形ABCD是正五边形，AB=BC=CD=DE=EA,ZABC=/BCD=/CDE=/DEA=/EAB=108°：,.

13、DC=BC,，WDB是等腰三角形.C=108°,.仁/CBD=36°；AF心D,.F=/1=36.vABD=/ABC-/CBD=108°-36°=72°,.g/BAF=36°,BAF是等腰三角形，进而可得/GEA=/G=/2=72°,，zEDG,AEG是等腰三角形，故等腰三角形有ABCD,祥BF,FDG,AAEG.(2)证明：二.五边形ABCDE是正五边形，/C=/CDE=108°,CD=CB,得/1=36°，占108°-36°42°.又.AF/CD,Z1=36°，

14、故/G=180°-2/F=180°-72°与6°=72°=2ZF.师生活动：学生完成达标测评后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在个别思考解答的基础上，共同交流、形成共识、确定答案.【课堂小结】(1)谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？布置作业：教材P67习题27.4第1,2,3题.【知识网络】正多边形的画法二利用显鱼器进行尺规作图提纲挈领，重点突出（续表）活动【教学反思】授课流程反思在探究新知的过程中，使学生认识到事物之间是普遍联系的，是可以相互转化的，并培养和训练学生综合运用

15、知识和解决实际问题的意识，渗透数形结合的思想和方法.反思教学过程和教师四：讲授效果反思引导学生注意以下几点：（1）正多边形的相关概念；（2）正多表现，进一步提升操课堂边形中的相关计算；（3）正多边形的画法.心£口反思师生互动反思从学生课堂发言和表现来看，学生能够主动参与，亲身体作流程和自身素质.验知识的发生和发展过程，学有所获.习题反思好题题号一错题3号典案二导学设计编写人时间月日学生姓名班级年级班组学习目标1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；4、理解正多边形的中心、半径

16、、边心距、中心角等概念。学习重点难点重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系。难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形。、情境创设：观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？IX|提问：1.等边三角形的边、角各有什么性质？2.正方形的边、角各有什么性质？二、探索活动：活动一观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念概念：叫做正多边形。(注：各边相等与各角相等必须同时成立)提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？如果一个正多边形有n(n>3)条边，就叫正n边形.等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形.活动二用量角器作正多边形，探索正多边形与圆的

17、内在联系1、用量角器将一个圆n(n>3)等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n边形；圆的内接正n边形将圆n等分；2、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心。活动三探索正多边形的对称性问题：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中心。问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆.圆心就是正多边形的中心。分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分.要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形.要将圆六等分呢？你知道为什么吗？思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。活动四利用直尺与圆规作特殊的正多边形问题：用直尺和圆规作出正方形，正