不动点法解题目

1、精品利用“不动点”法巧解高考题定义；方程 f(x)=x的根称为函数f(x) 的不动点。 利用递推数列f（ x）的不动点 ,可将某些递推关系an = (an-1 ) 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法叫不动点法。对于这个方法有几个重要定理，若只从代数角度理解，恐怕对许多中学生来说是有难度的。下面笔者对这几个定理予以几何解释：定理 1 ：若 f(x)= ax+b(a 0,a 1) ， p 是 f(x) 的不动点， an 满足递推关系a n= (an-1 ),(n>1) 则an - P=a(a n-1 -p), 即 a n - P 是公比为 a 的等比数列。它的代数证明如下：

2、证明：因为 p 是（fx）的不动点 ,所以 ap+b=p,所以 b-p=-ap,由 an =a. a n-1 +b 得 a n-p=a.an-1 +b-p=a(an-1 -p),所以 a n - P 是公比为a 的等比数列。对这一定理的几何意义如下：f(x)=x,即 f(x) 与 g(x)=X的交点一目了然， a n -p /a n-1 -p即为f(x) 的斜率 a。感谢下载载精品感谢下载载精品上面是【文1】给出的纯代数证明，下面看看它所蕴含的几何意义。与定理一的几何意义相似，表示的是两条直线的的斜率相比是定值k,但怎么证明笔者尚未想到简便的方法，只能从上面的代数方法借鉴。第二种情况也是如此，

3、an-p/a n-1 -p+k(a n -p)=1. 如下图，由于笔者能力有限，尚未发现几何证法。感谢下载载精品感谢下载载精品由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助1不动点的定义一般的，设 f ( x) 的定义域为 D ,

4、若存在 x0 D ，使 f ( x0 )x0 成立，则称 x0 为 f ( x) 的不动点，或称 ( x0, x0 ) 为 f ( x) 图像的不动点。2求线性递推数列的通项定理 1设 f ( x) axb(a 0，1) ，且 x0 为 f ( x) 的不动点， an 满足递推关系 anf (an 1 ) ，n 2,3,L ，证明 anx0 是公比为 a 的等比数列。证：x0 是 f ( x) 的不动点，所以 ax0b x0 ，感谢下载载精品所 以 bx0ax 0 ， 所 以 anx0( a· an1 b) x0a·an 1ax0a(an 1x0 ) ， 数 列 anx0

5、是公比为 a 的等比数列。例 1 （2010上海文数 21题）已知数列 an的前 n 项和为 Sn ，且 Snn5a n85 ， n N *(1) 证明： an1 是等比数列； (2) 求数列 Sn的通项公式，并求出使得Sn 1Sn 成立的最小正整数 n .证：当 na114；当n2时，anSn Sn 1an5an 11，即6an5an 11 ( n 2) 即(1)1 时，5an51(n 2)，记f (x)51 ，令f ( x) x，求出不动点x01 ，由定理 1 知：6 an 166 x6a15 (an 11)(n2) ，又 a11 ，所以数列an1是等比数列。(2)解略。n615 03 求

6、非线性递推数列的通项定理 2设f x)axb(c，ad bc0)，且 x 、x是 f (x) 的不动点，数列 a 满足递推关系(cxd012nanf (an 1 ) ， n2,3,L，（）若 x1x2 ，则数列 anx1 是公比为 ax1c 的等比数列；（）anx2ax2 cx1x2x0 ，则数列 an1 是公差为2c的等差数列。x0a dax1bbdx证：（）由题设知dx1cxcx 1a1x1dx 1 b( acx 1 ) x1 ；1aanban 1x1ca nx1(a cx1 )anb dx1a cx1a nx1同理 dx2 b (a cx2 ) x2d，. x2aa nb(a cx2 )

7、anb dx2a cx 2a nx2an 1ca nx2d所以数列 anx1 是公比为 acx1的等比数列。anx2acx2axb的解为 x1 x2x0 ，x 0a dbdx0 x0 。所以（）由题设知 x2 c且cx0cxda感谢下载载精品11ca ndcan dca n da n 1 x 0aa nb( a cx 0 ) a nb dx 0b dx0)( a cx0 )( an x0 )ca ndx 0( a cx 0 )( ana cx 0can cx0dcx0cdcx01cdcad12c(a cx0 )(anx0 )a cx0a cx0 anx0a cx0aca d anx02cc1x

8、0an12c，所以数列 1 是公差为2c的等差数列。a cx0anx0a danx0a d例 2 （2006年全国卷 22题）设数列 an的前 n 项和为 Sn ，且方程 x 2an xan0有一根为 S n1(nN * ) 。求数列 an的通项公式。解：依题 a11 ，且 (Sn1) 2an (Sn 1)an0 ，将 anSnSn1 代入上式，得 Sn21，2Sn 1记 f x1， 令 f ( x)x ， 求 出 不 动 点 x01，由定理 2（）知：2x12Sn111 ，所以数列1是公差为1的等差数列，所以 Snn，Sn 1 1Sn1SnSn1n1因此数列 an的通项公式为 ann1 。1

9、例 3 （2010年全国卷 22题）已知数列 an中， a1 1, a n 1c1 .an（）设 c5 ,bn1，求数列 bn 的通项公式 . （）求使不等式 anan 13 成立的 c 的2an2取值范围 .解：（）依题 an 1515an2 ，记 f ( x)5x2 ，令 f (x) x ，求出不动点 x11 , x22 ；2an2an2x211a n1111a n2由定理 2（）知： a n1222 ， a n 12；2a na n2 a n2a n感谢下载载精品两式相除得到an 121an2，所以an2是以 1 为公比， a122 为首项的等比数an 114an1an14a112222

10、列，所以， an21n1324 n 12, an22, 从而 b n. （）解略。an144 n1332定理 3设 f ( x)ax2b (a0)，且 x1 、x2 是 f ( x) 的不动点，数列 an 满足递推关系2axdanf (an 1 ) ，n 2,3,L，则有an 1x1(anx12；若a1x10 ，则lnanx1是公比为 2 的an 1x2anx2)a1x2anx2等比数列。证 ： x1 、x2 是f (x)的 不 动 点 ， dx1b ax12， dx2 b ax22。axa a2b(2a and ) xa a 2b2a axax 2bn 11n1nn11an 1x2a an

11、2b (2 a and ) x2a an 2b 2a an x2ax22ba(an22anx1x12 )( anx1 )2 ，又 a1x10 ，则 anx10 ，a(a22ax2x2 )anx2a1x2anx2nn2ln an 1x12lnanx1，故 ln anx1是公比为 2 的等比数列。an 1x2anx2anx223 求证： x例（2010东城区二模试题） 已知数列n14，xn 1xnn3；求4 x 满足 x2 xn4证： xn1xn ；求数列 xn 的通项公式23x23 ，令 f (x)证：、证略；依题 xn1xn，记 f ( x)x ，求出不动点 x11, x23 ；2xn42x4

12、由定理 3 知： xn 11xn231( xn1)2， xn 13xn23( xn3)2，2xn42 xn42 xn432xn4xn 11x n2x114 1xn 11xn1所以1，又3 ，所以 log2logxn 13x n3x134 3333x n 1xn3感谢下载载精品x111 ，令 anlog 3xn1，则数列 an 是首项为1 ，公比为2的等比数列所以又 log33xn3x1a 2n 1alogxn1xn1an3an 1132n 1 11由33所以xnan 11nn3xn3 ，得 xn3 n132利用函数“不动点”法求解较复杂的递推数列的通项问题，并不局限于以上三种类型，基于高考数列试题的难度，本文不再对更为复杂的递推数列进行论述，以下两个定理供有兴趣的同学探究证明。定理 4设 f ( x)ax2bxb22b( a0), 且 x0 是 f ( x) 的最小不动点，数列 an