初中数学第十六章二次根式教案人教版

1、目 录第十六章二次根式16.1二次根式/2第1课时二次根式的概念/2第2课时二次根式的性质/416.2二次根式的乘除/6第1课时二次根式的乘法/6第2课时二次根式的除法/8第3课时最简二次根式/1016.3二次根式的加减/12第1课时二次根式的加减/12第2课时二次根式的混合运算/14第十六章二次根式主题二次根式课型新授课上课时间教学内容16.1二次根式;16.2二次根式的乘除;16.3二次根式的加减.教材分析二次根式是在学生学习过有理式(包括整式和分式)的基础上,进一步学习最基本的,也是最常用的无理式(无理式还包括n次根式).学习本章不仅是为以后将要学习的“解直角三角形”“一元二次方程”和“

2、二次函数”等内容打下必要的基础,而且也是为继续学习高中数学提供了知识准备.教学目标1.知识与技能(1)理解二次根式的概念.(2)理解a(a0)是一个非负数,(a)2=a(a0),a2=a(a0).(3)掌握a·b=ab,ab=a·b(a0,b0),ab=ab(a0,b>0),ab=ab(a0,b>0).(4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.2.过程与方法(1)用具体数据探究规律,用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定,并进行计算.(2)利用逆向思维,得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.(3)利用最简二次根式的概念,

3、来对相同的二次根式进行合并,达到计算和化简的目的.3.情感、态度与价值观通过本章的学习培养学生利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,经历探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重难点重点:1.二次根式a(a0)是一个非负数;(a)2=a(a0);a2=a(a0)及其运用.2.二次根式加减乘除法的规定及其运用.3.最简二次根式的概念.难点:1.对a(a0)是一个非负数的理解;对等式(a)2=a(a0)及a2=a(a0)的理解及应用.2.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.知识结构课题二次根式课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能

4、理解二次根式的概念,并利用a(a0)的意义解答具体题目.2.过程与方法提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题.3.情感、态度与价值观通过本节的学习培养学生利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重难点重点:二次根式的概念.难点:利用“a(a0)”解决具体问题.教学活动设计二次设计课堂导入问题1:你能用带有根号的式子填空吗?(1)面积为3的正方形的边长为,面积为S的正方形的边长为.(2)一个长方形围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的宽为 m.(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与落下的高度h(单位:m)满足关系

5、h=5t2,如果用含有h的式子表示t,则t=.问题2:上面得到的式子分别表示什么意义?有什么共同特征?探索新知合作探究自学指导教师引导学生思考上面的问题,用算术平方根表示结果,可以进行适当的评价,帮助学生实现从数的算术平方根过渡到用含有字母的式子表示算术平方根.学生自己总结得出二次根式的概念.合作探究小组合作,探究以下例题:【例1】 下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2,33,1x,x(x>0),0,42,-2,1x+y,x+y(x0,y0).分析:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0.【例2】 当x是怎样的实数时,x-2在实数范围内有意义?分

6、析:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以x-20,x-2才有意义.续表探索新知合作探究【例3】 当x是多少时,2x+3+1x+1在实数范围内有意义?分析:使2x+3+1x+1在实数范围内有意义,必须同时满足2x+3中的2x+30和1x+1中的x+10.教师指导1.易错点:(1)a(a0)表示a的算术平方根,它是一个非负数,即a0.(2)从形式上看,二次根式必须有二次根号.(3)二次根式a(a0)中a可以表示数、单项式、多项式以及符合条件的一切代数式.2.归纳小结:(1)形如a(a0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.(2)要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是

7、非负数.3.规律方法:当a>0时,a表示a的算术平方根,因此a>0;当a=0时,a表示0的算术平方根,因此a=0.所以a(a0)是一个非负数.当堂训练1.下列式子中,是二次根式的是()(A)-7(B)37(C)x(D)x2.当x是多少时,2x+3x+x2在实数范围内有意义?3.已知a,b为实数,且a-5+210-2a=b+4,求a,b的值.板书设计二次根式的概念1.二次根式的定义2.二次根式有意义的条件教学反思课题二次根式课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能理解a(a0)是一个非负数和(a)2=a(a0),并利用它们进行计算和化简.2.过程与方法通过复习二次根式的概念,用逻辑

8、推理的方法推出a(a0)是一个非负数,用具体数据结合算术平方根的意义导出(a)2=a(a0);最后运用结论严谨解题.3.情感、态度与价值观通过本节的学习培养学生利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重难点重点:a(a0)是一个非负数;(a)2=a(a0)及其运用.难点:用分类思想的方法导出a(a0)是一个非负数;用探究的方法导出(a)2=a(a0).教学活动设计二次设计课堂导入a2等于什么?我们不妨取a的一些值,如2,-2,3,-3,分别计算对应的a2的值,看看有什么规律:22=4=2;(-2)2=4=2;32=9=3;(-3)2=9=3;你能概括一下

9、a2的值吗?探索新知合作探究自学指导思考:a(a0)是一个什么数呢?阅读课本后,根据算术平方根的意义填空:(4)2=;(2)2=;(9)2=;(3)2=;132=;722=;得出二次根式的性质:(a)2=a(a0).合作探究小组合作,探究以下例题【例1】 计算:(1)(1.5)2;(2)(25)2.探究:根据算术平方根的意义填空:22=;0.12=;232=;02=.通过计算我们可以得到22=2,0.12=0.1,232=23,02=0.一般地,根据算术平方根的意义:a2=a(a0).续表探索新知合作探究【例2】 化简(1)16;(2)(-5)2.教师指导1.易错点:(a)2与a2要注意平方与

10、开方的先后顺序.当先开方时,要求a0;当先平方时,a取任何实数都能使二次根式有意义.2.归纳小结:二次根式的性质(1)a0(a0).(2)(a)2=a(a0).(3)a2=|a|=a(a>0)0(a=0)-a(a<0)3.规律方法:当a是负数时,a2=-a,当a是非负数时,a2=a,所以在化简时,要注意把被开方数转化成一个数的平方的形式.当堂训练1.数a没有算术平方根,则a的取值范围是()(A)a>0(B)a0(C)a<0(D)a=02.(-3)2=.3.把下列非负数写成一个数的平方的形式:(1)5;(2)3.4;(3)16;(4)x(x0).板书设计二次根式的性质1.

11、二次根式的性质1:(a)2=a(a0);2.二次根式的性质2:a2=a(a0).教学反思课题二次根式的乘除课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能理解a·b=ab(a0,b0),ab=a·b(a0,b0),并利用它们进行计算和化简.2.过程与方法发展观察、归纳、概括等能力,发展有条理的思考能力以及语言表达能力.3.情感、态度与价值观通过师生共同活动,促进学生在学习活动中培养良好的情感,合作交流,主动参与的意识.教学重难点重点:a·b=ab(a0,b0),ab=a·b(a0,b0)及它们的运用.难点:发现规律,导出a·b=ab(a0,b0).教

12、学活动设计二次设计课堂导入1.上节课我们学习了什么是二次根式以及二次根式的特点,现在,我们一起来复习一下这些基本的知识吧.(引导学生复习基本知识)2.在有理数的运算中,我们学习了加、减、乘、除四则运算,那么,在我们学习了二次根式之后,大家有没有考虑过,两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算?怎样运算?让我们从研究乘法开始.探索新知合作探究自学指导自学课本,尝试理解二次根式的乘法法则:一般地,对二次根式的乘法规定为a·b=ab.(a0,b0)合作探究1.小组合作,探究以下等式:ab=a·b(a0,b0)根据这个式子,我们可以利用它对二次根式进行化简.思考这样一个问题,(-4)

13、×(-9)=(-4)×(-9)成立吗?为什么?2.通过例题,小组可以总结出化简二次根式的一般步骤:(1)将被开方数尽可能分解成几个平方数.(2)应用ab=a·b(a0,b0)(3)应用a2=a(a0)化简3.例题探究(小组合作)【例1】 若x-2·2-x=(x-2)(2-x)成立,试化简|x-4|+|x|.【例2】 已知12x是不大于20的整数,求整数x的值.续表探索新知合作探究教师指导1.易错点:在应用二次根式的乘法法则运算时,易忽略被开方数取非负数这个条件.2.归纳小结:(1)二次根式的乘法:a·b=ab(a0,b0).(2)积的算术平方根

14、的性质:积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即:ab=a·b(a0,b0).3.规律方法:(1)两个二次根式相乘,等于被开方数相乘,根指数不变.(2)被开方数a,b可以是非负的数字、字母或代数式.(3)此性质可推广到多个非负因数的情况.当堂训练1.若直角三角形两条直角边的边长分别为15 cm和12 cm,那么此直角三角形斜边长是()(A)32 cm(B)33 cm(C)9 cm(D)27 cm2.自由落体的公式为s=12gt2(g为重力加速度,它的值为10 m/s2),若物体下落的高度为720 m,则下落的时间是.3.一个底面为30 cm×30 cm长方体玻璃容器

15、中装满水,现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10 cm铁桶中,当铁桶装满水时,容器中的水面下降了20 cm,铁桶的底面边长是多少厘米?板书设计二次根式的乘法1.二次根式的乘法法则:a·b=ab(a0,b0)2.积的算术平方根:ab=a·b(a0,b0)教学反思课题二次根式的乘除课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)会进行简单的二次根式的除法运算.(2)使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.2.过程与方法引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法,解决数学问题.3.情感、态度与价值观通过本节课的学习使学生认识到事物之间是相互联系的,相互

16、作用的.教学重难点重点:会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简,会进行简单的二次根式的除法运算.难点:二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.教学活动设计二次设计课堂导入计算下列各题,观察有什么规律?(1)3649=;3649=.(2)916=;916=.3649 3649;916 916.探索新知合作探究自学指导自学课本,尝试完成以下活动1.请同学们回忆a·b=ab(a0,b0)是如何得到的?2.观察下面的例子,并计算:1625=(45) 2=451625=45类似地,再举几个例子,然后由这些特殊的例子,得出:ab=ab(a0,b>0)

17、合作探究小组合作,探究以下例题【例1】 计算:(1)243;(2)32÷118.续表探索新知合作探究【例2】 化简:(1)7121;(2)36a25b2.小组讨论,类比上节课内容,把ab=ab反过来,就得到ab=ab(a0,b>0),利用它就可以进行二次根式的化简.教师指导1.易错点:公式中a必须是非负数,b必须是正数,式子才成立.若a,b都是负数,虽然ab>0,ab有意义,但a和b在实数范围内无意义.当b=0时,ab无意义.2.归纳小结:(1)商的算术平方根的性质(注意公式成立的条件).(2)会利用商的算术平方根的性质进行简单的二次根式的化简.3.规律方法:(1)意义:

18、两个二次根式相除,等于被开方数相除,根指数不变.(2)被开方数a可以是非负的数字、字母或代数式,b可以是正的数字、字母或代数式.(3)商要化成最简二次根式.(4)运算中可以运用分式性质约分.当堂训练1.计算113÷213÷125的结果是()(A)275(B)27(C)2(D)272.已知x=3,y=4,z=5,那么yz÷xy的最后结果是.3.计算题:(1)945÷3212×32223;(2)a2ab·bba÷9b2a.板书设计二次根式的除法1.二次根式的除法运算ab=ab(a0,b>0)2.商的算术平方根ab=ab(a

19、0,b>0)教学反思课题二次根式的乘除课时第3课时上课时间教学目标1.知识与技能理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式化成最简二次根式.2.过程与方法通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念,并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求.3.情感、态度与价值观鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑,品尝成功的喜悦,激发学生应用数学的热情,培养学生主动探索,敢于实践,善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.教学重难点重点:最简二次根式的运用.难点:会判断一个二次根式是否是最简二次根式.教学活动设计二次设计课堂导入请同学们完成下列各题(请三位同学上台板

20、书)1.计算(1)35,(2)3227,(3)82a.2.现在我们来看本章引言中的问题:如果两个电视塔的高分别是h1 km,h2 km,那么它们的传播半径的比是.探索新知合作探究自学指导自学课本,尝试得到最简二次根式概念:若二次根式有如下两个特点:1.被开方数不含分母;2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.合作探究小组合作,探究以下例题.【例1】 (1)3512;(2)x2y4+x4y2;(3)8x2y3.【例2】 如图,在RtABC中,C=90°,AC=2.5 cm,BC=6 cm,求AB的长.续表探索新知合作探究教师指导1.

21、易错点:将根号内指数大于或等于2的因式移到根号外时,要注意字母的取值范围.2.归纳小结:最简二次根式的两个特点:(1)被开方数不含分母.(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.当堂训练1.化简-3227的结果是()(A)-23(B)23(C)63(D)22.化简x4+x2y2=.(x0)3.a-a+1a2化简二次根式后的结果是.板书设计最简二次根式1.最简二次根式的概念2.化简二次根式教学反思课题二次根式的加减课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能掌握同类二次根式的概念;掌握二次根式的加减法法则,并能够利用法则进行有关计算.2.过程与

22、方法经历探索二次根式加减法法则的过程,理解掌握二次根式的加减法法则.3.情感、态度与价值观经历探索二次根式加减法法则的过程,类比的数学思想方法.教学重难点重点:掌握二次根式的加减法法则,并能够利用法则进行有关计算.难点:类比合并同类项的法则得出二次根式加减法法则的推导过程.教学活动设计二次设计课堂导入1.二次根式计算、化简的结果符合什么要求?(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.2.问题:现有一块长7.5 dm,宽5 dm的木板,能否采用如图的方式,在这块木板上截出两个分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板?探索新知合作探究自学指导自学课本,尝试完成课本习题.

23、合作探究我们可以利用已学知识或已有经验来分组讨论、交流,看看5+5到底等于什么?小组展示讨论结果.教师引导验证:设5=a,类比合并同类项的方法计算.学生思考,得出先化简,再合并的解题思路5-125=5-55=-45可由这两道题目总结出方法.先化简,再合并5-50+20=5-52+25=35-52学生观察并归纳:二次根式化为最简二次根式后,被开方数相同的能合并.【例1】 计算:(1)9a+25a;(2)80-45.分析:第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步,将相同的最简二次根式进行合并.【例2】 计算:(1)212-613+348;(2)(12+20)+(3-5).续表探索新知

24、合作探究探究注意点1.教师出示问题,指定学生板演,其他学生先独立完成,小组内讨论交流,教师巡视指点迷津.2.计算过程中,提示学生二次根式的加减与整式的加减相比较,强调哪些二次根式能合并,哪些不能合并.3.学生先自主、对于有困难的同学可以合作完成.教师指导1.易错点:把二次根式被开方数中能开得尽方的因数分解并开出来,或把被开方数的分母开出来,化成最简二次根式后再进行加减运算,注意不是被开方数相同的二次根式不能合并.2.归纳小结:二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,找出被开方数相同的二次根式,然后把被开方数相同的二次根式分别合并.3.方法规律:二次根式的加减和整式的加减很相似,前者是

25、合并被开方数相同的二次根式,后者为合并同类项.当堂训练1.以下二次根式:12;22;23;27中,与3是同类二次根式的是()(A)和(B)和(C)和(D)和2.计算5a-3b-7a+9b=.3.计算:(1)18+(98-27);(2)(24+0.5)-18-6.板书设计二次根式的加减1.二次根式的加减2.例题教学反思课题二次根式的加减课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上,使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系,在比较中求得方法,并能熟练地进行二次根式的混合运算.2.过程与方法(1)对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较

26、,要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用.(2)通过引导,在多解中进行比较,寻求有效快捷的计算方法.3.情感、态度与价值观通过独立思考与小组讨论,培养良好的学习态度,以及自我意识,并且注重培养学生的类比思想.教学重难点重点:混合运算的法则,明确三级运算的顺序,运算律的合理使用.难点:灵活运用因式分解、约分等技巧,使计算简便.教学活动设计二次设计课堂导入如果梯形的上、下底边长分别为22 cm,43 cm,高为6 cm,那么它的面积是多少?毛毛是这样算的:梯形的面积:12(22+43)×6=(2+23)×6=2×6+23×6=2×6+218=23+62(cm2).他的做法正确的吗?由此可以看出,二次根式混合运算的依