中考数学专题8动态几何与函数问题含答案

1、中考数学专题8 动态几何与函数问题【例1】 如图所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线.将直线平移，平移后的直线与轴交于点D，与轴交于点E.（1）将直线向右平移，设平移距离CD为（t0），直角梯形OABC被直线扫过的面积（图中阴影部份）为，关于的函数图象如图所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，且NQ平行于x轴，N点横坐标为4，求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积.（2）当时，求S关于的函数解析式.【解】（1）由图（2）知，点的坐标是（2，8）由此判断：； 点的横坐标是4，是平行于轴的射线， 直角梯形的面积为：. (3分)（2）当时

2、，阴影部分的面积=直角梯形的面积的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系) . . 【例2】已知：在矩形中，分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点（1）求证：与的面积相等；（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）证明：设，与的面积分别为，由题意得，即与的面积相等（2）由题意知：两点坐标分别为， ，当时，有最大值（3）解：设存在这样的点，将沿对折

3、后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为由题意得：，又， ，解得 存在符合条件的点，它的坐标为【例3】如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，C90°，BC16，DC12，AD21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。（1）设BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）是否存在时刻t，使得PQBD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理

4、由。【解析】解： （1）如图1，过点P作PMBC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。ABMCDPQ图1PMDC12 QB16t，S×12×(16t)96t （2）由图可知：CMPD2t，CQt。热以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况。若PQBQ。在RtPMQ中，由PQ2BQ2 得 ，解得t； 若BPBQ。在RtPMB中，。由BP2BQ2 得： 即。由于7040无解，PBBQ 若PBPQ。由PB2PQ2，得整理，得。解得（舍）综合上面的讨论可知：当t秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。 （3）设存在时刻t，使得PQBD。如图2，过点Q作QE

5、ADS，垂足为E。由RtBDCRtQPE， PAEEDCQBO图2得，即。解得t9 所以，当t9秒时，PQBD。 【例4】ACBPQED 在RtABC中，C=90°，AC = 3，AB = 5点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止设点P、Q运动的时间是t秒（t0）（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；（2）在点P

6、从C向A运动的过程中，求APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值若不能，请说明理由；AC)BPQD图3 E)F（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值 解：（1）1，； （2）作QFAC于点F，如图3， AQ = CP= t，由AQFABC， ACBPQED图4 得 ，即（3）能ACBPQED图5 当DEQB时，如图4 DEPQ，PQQB，四边形QBED是直角梯形 此时AQP=90°由APQ ABC，得，即 解得 AC(E)BPQD图6G如图5，当PQBC时，DEBC

7、，四边形QBED是直角梯形此时APQ =90°由AQP ABC，得 ，即 解得（4）或【注：点P由C向A运动，DE经过点C方法一、连接QC，作QGBC于点G，如图6AC(E)BPQD图7G，由，得，解得方法二、由，得，进而可得，得， 点P由A向C运动，DE经过点C，如图7，【例5】如图，在中，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动设，（1）求点到的距离的长；（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；ABCDERPHQ（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由解：（1）

8、，点为中点，（2），即关于的函数关系式为：（3）存在，分三种情况：ABCDERPHQM21当时，过点作于，则，ABCDERPHQ，ABCDERPHQ当时，当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，综上所述，当为或6或时，为等腰三角形第二部分 发散思考【思考1】如图所示，菱形的边长为6厘米，从初始时刻开始，点、同时从点出发，点以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，设、运动的时间为秒时，与重叠部分的面积为平方厘米（这里规定：点和线段是面积为的三角形），解答下列问题： （1）点、从出发到相遇所用时间是 秒；（2）点、从开始运动到停止的过程

9、中，当是等边三角形时PQABCD的值是 秒；PQABCD（3）求与之间的函数关系式【思考2】已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.(1)填空：菱形ABCD的边长是 、面积是 、 高BE的长是 ；(2)探究下列问题：若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值； 若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，

10、使得APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值.【思考3】已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒（1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围CPQBAMN第三部分 思考题解析【思考1解析】解：（1）6 （2）8 （3）当0时，Q1ABCDQ2

11、P3Q3EP2P1O 当3时，= 当时，设与交于点(解法一)过作则为等边三角形 P3OABCDQ3GHF （解法二）如右图，过点作于点，于点过点作交延长线于点 又 又 【思考2解析】（1）5 , 24, （2）由题意，得AP=t，AQ=10-2t. 如图1,过点Q作QGAD，垂足为G，由QGBE得 AQGABE,QG=, 1分(t5). 1分(t5).（这个自变量的范围很重要）当t=时，S最大值为6. 要使APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需APQ为等腰三角形即可.当t=4秒时，点P的速度为每秒1个单位，AP=. 以下分两种情况讨论:第一种情况：当点Q在CB上时, PQBE>PA，只存在点Q1,使Q1A=Q1P.如图2,过点Q1作Q1MAP，垂足为点M，Q1M交AC于点F,则AM=.由AMFAODCQ1F,得, ,. CQ1=.则, . 第二种情况：当点Q在BA上时,存在两点Q2,Q3,分别使A P= A Q2,PA=PQ3.若AP=AQ2，如图3,CB+BQ2=10-4=6.则,. 若PA=PQ3，如图4,过点P作PNAB，垂足为N，由ANPAEB,得. AE= , AN.AQ3=2AN=, BC+BQ3=10-则. 综上所述，当t= 4秒，以