八个有趣模型搞定外接球内切球问题(学生版))

1、实用标准八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1图2图3图4文档大全方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2=a2+b2 +c2 ,即2R = Ja2 +b2 +c2 ,求出R例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是（）A. 16n B . 20冗 C . 24nD . 32冗(2)若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为J3 ,则其外接球的表面积是(3)在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且 AM _L MN，若侧棱SA=2/3,则正三棱锥S -

2、ABC外接球的表面积是（4）在四面体S - ABC中，SA_L平面ABC ,/BAC =120 ,SA= AC =2,AB=1,则该四面体的外接球的表面积为（A.11 二 B.7 二c 10C.二3c 40D.二3（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6、4、3,那么它的外接球的表面积是 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 =PA2+(2r)2 仁 2R =4PA2 + (2r)2 ；（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为 类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1.题设：如图5, P

3、A_L平面ABC解题步骤：第一步：将 MBC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD，连接PD ,则PD必过球心O ；第二步：O1为AABC的外比所以 OO1 _L平面ABC ,算出小圆。的半径O1D =r （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得ab cc -1 八=2r）, OO| = PA ；sin A sin B sinC2 R2 = r2OO12 = R - r2 OO122.题设：如图6, 7, 8, P的射影是 MBC的外心u 三棱锥P - ABC的三条侧棱相等 u三棱锥P-ABC的底面AABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点图8-1P图8-2图8-3解题

4、步骤: 第一步：确定球心 O的位置，取AABC的外心O1,则P,O,O1三点共线;第二步：先算出小圆 O1的半径AO1 = r ,再算出棱锥的高 PO1 =h （也是圆锥的高）第三步:勾股定理：OA2 =O1A2+0102= R2 =(h R)2 +r2 ,解出 R1 .题设：如图9-1 ,平面PAC _L平面ABC，且AB _L BC （即AC为小圆的直径）第一步：易知球心 0必是APAC的外心，即APAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC =2r ; a b c第二步：在 APAC中，可根据正弦定理 =2R,求出Rsin A sin B sin C2 .如图9-2 ,平面PAC _L平面

5、ABC ,且AB _L BC （即AC为小圆的直径）0C2 =01C2 0102 M R2 = r2 0102 M AC =2 R2 -01023 .如图9-3 ,平面PAC _L平面ABC，且AB _L BC （即AC为小圆的直径），且P的射影是AABC的外 心之 三棱锥P - ABC的三条侧棱相等 二三棱P - ABC的底面AABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆 锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心 0的位置，取 MBC的外心。1 ,则P,0,01三点共线；第二步：先算出小圆 O1的半径AO1 = r,再算出棱锥的高 PO1=h (也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：OA2 =O1A2+010

6、2= R2 =(h R)2+r2 ,解出 R4 .如图9-3 ,平面PAC _L平面ABC ,且AB _L BC (即AC为小圆的直径)，且PA _L AC ,则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 = PA2 + (2r )2- 2R = JPA2 + (2r)2 ； R2 =r20012 = R = ., r20012例3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1,底面边长为2J3,则该球的表面积为 (2)正四棱锥S -ABCD的底面边长和各侧棱长都为 ，2 ,各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为(3)在三棱锥P ABC中，PA =PB =PC =，3，侧棱PA与底面

7、ABC所成的角为60 1则该三棱锥外接球的体积为()二 _4 二A.二 B. 一 C. 4 二 D. 33(4)已知三棱锥S - ABC的所有顶点都在球 0的求面上，&ABC是边长为1的正三角形，SC为球0的直径，且SC = 2 ,则此棱锥的体积为(B.610-1图 10-2图 10-3类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）,图10-2 ,图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以 是任意三角形）第一步：确定球心 。的位置，O1是 MBC的外比 则OO1 _L平面ABC ；1 -1 ,第一步：算出小圆 O1的半径AO1=r, OO1 = AA =

8、h （ AA =卜也是圆枉的局）；2 2第三步：勾股定理： OA2 =O1A2+oq2= R2=（,）2+r2= r 12+（斗2解出r 1122例4 （1） 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上, 9 . 且该六棱柱的体积为-，底面周长为3 ,则这个球的体积为8（2）直三棱柱 ABC A B1c1的各顶点都在同一球面上，若 AB = AC = AA1 = 2 , / BAC =120°,则此球的表面积等于,（3）已知AEAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA = EB = 3, AD = 2,/AEB = 601则多面体

9、E -ABCD的外接球的表面积为 。在直三棱柱abc-abg中'AB = 4，AC=6，A7，AA1=4则直三棱柱ABc-AB。的外接球的表面积为类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠 （如图11）图11第一步：先画出如图所示的图形，将ABCD画在小圆上，找出 ABCD和AA'BD的外心H1和H2 ；第二步：过H/DH2分别作平面BCD和平面A'BD的垂线，两垂线的交点即为球心O,连接OE,OC;第三步：解 AOEHi,算出OHi,在RtAOCHi中，勾股定理： OH；+CH； = OC2例5三棱锥P - ABC中，平面PAC _L平面AB

10、C , PAC和 ABC均为边长为2的正三角形，则三棱 锥P - ABC外接球的半径为 .类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径（AB = CD , AD = BC , AC = BD ） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为 a,b,c, AD=BC=x, AB = CD = y , AC = BD = z，列方程组,a2 +b2 =x2«b2 +c2 = y2 = (2R)2 =a2 +b2 +c2y2a21 . 1 .补充： Va_bcD =abc-abc 4= - a

11、bc 63第三步：根据墙角模型,2R = . a2 b2 c22图12实用标准(1)题解答图，求出R,例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6 (1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形 (正四面体的截面)的面积是 (2) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是()- 312A 速b V3c 迎d434(3)在三棱锥 A BCD 中，AB=CD=2, AD = BC=3,AC = BD=4,则三棱车B A - BCD外接球的表面积为 (4)如图所示三棱锥 A-BCD ,其中AB=C

12、D =5, AC = BD =6, AD = BC = 7,则该三棱锥外接球的 表面积为.(5)正四面体的各条棱长都为<2 ,则该正面体外接球的体积为文档大全类型七、两直角三角形拼接在一起（斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型P图13题设：/APB =/ACB =90 :求三棱锥P - ABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O ,连接1一， 一，OP,OC ,则OA = OB=OC =OP=AB ,二O为三棱锥P ABC外接球球心，然后在 OCP中求出 半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定 值。例7 （1）在矩形A

13、BCD中，AB=4, BC = 3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B - AC - D ,（2）在矩形ABCD中,的外接球的表面积为AB=2, BC=3,沿BD将矩形ABCD折叠,连接AC ,所得三棱锥A - BCD则四面体 ABCD的外接球的体积为（A.塔：B.您二C129)125D12563类型八、锥体的内切球问题1 .题设：如图14,三棱锥P-ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；1第二步：求DH= BD, PO = PHr, PD是侧面AABP的高； 3第三步：由APOE相似于APDH ,建立等式： 4=2°

14、,解出r DH PD2 .题设：如图15,四棱锥P-ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；1第一步：求FH=BC, PO = PH r , PF是侧面&PCD的高； 2第三步：由APOG相似于APFH ,建立等式： OGnFO 解出CHF PF3 .题设：三棱锥 PABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第一步：设内切球的半径为r ,建立等式：Vp _ABC =Vo_ABC ' Vo _PAB，Vo_PAC，Vo _PBC =1

15、1111-S ABC r - SPAB r - SPAC r ' _ SPBC r =6(S ABC . S PAB . SPAC ' S PBC ) r 33333第三步：解出3VP jABCSO -ABC, SO _PAB' SO-PAC' SO -PBC习题：1 .若三棱锥S - ABC的三条侧棱两两垂直，且SA = 2 , SB = SC = 4 ,则该三棱锥的外接球半径为 （）A. 3B. 6C. 36D. 92 .三棱锥S-ABC中，侧棱SA,平面ABC ,底面ABC是边长为V3的正三角形，SA=2j3 ,则该三 棱锥的外接球体积等于 3 .正三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为J3的正三角形，侧棱长为 2,则该三棱锥的外