高中数学-3.1.1《两角差的余弦公式》课件-新人教a版必修4上课讲义

1、高中数学-3.1.1两角差的余弦公式课件-新人教A版必修43.3.若已知若已知，的三角函数值，那么的三角函数值，那么cos(cos()的值是否确定？它与的值是否确定？它与，的三角函数值有什么的三角函数值有什么关系？这是我们需要探索的问题关系？这是我们需要探索的问题. . 探究（一）：探究（一）：两角差的余弦公式两角差的余弦公式 思考思考1 1：设设，为两个任意角为两个任意角, , 你能你能判断判断cos(cos()coscoscoscos恒成恒成立吗立吗? ?cos(30cos(303030) )cos30cos30cos30cos30sin60sin120cos60cos120cos( (1

2、2060) )sin30sin60cos30cos60cos( (6030) )32323232121212321221思考思考2 2：我们设想我们设想cos(cos()的值与的值与，的三的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？什么发现？思考思考3 3：一般地，你猜想一般地，你猜想cos(cos()等等于什么？于什么？cos(cos()coscoscoscossinsinsinsin思考思考4 4：如图，设如图，设，为锐角，且为锐角，且，角角的终边与单位圆的交点为的终边与单位圆的交点为P P1 1, P, P1 1OPOP，那么，那么c

3、os(cos()表示哪条线段长？表示哪条线段长？MPP1Oxycos(cos()=OM)=OM思考思考5 5：如何用线段分别表示如何用线段分别表示sinsin和和coscos？PP1OxyA Asinsincoscos思考思考6 6：coscoscoscosOAcosOAcos，它表示哪条，它表示哪条线段长？线段长？sinsinsinsinPAsinPAsin，它表示哪条线段长？，它表示哪条线段长？PP1OxyA AsinsinsinsincoscoscoscosB BC C思考思考7 7：利用利用OMOMOBOBBMBMOBOBCPCP可得什可得什么结论？么结论？sinsinsinsinco

4、scoscoscosPP1OxyA AB BC CM Mcos(cos()coscoscoscossinsinsinsinx xy yP PP P1 1M MB BO OA AC C sincoscoscossinsin+1 11 1思考思考8 8：上述推理能说明对任意角上述推理能说明对任意角，都有都有cos(cos()coscoscoscossinsinsinsin成立吗？成立吗？思考思考9 9：根据根据coscoscoscossinsinsinsin的的结构特征，你能联想到一个相关计算原结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？理吗？思考思考1010：如图，设角如图，设角，的终边与单位圆的交

5、的终边与单位圆的交点分别为点分别为A A、B B，则向量，则向量 、 的坐标分别是什的坐标分别是什么？其数量积是什么？么？其数量积是什么？BB BO OA Ax xy y=(cos=(cos,sin),sin)=(cos=(cos,sin),sin)O Buuu rcoscossi nsi nO A O Babab=+uuu r uuu r思考思考1111：向量与的夹角向量与的夹角与与、有什么关系？根据有什么关系？根据数量积定义，数量积定义， 等于什么？由此可得什么结论？等于什么？由此可得什么结论？ O BO Auuu ruuu r2k2k或或2k2k B BO OA Ax xy ycos(c

6、os()coscoscoscossinsinsinsin思考思考1212：公式公式cos(cos()coscoscoscossinsinsinsin称为称为差角的余弦公式差角的余弦公式，记，记作作 ，该公式有什么特点？如何记忆？，该公式有什么特点？如何记忆？C探究（二）：两角差的余弦公式的变通探究（二）：两角差的余弦公式的变通 思考思考1 1：若已知若已知和和的三角函数值，如何求的三角函数值，如何求coscos的值？的值？ cos coscos(cos()cos(cos() cos) cos sin(sin()sin. )sin. 思考思考2 2：利用利用()可得可得coscos等于什么？等于

7、什么？coscoscos(cos()cos(cos()cos)cossin(sin()sin.)sin.思考思考3 3：若若coscoscoscosa，sinsinsinsinb b，则，则cos(cos()等于什么？等于什么？222cos()2ab思考思考4 4：若若coscoscoscosa，sinsinsinsinb b，则，则cos(cos()等于什么？等于什么？222cos()2ab例例1 1 利用余弦公式求利用余弦公式求cos15cos15的值的值. . 例例2 2 已知已知 是第三象限角是第三象限角, ,求求cos(cos()的值的值. .4i n,5s a=,2pap骣桫，5c

8、os,13b= -理论迁移理论迁移例例3 3 已知已知 且且 , , 求求 的值的值. . 1cos()cossi n()si n,3abbabb+=)cos(4223,课堂小结课堂小结1.1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会等，我们要深刻理解和领会. .2.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时的余弦（或正弦）值时, , 要注意该角所在的要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号象限，从而确定该角的三角函数值符号. .3.3.在差角的余弦公式中，在差角的余弦公式中，既可以既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，角的变换，如，22()() ) 等等. . 同时，公式的应用具有同时，公式的应