2解三角形角度面积问题

1、 第2课时角度、面积问题 1.能把方向角等角度条件转化为解三角形 的条件，解决航海等角度问题.2.掌握用两边及其夹角表示的三角形面积公式. 知识点一角度问题 测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物 的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中， 该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个 三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解. 知识点二用两边及其夹角表示的三角形面积公式 111 一般地，二角形面积等于两边及夹角正弦乘积的一半，即SAABc=absinC=b

2、csinA=acsinB. 1 思考1SAABc=absinC中，bsinC的几何息义是什么？ 答案BC边上的高. 思考2如何用AB,AD,角A表示？ABCD的面积？ 答案S?ABCD=ABADsinA. 1 .仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角. 2 .在处理方向角时，两个正北方向线视为平行.（V） 3 .航海问题中，所求结果中的角度通常要化为方向角或方位角.（V） 1 4 . ABC的面积S=4Rabc（其中R为ABC外接圆半径）.（V） 题型一角度问题 例1如图，在海岸A处发现北偏东45。方向，距A处（51）海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75。方向，距A处2海里的C处的我方缉私船

3、奉命以10班海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30。方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间. 解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船, 则CD=10BD=10t, 在ABC中，由余弦定理，有 BC2=AB2+AC2-2ABACcosA=（51）2+222（小一1）2cos120=6. AC 又/ABCC（0；60）,ABC=45 , .B点在C点的正东方向上, ./CBD=90 +30=120O, 10.3t 又/BCDC（0；60）,BCD=30 , .缉私船沿北偏东60。的方向行驶. 又在4BCD

4、中，/CBD=120；/BCD=30； .ZCDB=30 ,.-.BD=BC,即10t=册. t=16小时15分钟. .缉私船应沿北偏东60。的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟. 反思感悟解决航海问题先根据条件，画出示意图，然后把方向角、速度、时间等条件转化 为三角形的角、边，化为解三角形问题. 跟踪训练1甲船在A点发现乙船在北偏东60。的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行 驶，已知甲船的速度是每小时43a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解如图所示.设经过t小时两船在C点相遇,BC=F.又 sinAsin/ABC .sin/ABC= ACsinA2sin1

5、20炮 BC 在ABCD中，由正弦定理得 BD CD sinZBCDsin/CBD .sin/BCD= CD BDsin/CBD10tsin120 则在4ABC中， BC=at海里， AC=V3at海里， B=90 +30=120 , ,BCAC阳 由sin/CABsinB信 3 ./BCsinBatxsin120 21 sin/CAB=和=尸=-p=, AC;3at.32 0 ZCAB60 ,.CAB=30 , ./DAC=60-30=30 , 甲船应沿着北偏东30。的方向前进，才能最快与乙船相遇. 题型二用两边夹角表示三角形面积 多维 探究 命题角度1求三角形面积 A. 9 在ABC中,

6、B. 18C. 已知 BC=6,A=30 ,B=120 ,则4ABC的面积为( D.183 答案 解析 由正弦定理得 AC BC sinBsinA AC= BCsinB6Xsin120 sinA sin30 =6JAC234567+AM2-2ACAMcosA Q2_2X3xxf)噜.8858 (2)当tiwtw7时，乙在CB上的Q点，设甲在P点,8 QB=AC+CB-8t=7-8t,PB=AB-AP=5-5t, f(t)=PQ=yQB2+PB2-2QBPBcosB =7-8t2+5-5t2-27-8t55tX、 =425t2-42t+i8, 当7twi时，乙在B点不动，设此时甲在点P,8 f(

7、t)=PB=AB-AP=5-5t, 2512-421+18, .f(t)= 7 7- -8 8 上 AlAl 1.在4ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=4,b=3,0=60 ,则ABC的面积为（） A.3B.3#C.6D.6V3 答案B 11 斛析SAABc=gabsinC=2*4X3Xsin60=33. 2.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15。,向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45 ,若CD=50m,山坡对于地平面的坡度为a则cos。等于（） A.23B.22C.3-1D.2-1 ARAC 解析在AABC中

8、,由正弦定理得而犷三 e， AC=100. 在ADC中, AC CD sin0+90sin15， 八cc。、ACsin15厂 cos0=Sin（。+90）=CD=3-1. 1 3,已知三角形的面积为4，其外接圆的面积为兀，则这个二角形白二边之积为（） “，cc八1r A.1R.2CgD.4 答案A 解析设三角形外接圆的半径为R,则由我=&彳导R=1,y=%bsinC=abc=abc=4, abc=1. 4.某船开始看见一灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行45km后，看见 该灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是km. 答案15,3 解析设灯塔位置为A,船的初始位置为O,

9、船的终止位置为B, 由题意知/AOB=30 ,ZOAR=120；则/OBA=30 , 所以由正弦定理，得AB=15*, 即此时船与灯塔的距离是15.3km. 1.各种测量问题本质上是把不能或不易直接测量的量转化为用能直接测量的量表示. 角形测量中易获得的数据方向角等多以铅垂线、正南正北为始边，需要准确地转化为三角形的元素. 111 2.(1)对于面积公式S=/absinC=acsinB=bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 一、选择题 1.如图已知两座灯塔A,B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东

10、40 , 灯塔B在观察站C的南偏东60 ,则灯塔A在灯塔B的() A.北偏东10 C.南偏东10B.北偏西10 D.南偏西10 答案B 4；3。 -x=-sin(120-力 30 120 a3 C.a+3=90 B. a=3 D.a+3=180 答案B 3.当太阳光与水平面的倾斜角为 60。时，一根长为2m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最 长，则竹竿与地面所成的角是（ A.15 B,30 C.45 D. 60 解析设竹竿与地面所成的角为 a,影子长为xm. 2一、一，一2 由正弦定理，得温 X sin120民 当120-“=90,即 a=30时，X有最大值. 4 .在ABC中，AB=3,BC

11、=#3,AC=4,则ABC的面积是（） A.3mB.323C.3D，3 答案A -A* SAABC=!bcsinA=X4X3X 22 CC_兀Ir,_ 5 .在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c8=（a-b）2+6,C=-,则ABC 的面积是（） A.V3B.2CD.3V3 答案C 解析由题意得c2=a2+b22ab+6, 由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab, 2ab+6=ab,即ab=6. c13,3 SAABC=2absinC=2. a2+b2-c2 6.（2018全国ID）4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为4

12、, 则C等于（） 兀兀兀兀 A-B.-C.D.-2346 答案C 1.sinC=cosC,即tanC=1. 又.CC（0,向，.C=4. 7.如图，两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面，则从建 筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为（） 解析 cosA= AB12+AC2BC2 2ABAC 9+16131 =二. 2X3X42 瞪=3.3. 解析 1 -S=2absinC= a2+b2c2 4 2abcosC 4 A.30 B.45 C.60 D.75 答案B 解析依题意可得AD=20/10,AC=30/5, 又CD=50,所以在AACD中， AC12+AD2

13、CD2 由余弦定理得cos/CAD=2ACAD 30v52+20痂2-5026000亚 2X30粥20阮6000亚2 又0 /CAD180；所以/CAD=45 , 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45： A.5B.V5C.2D.1 答案B 利用余弦定理，得AC2=AB2+BC22ABBCcosB=1+2+2=5,即AC=J5;1 8.若钝角ABC的面积是2, AB=1,BC=2,则AC等于（） 当B为钝角时，cosB=一 -si/B- 解析:钝角4ABC的面积是 1 2 当B为锐角时，cosB=41-sin2B=手, 利用余弦定理，得AC2=AB2+BC22ABBCcosB=1+22=1,即A

14、C=1, 此时AB2+AC2=BC2,即 ABC为直角三角形，不合题意，舍去. 故AC=木. 二、填空题 9 .在ABC中，角A,B,C的对边a,b,c满足b2+c2=a2+bc,且bc=8,则ABC的面积为. 答案23 解析因为b2+c2=a2+bc,所以cosA=-=1,所以A=三角形面积S=1bcsinA 2bc232 =1X8X-23=2.3. 10 .已知三角形ABC的三边分别为a,b,c,面积S=a2-(b-c)2,则cosA=. 15 答案行 解析S=a2(bc)2=a2b2c2+2bc=2bccosA+2bc, .c1.1 S=bcsinA,.gbcsinA=2bc2bccos

15、A. 即44cosA=sinA. 平方得17cos2A32cosA+15=0. 即(17cosA-15)(cosA-1)=0. 得cosA=1(舍)或cosA=15. 11 .如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险， 在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30。、相距20海里的C处的乙船，现 乙船朝北偏东。的方向沿直线CB前往B处救援，则cos。的值为.答案ir 解析如题图知，在 ABC中，AB=40,AC=20,ZBAC=120 , 由余弦定理得BC2=AB2+AC22ABACcos120=2800, 所以BC=20V7, 由正弦定理得 AB

16、21 sin/ACB=BCsin/BAC=, 由/BAC=120知/ACB为锐角, 故cos0=cos(/ACB+30)=cos/ACBcos30-sinZACBsin30 三、解答题 12 .甲船在A处，乙船在A的南偏东45方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速 度沿南偏西15。方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？ 解如图所示，设用t小时甲船能追上乙船，且在C处相遇. 在ABC中，AC=28t,BC=20t,AB=9, ZABC=180-45-15=120 . 由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos/ABC, 1 即(28t)2=92+(

17、20t)22X9X20tx万， 39 o.21 14. 128t2-60t-27=0,.=1或t=痛(舍去)，432 3 甲船用3小时能最快追上乙船. 1 13.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c已知A=4，b2-a2=-c2. 求tanC的值； (2)若4ABC的面积为3,求b的值. 111c 解(1)由b2a2=2c2及正弦定理得sin2B2=sin2C,所以一cos2B=sin2C. ,A兀/口 r,八3 由A=4,付B+C=4为 3cc.C- 则一cos2B=cos2兀2C=sin2C =2sinCcosC, 所以sin2C=2sinCcosC,又sinCw0,解得ta

18、nC=2. 25.5 (2)由tanC=2,C(0,向，得sinC=,cosC=三. 因为sinB=sin(A+C)=sin:+C,所以sinB=10. 由正弦定理得c=bs与C=b,sinB3 一一一兀1L,. 又因为A=bcsinA=3,所以bc=6-72,故b=3. 14 .如图，四边形ABCD中，B=C=120 ,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于( A.V3B.5V3C.6V3D.7V3 答案B 解析连接BD,四边形面积可分为 ABD与ABCD两部分面积的和,由余弦定理，得BD=2弧1_ SABCD=2BCXCDsin120=yf3, ZABD=120 30 =90 ,1_ 一SAABD=2ABXBD=4书. S四边形ABCD=3/3+43/3=53. 15 .为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处 不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西V3千米有一条北偏东600方向的公路，在此处检查员用手机接