202X_202X学年高中数学第三章推理与证明4反证法课件北师大版选修1_22

1、4反证法第三章推理与证明1.了解反证法是间接证明的一种根本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.学习目标问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学(1)定义：我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，假设推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.(2)反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与 矛盾，或与 矛盾，或与 矛盾等.条件知识点反证法假设定义、公理、定理思考辨析 判断正误1.反证法属于间接证明问题的方法.()2.反证法

2、的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.()3.反证法的实质是否认结论导出矛盾.()题型探究类型一用反证法证明否认性命题例例1a，b，c，dR，且，且adbc1，求证：，求证：a2b2c2d2abcd1.证明假设证明假设a2b2c2d2abcd1.因为因为adbc1，所以所以a2b2c2d2abcdbcad0，即即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20.所以所以ab0，cd0，ad0，bc0，那么那么abcd0，这与条件这与条件adbc1矛盾，故假设不成立矛盾，故假设不成立.所以所以a2b2c2d2abcd1.证明反思与感悟反思与感悟(1)用反证法证明否认性命题的适用类型：用反证法

3、证明否认性命题的适用类型：结论中含有结论中含有“不不“不是不是“不可能不可能“不存在等词语的命题称为否不存在等词语的命题称为否认性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证认性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法法.(2)用反证法证明数学命题的步骤用反证法证明数学命题的步骤证明a，b，c成等比数列，b2ac， ac，从而abc.这与a，b，c不成等差数列相矛盾，类型二用反证法证明“至多、至少类问题证明证明假设证明假设(2a)b，(2b)c，(2c)a都大于都大于1.因为因为a，b，c(0,2)，所以，所以2a0,2b0,2c0.即33，矛盾.所以(2a)

4、b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.例例2a，b，c(0,2)，求证：，求证：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于不能都大于1.证明a，b，c都是小于1的正数，1a,1b,1c都是正数.反思与感悟应用反证法常见的反思与感悟应用反证法常见的“结论词与结论词与“反设词反设词当命题中出现当命题中出现“至多至多“至少等词语时，直接证明不易入手且讨论较至少等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词与结论词与“反设词如反设词如下：下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至

5、少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n1个p且q綈p或綈q 证明跟踪训练跟踪训练2a，b，c是互不相等的实数，求证：由是互不相等的实数，求证：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和和y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点轴有两个不同的交点.证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，轴有两个不同的交点，由由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb，得其对应方程的得其对应方程的14b24ac0，24c24

6、ab0，且且34a24bc0.同向不等式求和，得同向不等式求和，得4b24c24a24ac4ab4bc0，所以所以2a22b22c22ab2bc2ac0，所以所以(ab)2(bc)2(ac)20，所以，所以abc.这与题设这与题设a，b，c互不相等矛盾，互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证因此假设不成立，从而命题得证.例例3求证：方程求证：方程2x3有且只有一个根有且只有一个根.类型三用反证法证明唯一性命题证明证明证明2x3，xlog23.这说明方程这说明方程2x3有根有根.下面用反证法证明方程下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的的根是唯一的.假设方程假设方程2x3至少有两个根至少有两

7、个根b1，b2(b1b2)，那么那么 3, 3，两式相除得，两式相除得 1，b1b20，那么，那么b1b2，这与，这与b1b2矛盾矛盾.假设不成立，从而原命题得证假设不成立，从而原命题得证.12b22b122bb反思与感悟用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明反思与感悟用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一有且只有一个的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性个的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论是以当证明结论是以“有且只有有且只有“只有一个只有一个“唯一存在等形式出现的命题时，可先证唯一存在等形式出现的命题时，可先证“存在性，由于假设存在性，由于假设“唯一性结论

8、不成立易导出矛盾，因此可用反唯一性结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性证法证其唯一性.跟踪训练跟踪训练3假设函数假设函数f(x)在区间在区间a，b上是增加的，求证：方程上是增加的，求证：方程f(x)0在区间在区间a，b上至多有一个实根上至多有一个实根.证明证明假设方程证明假设方程f(x)0在区间在区间a，b上至少有两个实根，上至少有两个实根，设设，为其中的两个实根为其中的两个实根.因为因为，不妨设，不妨设，又因为函数又因为函数f(x)在在a，b上是增加的，上是增加的，所以所以f()f().这与假设这与假设f()0f()矛盾，矛盾，所以方程所以方程f(x)0在区间在区间a，b上至多有一

9、个实根上至多有一个实根.达标检测1.证明“在ABC中至多有一个直角或钝角，第一步应假设A.三角形中至少有一个直角或钝角B.三角形中至少有两个直角或钝角C.三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角12345答案12345答案2.用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60，应先假设这个三角形中A.有一个内角小于60 B.每一个内角都小于60C.有一个内角大于60 D.每一个内角都大于6012345答案3.用反证法证明“在同一平面内，假设ac，bc，那么ab时，应假设A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于cC.ab D.a与b相交12345答案4.下面关于反证法的说法正确的有_.

10、(填序号)反证法的应用需要逆向思维；反证法是一种间接证明方法，否认结论时，一定要全面否认；反证法推出的矛盾不能与相矛盾；使用反证法必须先否认结论，当结论的反面出现多种可能时，论证一种即可.解析解析反证法是一种间接证明方法，利用逆向思维且否认结论时，一解析反证法是一种间接证明方法，利用逆向思维且否认结论时，一定要全面否认，不能只否认一点，故正确；定要全面否认，不能只否认一点，故正确；使用反证法必须先否认结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一使用反证法必须先否认结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，否那么证明是不完全的，故错误；论证，否那么证明是不完全的，故错误；反证法推出的矛盾可以与条件相矛盾，故错误反证法推出的矛盾可以与条件相矛盾，故错误.12345证明故原命题成立.规律与方法用反证法证题要把握三点：(1)必须先否认结论，对于结论的反面出现的多种可能