利用几何画板教学的论（Word）

1、学习几何画板积极开展中学数学CAI研究多媒体电脑的出现、网络技术的运用，无疑给中学数学教学带来了深刻的变化。中学数学CAI（Computer Aided Instruction）已经普遍被接受，有关它的研究正在日益兴起。要开展CAI实验研究，就必须选择一个优秀的应用软件。MATHEMATICA、MAPLE、AUTHORWARE等软件虽然功能强大，但是由于学习困、操作复杂、程序语言要求高、专业性强，不能满足中学数学的特殊需要等原因在中学数学CAI研究中难以推广开来。几何画板以其优秀的品质、强大的功能成为开展中学数学CAI研究的主流软件已经是不争的事实。本文从中学数学教学实际出发结合笔者使用该软件

2、的体会为读者介绍几何画板，试图以此推动中学数学CAI的研究。1 几何画板21世纪的动态几何 几何画板是专门针对几何学科的CAI工具，它专注于几何问题的研究。几何的精髓是什么？就是在不断变化的几何图形中，研究不变的几何规律。许多绘图软件很难制作动态的几何图形，几何画板制作出的图形不仅是动态的，而且注重数学表达的准确性。1.1 学习容易 如果您已经有了操作WINDOWS的基础，要掌握几何画板的基本功能，只要认真阅读它的参考手册就可以了。如果能够经过三、四天的培训，就可以比较熟练地掌握它。开展CAI实验的软件固然不少，但大多不容易学习，而瑞我校能熟练掌握几何画板，把它直接用于课堂教学的光50岁以上的

3、老师就有三、四个。1.2 操作简单 学习容易并不意味着操作简单。一些软件，即使您已经熟练地掌握了它，但由于操作复杂，需要大量的时间才能完成一个图形、图象或简单课件的制作，要在课堂上直接使用就根本不可能。而几何画板不同，您可以象使用圆规、三角板一样十分方便地使用它。如果您事先把画椭圆的过程（时间不超过5分钟）记录下来，形成一个称为“脚本”的文件，利用这个文件在课堂上再画一个椭圆不会超过5秒钟。您在课堂上要画一个初等函数的图象、一条圆锥曲线、切割正方体的一个角并使它运动起来，每一个操作都不会超过5分钟。2 / 231.3 功能强大 如果仅仅学习容易、操作简单，功能不强也不能满足中学数学教学的需要，

4、使用的价值就不大，但是几何画板的功能却十分强大。经过众多使用者的开发研究，已经发现它适用于中淡数学各学科，是中学数学教师最理想的CAI工具之一。1.3.1 在代数、三角方面 只要您给出函数的表达式，就可以作出任意一个给定区间上的初等函数的图象。您如果需要进行动态控制可以作出含若干个参数的函数图象，如函数的图象。如图1，当您拖动点W运动时，屏幕上不仅的值变动，图象的形状也跟着变动。如果您需要说明函数图象的变换，比如您要说明函数的图象与图象的关系，您可以作聘个形状不变、位置可以任意改变的函数图象。用几何画板可以作出由离散的点组成的函数图象，如数列的图象。如图2，您可以利用对公比q的动态控制来说明何

5、时这个数列存在极限，何时不存在极限。您可以在同一个坐标系中作出若干个函数的图象，进行比较、利用它们讨论方程的解。如同时作出函数的图象来讨论方程解的情况。您也可以作出分段函数的图象。等等。1.3.2平面几何、平面解析几何方面几何画板，顾名思议是“画板”，提供了画点、线（线段、射线、直线）、画圆的工具，即提供了计算机上的尺规作图。因此能画任意一种欧几里德几何图形，而且能够准确地表现几何对象。几何画板提供了测量和计算功能，能够对所作出的对象进行度量。如线段的长度、弧长、角度、面积等。还能够对测量出的值进行计算，包括四则运算、函数运算，并把结果动态地显示在屏幕上。当您用鼠标拖动任意一个对象，使其变动时

6、，显示这些几何对象大小的量也随之改变。如果存在着不变的几何关系几何定理，几何画板能使这些几何关系保持不变这彪形大汉是几何画板的精髓。在变动的状态下，线段的中点永远是中点，平行的直线永远平行；无论您拖动三角形的一个顶点怎么移动，虽然这个三角形的三个内角的大小在屏幕上动态地改变着，但是显示三角和的数值总保持不变，并且可以以表格的形式展示在屏幕上（如图3）；当您任意改变圆内的相交弦AB、CD的交点P的位置时，显示AP*PD的数值总保持相等，准确表达了相交弦定理，如果您把这点拖到圆外，又可以表现割线定理。几何画板还能对动态的对象进行“跟踪”，并能显示该对象的“轨迹”，如点的轨迹、线的轨迹，形成曲线或包

7、络。这显然又为平面解析几何中的轨迹教学提供了非常好的工具。利用这一功能，可以使学生预先猜测轨迹的形状、使学生看到轨迹形成的过程。为学生观察现象、发现结论、探讨问题创设了较好的“情景”，为新的探索式教学方法提供了可能。几何画板不仅有直角坐标系功能，能画出解析几何中的所有二次曲线，而且还有极坐标系功能，可以作出由极坐标方程确定的所有曲线。如由方程（其中R，n为常数）确定的曲线，当您使其中n的值动态地由零开始连续变化时，就可以看出曲线形状连续变化的过程，即可以看出“玫瑰花瓣”是怎样一瓣一瓣地“长”出来的。不念经在直角坐标系还是在极坐标系下都可以作出参数方程的曲线。几何画板还提供了旋转、平移、缩放、反

8、射等图形变换功能，可以按指定的值或动态的值对图形进行平移、缩放、等变换，便于研究运动和变换这样的非欧几里德几何问题。1.3.3 立体几何方面 由几何画板的作图功能，显然能够作出您所需要的一切立体几何图形。由于是动态的，您可以拖动某些点改变它的位置使图形最佳的视角、最好的直观性。不仅如此，可以使所作出的图形绕着一个点，一张线进行旋转。如图4，这是一个可以旋转的四棱锥，您可以把它旋转一下，看看它的后面；也可以让它自动地连续旋转，从各个角度来观察它。如图5，这是一个学生制作 的显示正方体截面形状的课件，利用它可以显示任意一个平面截正方体所得到的截面形状。通过这一切可以很好地培养学生的空间想象能力。1

9、.3.4 其他方面 习题与答案当然不便放在同一个屏幕上、有时需要给课件增加一个使用说明，几何画板提供了“隐藏/显示”功能。能够把您认为不必要的对象暂时隐藏起来，然后又根据需要显示出来，形成“对象”间的切换。一个课件容许若干“贡”组成。几何画板符合WINDOWS应用程序的一致风格：可以为文字选择字体、字型、字号；可以为图形、图象增加一段文字说明。几何画板可以通过WINDOWS的剪贴板方便地与其他应用程序交换信息。如接受EXCEL表格，还可以根据表格中的数据描点、作图。几何画板还支持“OLE”（对象的链接与插入），如插入WORD文本、电影片段。还可以通过插入“包”，直接调用WINDOWS的其他应用

10、程序，与其它软件很好地结合起来使用。1.4 交互性强 光是学习容易、操作简单、功能强大，还需要“交互性”强。在课堂上，学生很可能产生一些“奇思妙想”，用于课堂教学的CAI软件特别需要交互性。软件有了交互性，就能给学生以参与的机会，可以让学生自己操作，实现自我学习，使学生的想象力得到充分发挥，也成为一个真正的“研究者”。不能交互的软件也很难进行以“学”为主的教学设计。我把几何画板用于双曲线概念的教学，学生就提出：平面上到两个定点距离的积是一个常数时，点的轨迹是什么？我用几何画板当场进行制作，学生立即看到了结果。2 用几何画板改进数学教学 由以上介绍您可以看出，几何画板给开展中学数学各科CAI实验

11、研究、进行教学改革提供了全新的、强有力的工具。给教师备课增添了新含义。2.1 用几何画板改进概念教学 由于几何画板能够准确、动态地表达几何现象，就可以为认识概念创设一个很好的“情景”。我在教学双曲线的概念时，当堂用几何画板进行制作，使学生通过制作的过程，弄清双曲线所满足的几何条件、加强了与椭圆的联系与区别，使学生加深了概念的理解，提高了教学效果。几何画板也是进行概念辨析的好工具。椭圆的半径为终边的角（x轴的正向为始边）、“椭圆的离心角”是学生容易混淆的两个概念。如图6，当您缓缓拖动主动点A绕着点O逆时针转动时，左上角显示这两个角大小的数值都在改变。可以十分清晰地看出：在第一象限时，（虽然这一提

12、法并不准确）；当A拖动到y轴的正向时，。不必继续，一个高二的学生自然知道：有四次“相等”，其他都不等；可以用椭圆离心角的范围来表示椭圆孤。2.2用几何画板改进解题教学，发现新命题 用几何画板可以验证几何结论是否正确，可以很方便地改变题设条件来观察结论如何变化，对问题进行探索、发现新命题，也可以进行开放性命题的编制，扩展习题的训练功能。我对数学通报的“数学问题解答”栏目中的一些问题进行了探讨，发现有几道题还可以再扩充，使其更为完美。如第1163题（98年12期）：已知O1与O2内切于P，O1上任意一点A，弦AB、AC切O2于E、F，弦AT过O2且交EF于H，交BC于D，求证：我用几何画板研讨这个

13、问题时，用鼠标把O1拖到O2外，发现比值 仍然相等，这说明题设条件“O1与O2内切”是不必要的。即下列命题也正确：已知O1与O2外切于P，O1上任意一点A，弦AB、AC的延长线切O2于E、F，AO2交EF于H，交O2于T，交BC于D，那么 （证明从略）。2.3 几何画板激发了学生学习数学的兴趣，提供了反复学习的机会 由于我上课经常使用它，使学生的注意力更为集中，极大地激发了学习数学的兴趣，调动了学习的积极性。需要反复认识的概念、反复学习的内容、课堂上弄不清楚的，都可以把软件拷贝回家再反复观察、反复认识、反复学习，这给学习困难的学生提供了再学习的机会，把电脑辅助教学“辅”到了不同层次的学生身上。

14、2.4 几何画板是开展数学课外活动的好教材我校在学生中开设了几何画板选修课，受到了学生的普遍欢迎，获得了很大的成功。学生利用几何画板促进自己的数学学习、发展兴趣爱好、帮老师制作课件，智力得一发展，有了令老师吃惊的发现（限于篇幅不再介绍），真正实现由“应试教育”向“素质教育”的转变。总之，几何画板正在改变着中学数学的教学模式。3 用几何画板做“数学实验”举一例：B是半径为r的定圆A内的一定点，M是圆上的一动点，过段段BM的中点E作BM的垂线与直线AM的交点为P，求点P的轨迹。点P的轨迹显然是一个椭圆。但是当放弃“E是线段BM的中点”这一条件时，“奇妙的现象”出现了：当点E到M的距离小于到B的距离

15、时，点P的轨迹是“鸭蛋”形（如图7）；当您用鼠标缓缓拖动点E向B移动，使点E到M的距离大于到B的距离时，您一定经历了一次“数学美”的享受，点P的轨迹成了“导弹”形（如图8）。它们的极坐标方程形式是。几何画板帮我发现了新曲线。关于“计算机辅助中学数学教学”的思考一、更新教育观念，迎接教育革命多媒体计算机的出现、网络技术的运用，信息时代的到来正在给教育带来深刻的变化。教育技术的更新更新了认知工具，改善了认知环境，教学的传统观念就受到了冲击，教学手段、教学方法、教学模式，最终导致教学内容、教育思想、教学理论，甚至教学体制的变革，引起教育革命。随着计算机走进学校、家庭，教育也向经济一样，走向“全球一体

16、化”，教室在“缩小”，但学校在“扩大”。正如比尔·盖茨所说“你的工作场所和你关于教育的观念将被改变，也许被改变得面目全非。”（见1）。以多媒体计算机为核心的辅助教学的研究正在日益兴起，虽然现在人们对这个问题的认识还有待统一，但是，我以为既不要夸大计算机的作用，以为计算机能完全代替传统的数学教学，更不要采取抵制态度、忽视计算机在教学中的作用。我们应该采取积极的态度来迎接这场革命，因此应该努力学习教育理论，掌握现代教育技术，尤其是年轻教师更应该这样做。2、 使“计算机辅助中学数学教学”的实践成为理论指导下的实践没有实践的理论是空洞的理论，没有先进的教育理论指导的“电脑辅助中学数学教学”的

17、实践是盲目的实践。“建构主义”是继“行为主义”、“认知主义”的学习理论之后的一种全新的学习理论。我以为我们应该以“建构主义”的理论作为这个实践的理论性指导。建构主义理论的核心，即认为“知识不是被动接受的，而是认知主全积极建构的”。建构主义以这种新的观点，对数学知识的性质、学习的性质、学生的性质等方面展开基本看法。建构主义认为，数学不是建立在独立于人类思想之外的纯客观的事实上的。数学的对象是思维对象，是人类的创造与发明，而不是发现。但它又不是任意创造出来的，它是从已有的数学对象出发，根据科学、生活、生产实践的需要，经人类自身的数学活动而形成。建构主义认为，虽然学生要学习的数学都是前人已经建造好了

18、的，但对学生来说，仍是全新的、未知的。需要每个人再现类似的创造的过程来形成。即学生用自己的活动对人类已有的数学知识建构起自己的正确理解，而不是去仔细地吸收课本上的或老师叙述的现成结论。应该是一具学生亲身参与的充满丰富、生动的概念或思想活动的组织过程。教育改革的首要条件是改变观念。建构主义理论为数学老师更新观念带来了清新空气，提供了看待教学和学生的全新角度。建构主义理论目前还只是一咱导向性理论框架，理论层次上的观点并没有简单地引伸出具体的教学模式。建构主义把“情景”、“协作”、“对话”“意义建构”作为学习环境中的“四大要素”或“四大属性”。有关这方面的理论，北京师范大学现代教育研究所的何克抗教授

19、有多篇文章论述：（1）建构主义革新传统教学的理论基础：（2）多媒体教育应用的重大意义及发展趋势：（3）论计算机教育发展的新阶段（以上可见于网址：WWW.NRCCE.COM）。三、中学数学教学需要电脑辅助中学数学教学需要电脑辅助，电脑的运用给中学数学教学增添了新的活力。（1） 创设“情景”，改善认知环境，增强教学效果。 有一位教师在教学三角形的中位线时，用几何画板（一种数学辅助教学软件）做了如下的事情（如图1）：作 ABC，取AB的中点D，取AC的中点E，连联结D、E：接着测算出DE、BC、ADE、AED、ABC、ACB等，然后让学生观察它们的关系，问：您发现了什么？学生的任何发现，利用几何画板

20、，只要拖动点A（或B，或C），就可立即加以验证其正确如何。这为培养初二学生的观察力，想象力，归纳等诸能力创设了极好的“情景”，增强了教学的民主性、学生的参与性，这是以往的任何教具所不能实现的。再比如“三角函数的图象”的教学，在中，传统的教学是就的几个有限的取什描图后就加以归纳，如取1，2，。如图2，您只要用鼠标拖动点A，转动，改变它们中的任意一个值，就可以观察图象所发生的变化。这些手段的运用极大地调动了学生学习的积极性。所提供的外门路刺激也不是单一的，而是多种感官的综合刺激，这对于知识的获取和保持，都是非常有利的。（2） 容易混淆的概念用电脑来认识、辨析，就变得更加清晰，印象就特别深刻，教学效

21、果就比较明显。比如椭圆的离心角、椭圆的中心与椭圆上一点的连线为终边（x轴正向为始边）的角，它们的区别与联系，利用电脑来认识就十分清楚，这是以往所无法企及的。如图3，当您拖动主动点A时，XOM与的大小就立即显现在屏幕上。（3） 静态变动态、抽象更为形象、微观成为宏观、“数”转化为“形”。数学是抽象的，电脑可把抽象的概念形象化。数列的极限是十分抽象的，通过电脑，同学们可以看到随n的不断增大，an是如何接近常数A的。而且可以动态地随意展示任何一个区间上的情形（用MAPLE（见注）软件），同学们不再怀疑在区间（A-，A+）上有着数列的无限项。通过电脑的演示，使静态变为动态，可以真正看到点的“轨迹”，可

22、以看到曲线形成的过程。以往，在“椭圆的参数方程一课的教学中，同学们是通过把参数方程化成标准形式来认识它所表示的曲线的形状的。在图3中，您只要拖动主动点A，点M的“轨迹”就显示出来。虽然能通过解析的方法化成标准方程来认识曲线的形状，但是未必真正“信服”，印象未必深刻。有了电脑的演示，同学们感觉到：噢，真的是椭圆。比如函数图象的平移交换，用电脑演示就显得十分形象。如图4，当您拖动点T（或B）时，t(或b)的值随之变化，图象随之移动。不用老师的语言，学生经过观察就会得出结论。电脑可以作出任意一个函数的图象、方程的曲线。由于电脑的交互性，可以随意改变参数（系数）的取值，得到各种情形下的图象，便于加以比

23、较、归纳。（4） 有利于激发学生的学习兴趣。电脑极强的交互性，使学生有了参与的机会，学生的想象力得到了充分的发挥，也极大的调动了学生的积极性、学习的兴趣。我在高二解析几何的教学中，使用了几何画板，同学们不仅对教学内容提高了兴趣，对软件和课件也兴趣浓厚，要求拷贝软件和课件，带回去再观察、再认识、再体会。（5） 电脑给数学提供了“实验”、笔者与学生讨论过一个简单而有趣的问题：ABC的顶点A在定圆上M运动，B、C固定，求ABC的外心O的轨迹。大家进行了各种猜测，猜仍是一个圆的多，椭圆的，等等。用几何画板一做（图5），发现是线段。再仔细想一想，应在“意料之中”（BC的中垂线上）。“意料之中”吗？当您拖

24、动点C，使C在圆内时，情况发生了变化，是直线（图6）。同学们谨慎起来，不再说话。有一个胆大的学生说，三个情况都有，当B、C在圆外时，轨迹是线段；当B、C中有一个在圆外、一个在圆内时，轨迹是直线；当B、C都在圆内时，轨迹是射线。这就对了吗？仍然把点B、C都放在圆外，但线段BC与圆相交，这时轨迹成为两条射线，。这位同学自感有点“冒失”，其他人不敢再说话，沉默了。同学们的思维得到训练，能力得到培养，素质得到提高。4、 电脑“辅助中学数学教学”不仅是“艺术”，更是科学电脑作为一种教学工具显然是“中性”的，可以用她来培养能力、提高素质，也可以用它搞“题海”、满堂灌，增加学生的负担。笔者听过一堂数学课，该

25、课件是用3DS制作，AUTHORWARE连接的。整堂课，教师没写一个字，全部由电脑和幻灯展示，教师只动动鼠标、播放幻灯片。练习时，学生错了，电脑发出一种怪声音：对了，悦耳。教师原本的讲解变成为电脑的播放，课堂上似乎也挺热闹。电脑辅助中学数学教学，“辅助”的地位不能变。无论电脑有多么强的交互性，“人机对话”决不能人际对话能。教学过程是十分复杂的、细腻的过程，忽视教师与学生之间的情感交流在教学中所起的作用必将把“电脑辅助中学数学教学”引向反面。我在“椭圆的参数方程”一课的教学中，软件是当堂制作的，软件制作的过程也是学生进行概念构建的过程；并始终注意教师与学生间的情感交流，如教师的精心设问、师生间的

26、对话、学生间的议论；教师的板书，解题的深处过程，规范表达等。始终坚持学生是学习的主体，但又不忽视教师的主导作用。教学中，能用黑板讲清楚的问题，不要去搬弄计算机。一开始就必须把这个方向搞对头。5、 坚持数学教师自己制作软件几何画板软件为我们数学教师提供了这种可能。它的特点是不需要编程，学习容易；操作简单；制作软件花时少；制作出的课件字节少；便于携带；交互性强。功能十分强大。只要你会WINDOWS的基本操作，并认真阅读它的说明书或参加短期的培训就能很快掌握它。正确的教育理论指导、懂得教学规律、熟悉教学过程是制作好辅助中学数学教学软件的前提条件。计算机专业人员固然熟悉计算机语言，但未必熟悉教学规律、

27、理解教学的需要，制作出的软件就很难适应教学。数学教师坚持自己制作软件，这就要选择好“制作平台”，以免走弯路。根据笔者的实践，以为，几何画板是中学数学老师的首选软件，除本身的功能强大外，还支持插入“OLE”对象，如插入“WORD文本”、“BMP位图”、“3DS动画”、“POWERPOINT幻灯片”、电影片段（.AVI），支持程序调用（执行.EXE文件），等等，功能足够你用的。数学教师可以象使用圆规、三角板一样来使用它，但是，圆规、三角板的功能、作用、效果无法与它同日而语。其外，MATHCAD、MAPLE也可选，再说数学实验室已经问世，也是一个好平台。6、 师范院校数学系应该开设几何画板选修课（必

28、修课）师范院校数学系应该把几何画板等数学教学软件运用的学习、掌握作为必修课，至少目前应该开设这方面的等候课，现在的师范院校的学生是21世纪的人才。个人电脑、网络技术的发展日新月异，电脑正在日益普及，目前的教室中也许还没有计算机，但是将来21世纪的教室中，计算机一定会屡见不鲜。因此，我以为师范院校数学系的毕业生应该掌握必何画板等计算机辅助教学软件 使用，这样才能适应21世纪的需要。注：MAPLE、3DS、AUTHORWARE、WINDOWS、MATHCAD、数学实验室都是计算机软件。用几何画板促进素质教育的尝试几何画板（以下简称画板）是一种开展CAI实验的计算机应用软件。它不同于一般的绘图软件，

29、所作出的图形、图象都是动态的，注重数学表达的准确性。它最大的特点是使图形、图象在变动状态下保持不变的几何关系，相等的线段永远相等，平等的直线永远平等。这样就可以创设情景，让学生从动态中去观察、发现、探索对象之间的关系，就可以利用它培养学生的能力、开发学生智力、激发学生的创新精神，达到促进素质教育的目的。要促进素质教育，培养学生的创新意识，首要的问题是更新观念。要让学生参与教学实践；让学生的想象力得到发挥，使学生有创新的可能；要尊重学生的认知心理过程，彻底学生是学习的主体，教师起主导作用的现代教育教学理念。促进素质教育，不能企望经过一两次活动来完成，就磁疗足于平时的学科教学，寓素质教育于数学的教

30、育教学之中。本文用画板促进素质教育所做的一点尝试，供同行参考。1、 让学生参与教学过程 促进素质教育引导学生主动参与教学，可以打破传统单一的教学模式，面向全体学生。学生参与教学活动，了解数学知识发生、发展的过程，主动适应了学生心理发展的需要。对于青少年学生来说，他们希望自己成为探险者、发明者、创造者。学生参与教学活动可以使学习心理处于亢奋状态，能够调动一切积极因素进行操作与探索。比如传统的教学方法是把“四边形的中点四边形的”告诉学生，然后再加以证明。利用画板，刘学生自己动手：作四边形ABCD，取AB、BC、CD、DA的中点为E、F、G、H（如图1），接着“度量”（软件中的菜单项）出这两个四边形

31、各边的长度以及一些角的大小，显示它们大小的数值就展现在屏幕上。随着学生搬运四边形的任一顶点，显示这些量大小的数据都跟着变化。在网络教室中，学生经过自己的实际操作，从动态中去观察、探索、归纳出四边形EFGH的性质，发现它与四边形ABCD的联系与区别。对自己的任何发现，可以及时难得到反馈。这样的教学模式显然已经不同于学生通过老师滔滔不绝的“讲”来“听数学”，而是学生经过自己亲身的实践活动，实现对知识意义的主动建构，是在“做数学”。不仅对所学内容印象深刻，而且能力得到培养，素质也得到提高。二、让学生思维能力得到发展 促进素质教育思维能力是能力结构的核心。利用画板的动态图形功能，可以即刻改变问题的条件

32、，观察结论所发生的变化，从而启发学生思想，培养思维能力，促进素质教育。“P是ABC内部任意一点，直线AP、BP、CP分别与BC、CA、AB交于D、E、F，EF交AD于H，试证：这是“数学问题”栏目的第1167题。我让学生把点P拖到ABC的外部再观察，同学们发现屏幕上显示 的值仍然相等（如图2）。这就是说，题设中的条件“P是ABC内部任意一点”不是必要的。那么结论成立的充分必要条件是什么呢？学们陷入深深的思索之中。有的说，点P在任何位置都成立；有的说，点P不能在直线AB、AC上课堂上非常热闹上。我对同学们的争论未置与否。再把点P拖到使AP平行于BC的位置时停下。同学们发现，显示 的数值不见了。一

33、位同学惊叫起来：噢，点D不存在了。再把点P拖动到点A的上方，同学们发现显示 的值并不相等，结论不成立了经过同学们热烈地讨论，终于得到了问题的结果；过点A作直线BC的平行线AM。只要点P不在直线AM的上方（否则H、P、D三点不都在点A的同旁），也不在直线AB、AC、AM上，点P在其他任何位置结论都成立。我试图实行启发和度讨论式数学，激发学生独立思考和创新意识，提高思维的深刻性与批判性，使同学们的思维能力得到发展，促进素质教育。3、 让学生有创新的机会 促进素质教育“促进素质教育就是要以培养学生的创新精神和实践能力为重点。”创新意识是高素质人才的重要标志。画板提供了一个动态研究问题的工具，给学生有了创新的机会。这是一道常见的轨迹题：如图3，B是半径为r的定圆A内的一定点，M是圆A上的一动点，过线段BM的中点E作BM的垂线与半径AM的交点为P，求P的轨迹。点P的轨迹显然是一个椭圆，这是因为课后，一名学生利用画板把线段AM改为直线。设AM交圆A于另一点N，过BN的中点F，作BN的垂线与线段AN交于Q，他发现了一系列结果：（如图3）点Q也在椭圆上；PQ是过椭圆的焦点A的一条焦点弦；直线PE、