数字电路的基础知识

1、（1-1）第一章第一章 数字电路的基础知识数字电路的基础知识1.1 数字电路的基础知识数字电路的基础知识1.2 逻辑代数及运算规则逻辑代数及运算规则 1.3 逻辑函数的表示法逻辑函数的表示法1.4 逻辑函数的化简逻辑函数的化简（1-2） 数字量和模拟量数字量和模拟量 模拟量：可以在一定范围内取任意实数值的物理量，如：温度、压力、距离和时间等。 数字量：在时间上和数量上都是离散的物理量，如：自动生产线上的零件记录量，台阶的阶数 数字信号和模拟信号数字信号和模拟信号 模拟信号：表示模拟量的电信号，如：热电偶的电压信号，温度变化时，电压随之改变 数字信号：表示数字量的电信号 1.1 数字电路的基础知

2、识数字电路的基础知识（1-3）1 1.1.1 1.1 数字量和模拟量数字量和模拟量模拟量模拟量时间上、数量变化上都是连续的物理量；时间上、数量变化上都是连续的物理量；表示模拟量的信号叫做模拟信号；表示模拟量的信号叫做模拟信号；工作在模拟信号下的电子电路称为模拟电路。工作在模拟信号下的电子电路称为模拟电路。数字量数字量时间上、数量变化上都是离散的物理量；时间上、数量变化上都是离散的物理量；表示数字量的信号叫做数字信号；表示数字量的信号叫做数字信号；工作在数字信号下的电子电路称为数字电路。工作在数字信号下的电子电路称为数字电路。 1.1 数字电路的基础知识数字电路的基础知识（1-4）1.1.2 数

3、字信号和模拟信号数字信号和模拟信号电子电路中的信号电子电路中的信号模拟信号模拟信号数字信号数字信号随时间连续变化的信号随时间连续变化的信号时间和幅度都是离散的时间和幅度都是离散的（1-5）模拟信号：模拟信号：tu正弦波信号正弦波信号t锯齿波信号锯齿波信号u（1-6） 研究模拟信号时，我们注重电路研究模拟信号时，我们注重电路输入、输出信号间的大小、相位关系。输入、输出信号间的大小、相位关系。相应的电子电路就是模拟电路，包括相应的电子电路就是模拟电路，包括交直流放大器、滤波器、信号发生器交直流放大器、滤波器、信号发生器等。等。模拟电路：模拟电路：处理模拟信号的电路，如：运算放大器处理模拟信号的电路

4、，如：运算放大器在模拟电路中，晶体管一般工作在放大在模拟电路中，晶体管一般工作在放大状态。状态。（1-7）数字信号：数字信号：数字信号数字信号产品数量的统计。产品数量的统计。数字表盘的读数。数字表盘的读数。数字电路信号：数字电路信号：tu（1-8）模拟电路与数字电路的区别模拟电路与数字电路的区别1 1. 工作任务不同：工作任务不同： 模拟电路研究的是输出与输入信号之间的大小、模拟电路研究的是输出与输入信号之间的大小、相位、失真等方面的关系；相位、失真等方面的关系；数字电路主要研究的数字电路主要研究的是输出与输入间的逻辑关系是输出与输入间的逻辑关系（因果关系）。（因果关系）。 模拟电路中的三极管

5、工作在线性放大区模拟电路中的三极管工作在线性放大区, ,是是一个放大元件；一个放大元件；数字电路中的三极管工作在饱数字电路中的三极管工作在饱和或截止状态和或截止状态, ,起开关作用起开关作用。 因此，基本单元电路、分析方法及研究的范因此，基本单元电路、分析方法及研究的范围均不同。围均不同。2 2. 三极管的工作状态不同：三极管的工作状态不同：（1-9）3.3.数字电路研究的问题数字电路研究的问题基本电路元件基本电路元件基本数字电路基本数字电路逻辑门电路逻辑门电路触发器触发器 组合逻辑电路组合逻辑电路 时序电路（寄存器、计数器、脉冲发生器、脉冲时序电路（寄存器、计数器、脉冲发生器、脉冲整形电路）

6、整形电路） A/DA/D转换器、转换器、D/AD/A转换器转换器数字电子技术是一门研究用数字电信号来实现运算、数字电子技术是一门研究用数字电信号来实现运算、控制和测量的技术。控制和测量的技术。（1-10）4.4.数字电路的特点：数字电路的特点：1 1. 工作信号工作信号不连续变化的离散（数字）信号不连续变化的离散（数字）信号2 2. 主要研究对象主要研究对象电路输入电路输入/ /输出之间的逻辑关系输出之间的逻辑关系3 3. 主要分析工具主要分析工具逻辑代数逻辑代数4 4. 主要描述工具主要描述工具逻辑表达式、真值表、卡诺图、逻辑表达式、真值表、卡诺图、逻辑图、时序波形图、状态转换图等。逻辑图、

7、时序波形图、状态转换图等。（1-11）1.1.2 1.1.2 数制和码制数制和码制 所谓所谓是进位计数制度的简称。我们是进位计数制度的简称。我们日常生活中有许多不同的数制。例如，日常生活中有许多不同的数制。例如，十进制是十进制是“逢十进一逢十进一”，钟表计时采用，钟表计时采用60进制、即进制、即六十秒为一分，六十分为一六十秒为一分，六十分为一小时，十二英寸为一英尺小时，十二英寸为一英尺，则采用的是，则采用的是十二进制十二进制等等等等。（1-12） 数制表示数制表示 十进制十进制是使用最早的一种主要的计数制度。 2101210510710610810275.286遵循遵循逢十进一逢十进一的规律的

8、规律表示数的十个数码：表示数的十个数码：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0（1-13）一个十进制数数一个十进制数数 N可以表示成：可以表示成：iiiDKN10)( 若在数字电路中采用十进制，必须若在数字电路中采用十进制，必须要有十个电路状态与十个记数码相对应。要有十个电路状态与十个记数码相对应。这样将在技术上带来许多困难，而且很这样将在技术上带来许多困难，而且很不经济。不经济。（1-14） 一般地对于一个任意一般地对于一个任意n位整数，位整数，m位小数的十进制位小数的十进制数数(N)10可以表示为：可以表示为：m102n1n10aaaaa)N( mm11002n2n1n1

9、n1010a10a10a10a10a)N( (112)(111)i1nmii10a =或（1-15） ai表示相应数位的表示相应数位的数码数码，可以是，可以是0，19十个十个数码中的任意一个，记作数码中的任意一个，记作0ai9，我们把，我们把“十十”称为称为十进制的基数十进制的基数。所谓。所谓“基数基数”是指在一个是指在一个数制中可能用到的数制中可能用到的数码个数数码个数。例如，二进制的。例如，二进制的基数是基数是“二二”，R进制的基数是进制的基数是R。n、m为正为正整数，分别代表整数位数和小数位数；整数，分别代表整数位数和小数位数；(N)10的的下标下标10（也可用（也可用D）表示十进制数。

10、）表示十进制数。Hexadecimal：十六进制的：十六进制的Decimal：十进制的：十进制的Binary：二进制的：二进制的（1-16） 式式称为十进制数的称为十进制数的位置计数法位置计数法或称或称并并列表示法列表示法，式，式称为十进制数的称为十进制数的多项式多项式表示法表示法，或称，或称。 10i称为数码称为数码ai具有的具有的“权权”。例如；数码。例如；数码a3的权的权为为103=1000，数码，数码a0的权为的权为100=1。 显然可见，显然可见，处在不同数位上的数码具有不同的处在不同数位上的数码具有不同的“权权”。（1-17）2. 二进制二进制：以二为基数的记数体制以二为基数的记数

11、体制表示数的两个数码：表示数的两个数码：0, 1遵循遵循逢二进一逢二进一的规律的规律iiiBKN2）（1-18） 二进制数的表示方法二进制数的表示方法 与十进制数一样，二进制数的表示也有两种与十进制数一样，二进制数的表示也有两种方法：方法：位置计数法位置计数法和和多项式表示法多项式表示法。如。如21012321202121202101.1011等式左边是等式左边是位置计数法位置计数法，等式右边是，等式右边是多项式表示法。多项式表示法。（1-19） 一般地，对于一个任意一般地，对于一个任意n位整数和位整数和m位小数的二进制数位小数的二进制数(N)2可以表示为：可以表示为：m102n1n2bbbb

12、b)N( （113）或mm11002n2n1n1n22b2b2b2b2b)N( =i1nmii2b （114）l(N)2下标下标2表示表示二进制二进制。式中。式中bi表示相应数位的数码，表示相应数位的数码，n、m为正整数，为正整数，n代表整数位数，代表整数位数，m代表小数位数。代表小数位数。2i称为数码称为数码bi的权。的权。（1-20）用电路的两个状态用电路的两个状态-开关来表示开关来表示二进制数，数码的存储和传输简二进制数，数码的存储和传输简单、可靠。单、可靠。位数较多，使用不便；不合人们位数较多，使用不便；不合人们的习惯，输入时将十进制转换成的习惯，输入时将十进制转换成二进制，运算结果输

13、出时再转换二进制，运算结果输出时再转换成十进制数。成十进制数。（1-21）3. 任意进制数的表示任意进制数的表示 对于一个对于一个n位整数，位整数，m位小数的任意进制数位小数的任意进制数(N)R可以表示为：可以表示为：m102n1nRccccc)N( （115）或mm11002n2n1n1n10RcRcRcRcRc)N( （116）式中式中(N)R的下标的下标R表示表示R进制，进制，ci可以是可以是0，1，（R-1）中任意一个数码，中任意一个数码，n、m为正整数，为正整数，Ri称称为为ci具有的权。具有的权。（1-22）4. 八进制和十六进制数的表示八进制和十六进制数的表示 八进制数八进制数用

14、用0、1、2、3、4、5、6、7八个数码表示，八个数码表示，基数基数为为8。计数规则是。计数规则是“逢八进一逢八进一”，即，即7+1=10（表示八进制数的表示八进制数的8），各数位的权为），各数位的权为8n-1、82、81、80、8-1、 8-m。则按权展开可写成：。则按权展开可写成：mm11002n2n1n1n88p8p8p8p8p)N( i1nmii8p =（117）如 (368.25)8=382+681+880+28-1+58-2（1-23） 同理十六进制数十六进制数是用0、1、2、3、9、A、B、C、D、E、 F这十六个数码来表示，基数基数为16。其中A、B、C、D、E、 F分别表示1

15、0、11、12、13、14、15这十六个数码。其计数规则是“逢十逢十六进一六进一”，即F+1=10（表示十六进制数的16)。按权展开可写成：mm11002n2n1n1n1616q16q16q16q16q)N( =i1nmii16q 如 (257.36)16=2162+5161+7160+316-1+616-2（1-24）二、二、 数制转换数制转换 我们习惯于采用十进制数，但在计算机和数字电我们习惯于采用十进制数，但在计算机和数字电路中却是按二进制工作的，因此，在数字系统中，路中却是按二进制工作的，因此，在数字系统中，首先必须把十进制数转换成计算机和数字电路能首先必须把十进制数转换成计算机和数字

16、电路能加工、处理的二进制数，而作为数字系统的输出加工、处理的二进制数，而作为数字系统的输出又要转换成人们熟悉的十进制数等。这就要求我又要转换成人们熟悉的十进制数等。这就要求我们必须掌握各种不同数制之间的相互转换。们必须掌握各种不同数制之间的相互转换。由二进制数转换为十进制数只要采用由二进制数转换为十进制数只要采用式，将被转换的二进制数按权相加即可得到与该式，将被转换的二进制数按权相加即可得到与该二进制数相对应的十进制数。二进制数相对应的十进制数。（1-25） 将将(11001.101)2转换成十进制数。转换成十进制数。 解：根据（解：根据（134）式有：）式有： =16+8+0+0+1+0.5

17、+0.125=(25.625)10即：即：(11001.101) 2=(25.625)10 十进制数转换为二进制数的方法很多，下面仅介十进制数转换为二进制数的方法很多，下面仅介绍绍基数乘除法基数乘除法；基数乘除法包含两个内容，即基；基数乘除法包含两个内容，即基数除法和基数乘法。前者用于整数转换，后者用数除法和基数乘法。前者用于整数转换，后者用于小数转换。如果某数包含整数和小数两部分，于小数转换。如果某数包含整数和小数两部分，则须将它们分别转换，然后合并起来。则须将它们分别转换，然后合并起来。 （1-26） 整数转换采用整数转换采用基数除法基数除法，即，即“除除2取余取余”的的方法。也就是把十进

18、制整数除以方法。也就是把十进制整数除以2，取出余，取出余数数1或或0作为相应二进制数的最低位，把得作为相应二进制数的最低位，把得到的商再除以到的商再除以2，再取余数，再取余数1或或0作为二进制作为二进制数的次低位，依次类推，直至商为数的次低位，依次类推，直至商为0，所得，所得余数为最高位。余数为最高位。1）整数转换）整数转换（1-27） 将十进制数(76)10转换为二进制数。解： 2 | 76 余数余数 2 |38 0 _ 最低位最低位 2 |19 0 2 |9 1 2 |4 1 2 |2 0 2 |1 0 0 1 _ 最高位最高位即： (76)10=(1001100)2（1-28） 小数转换

19、采用小数转换采用基数乘法基数乘法，即，即“乘乘2取整取整”的的方法。先将十进制小数乘以方法。先将十进制小数乘以2，取其整数，取其整数1或或0作为二进制小数的最高位，然后将乘积作为二进制小数的最高位，然后将乘积的小数部分再乘以的小数部分再乘以2，再取整数作为次高位。，再取整数作为次高位。依次类推，直至小数部分为依次类推，直至小数部分为0或达到所要求或达到所要求的精度。的精度。2） 小数转换小数转换（1-29） 试将(0.75)10转换为二进制数 解： 0 . 7 5 ) 2 . 5 0 b-1=1 _ 小数最高位小数最高位 ) 2 . 0 0 b-2=1 _ 小数最低位小数最低位 试将(26.4

20、5)10转换为二进制数，取小数五位。11（1-30） 解：这是一个既有整数又有小数的十进制数，可解：这是一个既有整数又有小数的十进制数，可将其两部分分别转换，然后相加。将其两部分分别转换，然后相加。 整数部分整数部分 小数部分小数部分 2 | 26 余数余数 0 . 4 5 2 | 13 0 最低位最低位 ) 2 2 | 6 1 . 9 0 b-1=0 最高位最高位 2 | 3 0 ) 2 2 | 1 1 . 8 0 b-2=1 0 1 最高位最高位 ) 2 . 6 0 b-3=1 ) 2 . 2 0 b-4=1 ) 2 . 4 0 b-5=0 最低位最低位 则：则：(26.45)10=(11

21、010.01110)201110（1-31） 将二进制数转换成八进制数或十六进制数的方法将二进制数转换成八进制数或十六进制数的方法是：是：从小数点开始，分别向左、向右按从小数点开始，分别向左、向右按3位（位（转换转换成八进制数成八进制数）或）或4位（位（转换成十六进制数转换成十六进制数）分组，）分组，最后不满最后不满3位或位或4位时，则填位时，则填0补充。再将每组以对补充。再将每组以对应的八进制数或十六进制数代替，即可得相应的应的八进制数或十六进制数代替，即可得相应的八进制数或十六进制数。八进制数或十六进制数。3. 八进制数、十六进制数与二进制数的转换八进制数、十六进制数与二进制数的转换（1-

22、32） 将二进制数将二进制数(10011101)2分别转换为八进制分别转换为八进制数和十六进制数。数和十六进制数。解：解：二进制数二进制数 1 0， 0 1 1 ，1 0 1 每每3位一组位一组 0 1 0， 0 1 1， 1 0 1， 最高位补最高位补0 八进制数八进制数 2 3 5 结果结果即：即：(10011101)2=(235)8（1-33） 二进制数二进制数 1 0 0 1，1 1 0 1 每每4位一组位一组十六进制数十六进制数 9 D 即：即：(10011101)2=(9D)16将八进制数或十六进制数转换成二进制数的方法是将八进制数或十六进制数转换成二进制数的方法是：将八进制数或十

23、六进制数的每一位将八进制数或十六进制数的每一位,用对应的用对应的3位位或或4位二进制数来表示即可。位二进制数来表示即可。（1-34） 将八进制数将八进制数(327)8和十六进制数和十六进制数(7A)16分别分别转换成二进制数。转换成二进制数。 解：解：八进制数八进制数 ( 3 2 7 )8 二进制数二进制数 011 010 111即：即： (327)8=(011010111)2 十六进制数十六进制数 ( 7 A )16二进制数二进制数 0111 1010即：即： (7A)16=(01111010)2（1-35） 计算机一般是采用二进制码运算的。但有时需计算机一般是采用二进制码运算的。但有时需要

24、用二进制码来表示十进制数字，这种编码方要用二进制码来表示十进制数字，这种编码方法称之为法称之为十进制数的代码表示法十进制数的代码表示法，它是用，它是用4位位二进制数来表示十进制数码二进制数来表示十进制数码09中的任意一个，中的任意一个，即所谓即所谓二二十进制码十进制码，简称为，简称为BCD码码。由于。由于4位二进制数码可以表示位二进制数码可以表示16种不同的组合状态，种不同的组合状态，用以表示用以表示1位十进制数位十进制数(只有只有09十个数码十个数码)，只，只需选择其中的需选择其中的10个状态的组合，其余个状态的组合，其余6种的组种的组合是多余的。因此，按组合状态选取方式的不合是多余的。因此

25、，按组合状态选取方式的不同，可以得到不同的二同，可以得到不同的二十进制编码。如十进制编码。如所列是常见的几种所列是常见的几种BCD编码。编码。三、三、 二二十进制十进制(BCD)(BCD)码码（1-36）十进制十进制 数数 8421码码 十十进进制制 数数 2421码码(A)十十进进制制数数2421码码(B) 十十进进制制数数5421码码十十进进制制数数余余3码码 十十进进制制数数格雷码格雷码 00000000001000010000不不出出现现000000000100011000120001200010001100012001020010300103001000102001130011300

26、11400114001100011300104010040100不不出出现现状状态态0100不不出出现现0100101004011050101501010101010120101501116011060110011001103011060101701117011101110111401117010081000不不出出现现状状态态10001000510005100091001100110016100161001不出现状态不出现状态101010101010710107101010111011510118101181011110011006110091100911001101110171101不不出

27、出现现1101不不出出现现110111108111081110111011101111911119111111111111权权8421242124215421无权无权无权无权 表表1.1 常见的几种常见的几种BCD编码编码（1-37） 在二在二十进制编码中，一般分为十进制编码中，一般分为有权码有权码和和无权码无权码两大类。两大类。例如例如8421BCD码码是一种最基本的，应用十分普遍的是一种最基本的，应用十分普遍的BCD码。它是一种有权码码。它是一种有权码. 8421就是指这种编码中各位的权分别为就是指这种编码中各位的权分别为8、4、2、1。属于。属于有权码的还有有权码的还有2421BCD码码

28、、5421BCD码码等，而等，而余余3码码，对，对于有权码来说，由于各位均有固定的权，因此二进制数码于有权码来说，由于各位均有固定的权，因此二进制数码所表示的十进制数值就容易识别。所表示的十进制数值就容易识别。 格雷码格雷码则是无权码。但为可靠性编码则是无权码。但为可靠性编码（1-38） 二二十进制数的表示方法十进制数的表示方法也很简单，就是将十进制数也很简单，就是将十进制数的各位数字分别用的各位数字分别用4位二进制数码表示出来。例如，要位二进制数码表示出来。例如，要将十进制数将十进制数(82)10用用8421编码的二编码的二十进制数来表示，十进制数来表示，则分别用则分别用(1000)2表示表

29、示“8”，(0010)2表示表示“2”，然后将，然后将两组二进制数按原来十进制数的顺序排列起来，所构两组二进制数按原来十进制数的顺序排列起来，所构成的就是二成的就是二十进制数，即：十进制数，即：(82)10=(1000 0010)BCD（下标下标BCD表示二表示二十进制数十进制数）。在二）。在二十进制数中，十进制数中，每组每组4位数是二进制，而组与组之间却是十进制的关系。位数是二进制，而组与组之间却是十进制的关系。（1-39）1.1.3 二进制数的运算二进制数的运算 二进制数的运算规则与十进制数相类似，其运算规二进制数的运算规则与十进制数相类似，其运算规则如下：则如下： (1) 加法运算规则加

30、法运算规则 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 (同时向邻近高位进一同时向邻近高位进一) (2) 减法运算规则减法运算规则 0-0=0 0-1=1 (同时向邻近高位借一同时向邻近高位借一) 1-0=1 1-1=0 (3) 乘法规则乘法规则010000010001111(4)除法规则除法规则111（1-40） 求求1001与与1010之和。之和。 解：将末位对齐逐位相加。则：解：将末位对齐逐位相加。则： 1 0 0 1 + ） . 1 0 1 0 1 0 0 1 1 即：即：1001+1010=10011 二进制数加法运算将末位对齐逐位相加，但采用二进制数加法运算将末位对齐逐位相加，

31、但采用“逢二进一逢二进一”的法则。的法则。（1-41） 求求1101与与1011之差。之差。 解：将末位对齐逐位相减。则：解：将末位对齐逐位相减。则： 1 1 0 1 ） 1 0 1 1 0 0 1 0 即：即：1101-1011=10 二进制数减法运算亦是将末位对齐逐位相减，当二进制数减法运算亦是将末位对齐逐位相减，当某数位减数大于被减数时，需向高位借位，并且某数位减数大于被减数时，需向高位借位，并且是是。（1-42） 求1001与1011的积。 解： 1 0 0 1 ) 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 即：1001

32、1011=1100011（1-43） 求10010001与1011之商。解：1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 111 0 1 11 1 1 011 0 1 11 1 00111 0 1 11 0. 商商余数余数二进制数的乘法和除法运算与十进制数的二进制数的乘法和除法运算与十进制数的运算类似，只是要采用二进制数的运算规则。运算类似，只是要采用二进制数的运算规则。 （1-44）1.1.4 补码补码 二进制数的最高位表示符号二进制数的最高位表示符号 0表示正数，表示正数，1表示负数表示负数 原码：符号位与数值位的原码：符号位与数值位的2组合组合 补码补码 正数的补码与原码相同正数的补码与原

33、码相同 负数的补码：负数的补码：保持符号位不变，数值位求反后保持符号位不变，数值位求反后再加再加1 （1-45） 1.2 逻辑代数的三种基本运算逻辑代数的三种基本运算 逻辑代数首先是由英国数学家乔治逻辑代数首先是由英国数学家乔治布尔布尔（George Boole）18151864年年奠定的，因此奠定的，因此又称为又称为布尔代数布尔代数；布尔代数的二值性质应用于；布尔代数的二值性质应用于两态元件组成的数字电路两态元件组成的数字电路(开关电路开关电路)尤为适合，尤为适合，自从布尔代数用于开关数字电路之后，又被称自从布尔代数用于开关数字电路之后，又被称为为开关代数开关代数。所以。所以逻辑代数、布尔代

34、数、开关逻辑代数、布尔代数、开关代数代数都是指同一概念。都是指同一概念。 目前，逻辑代数已成为研究数字系统逻辑设计目前，逻辑代数已成为研究数字系统逻辑设计的基础理论。无论何种形式的数字系统，都是的基础理论。无论何种形式的数字系统，都是由一些基本的逻辑电路所组成的。为了解决数由一些基本的逻辑电路所组成的。为了解决数字系统分析和设计中的各种具体问题，必须掌字系统分析和设计中的各种具体问题，必须掌握逻辑代数这一重要数学工具。握逻辑代数这一重要数学工具。 （1-46）在数字电路中，我们要研究的是电路在数字电路中，我们要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电

35、路又称路又称逻辑电路逻辑电路，相应的研究工具是，相应的研究工具是逻辑逻辑代数（布尔代数）代数（布尔代数）。在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（取两个值（二值变量二值变量），即），即0和和1，中间值，中间值没有意义，这里的没有意义，这里的0和和1只表示两个对立的只表示两个对立的逻辑状态，如电位的低高（逻辑状态，如电位的低高（0表示低电位，表示低电位，1表示高电位）、开关的开合等。表示高电位）、开关的开合等。一、一、 逻辑代数与基本逻辑关系逻辑代数与基本逻辑关系（1-47）（1）“与与”逻辑逻辑A、B、C条件都具备时，事件条件都具备时，事件F才发生。才发生。E

36、FABC&ABCF逻辑符号逻辑符号基本逻辑关系：基本逻辑关系：（1-48）F=ABC逻辑式逻辑式逻辑乘法逻辑乘法逻辑与逻辑与AFBC00001000010011000010101001101111真值表真值表（1-49）（2）“或或”逻辑逻辑A、B、C只有一个条件具备时，事件只有一个条件具备时，事件F就就发生。发生。 1ABCF逻辑符号逻辑符号AEFBC（1-50）F=A+B+C逻辑式逻辑式逻辑加法逻辑加法逻辑或逻辑或AFBC00001001010111010011101101111111真值表真值表（1-51）（3）“非非”逻辑逻辑A条件具备时条件具备时 ，事件，事件F不发生；不发生

37、；A不具备不具备时，事件时，事件F发生。发生。逻辑符号逻辑符号AEFR（1-52）逻辑式逻辑式逻辑非逻辑非逻辑反逻辑反真值表真值表AF AF0110（1-53）二、几种常用的复合逻辑关系逻辑二、几种常用的复合逻辑关系逻辑“与与”、“或或”、“非非”是三种基本的是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以以它们为基础表示。以它们为基础表示。CBAF1与非：与非：条件条件A、B、C都具都具备，则备，则F 不发不发生。生。&ABCF（1-54）CBAF或非：或非：条件条件A、B、C任一任一具备，则具备，则F不不 发生。发生。 1ABCF与或非与或非F3=A

38、B+CD（1-55）异或运算异或运算ABF1 01 10 10 01100逻辑表达式逻辑表达式F=AF=A B=AB+ABB=AB+AB ABF=1逻辑符号逻辑符号ABF1 01 10 10 00011同或运算同或运算逻辑表达式逻辑表达式F=A F=A B= B= A A B B ABF=1逻辑符号逻辑符号“ ”异或逻辑异或逻辑运算符运算符“”同或逻辑同或逻辑运算符运算符（1-56） 从三种基本的逻辑关系出发，我们可从三种基本的逻辑关系出发，我们可以得到以下逻辑运算结果：以得到以下逻辑运算结果：0 0=0 1=1 0=01 1=10+0=00+1=1+0=1+1=11001 1.3 逻辑代数的

39、运算规则和基本定律逻辑代数的运算规则和基本定律一、基本运算规则一、基本运算规则（1-57）A+0=A A+1=1 A 0 =0 A=0 A 1=A1 AAAAA0 AAAAA AA（1-58）二、基本代数规律二、基本代数规律交换律交换律结合律结合律分配律分配律A+B=B+AA B=B AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA (B C)=(A B) CA(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)普通代普通代数不适数不适用用!（1-59）三、吸收规律三、吸收规律1.原变量的吸收：原变量的吸收：A+AB=A证明：证明：A+AB=A(1+B)=A1=A利用运算规则可以对逻辑

40、式进行化简。利用运算规则可以对逻辑式进行化简。例如：例如：CDABFEDABCDAB)(被吸收被吸收（1-60）2.反变量的吸收：反变量的吸收：BABAA证明：证明：BAABABAABAAABA)(例如：例如：DCBCADCBCAA 被吸收被吸收（1-61）3.混合变量的吸收：混合变量的吸收：CAABBCCAAB证明：证明：BCAACAABBCCAAB)(CAABBCAABCCAAB例如：例如：CAABBCCAABBCDBCCAABBCDCAAB1吸收吸收吸收吸收（1-62）4. 反演规律：反演规律：BABABABAABAB0001111010110110010111110000BAABBA可

41、以用列真值表的方法证明：可以用列真值表的方法证明：（1-63） 1 1、代入定理、代入定理 在任何一个包含变量在任何一个包含变量A A的逻辑等式中，若以另的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有外一个逻辑式代入式中所有A A的位置，则等式的位置，则等式仍然成立。仍然成立。1.4 逻辑代数基本定理逻辑代数基本定理例如：例如：BABADCBADCBA则则由此反演律能推广到由此反演律能推广到n n个变量：个变量：n 21n 21n 21n 21AAAAAAAAAA A A（1-64） 2 2、反演定理、反演定理 对于任意一个逻辑式对于任意一个逻辑式Y Y，若将其中的，若将其中的“ ”“ ”换成换

42、成“+”+”， “ “+”+”换成换成“ ”“ ”，原变量换，原变量换成反变量，反变量换成原变量，成反变量，反变量换成原变量，“1”1”换成换成“0”0”， “ “0”0”换成换成“1”1”，则得到的结果，则得到的结果就是就是例如：例如：YCDCBAY)()(DCCBAY基本定理基本定理（1-65）基本定理基本定理注：注： 保持原函数的运算次序保持原函数的运算次序-先与后或，必要时先与后或，必要时适当地加入括号。适当地加入括号。 不属于单个变量上的非号要保留。不属于单个变量上的非号要保留。F(AF(A，B B，C)C)CBAB )C A(BA )CBA(BCA)BA(F)CBA(B)CA()B

43、A(F例如：例如：或者：或者：（1-66） 3 3、对偶定理、对偶定理 若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。定义：对于任意一个逻辑式定义：对于任意一个逻辑式Y Y，若将其中的，若将其中的“ ”“ ”换成换成“+”+”， “ “+”+”换成换成“ ”“ ”， “ “1”1”换成换成“0”0”， “ “0”0”换成换成“1”1”，则得到的结果就是，则得到的结果就是Y Y的对偶式的对偶式YY例如：例如：A(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)基本定理基本定理（1-67）基本定理基本定理 求对偶式时求对偶式时运算顺序不变运算顺序不变，且它只，

44、且它只变变换运算符和常量换运算符和常量，其，其变量是不变变量是不变的。的。注意：注意： 函数式中有函数式中有“ ”和和“”运算符，求运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符反函数及对偶函数时，要将运算符“ ”换成换成“”， “ “”换成换成“ ”。 B1CAABF 其对偶式其对偶式)B 0() CA ()BA(F例：例：（1-68）一、逻辑函数的表示方法一、逻辑函数的表示方法四种四种表示方法表示方法Y=AB + ABY=AB + AB逻辑代数式逻辑代数式( (逻辑表示式逻辑表示式, , 逻辑函数式逻辑函数式) )1 11 1& & &11A AB BY Y 逻辑电路图逻

45、辑电路图: :卡诺图卡诺图 将逻辑函数输入变量取值的不同组合与将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。的表格。n2n n个输入变量个输入变量 种组合种组合。真值表：真值表： 1.5 逻辑函数的表示法逻辑函数的表示法（1-69）真值表：将输入、输出的所有可能真值表：将输入、输出的所有可能 状态状态一一对应地列出。一一对应地列出。ABCF01000110000000101000101111011111设设A、B、C为输入变量，为输入变量，F为输出变量。为输出变量。（1-70）真值表真值表逻辑函数的表示方法逻辑函数

46、的表示方法 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0A B C Y0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 10 10 11 01 0A YA Y一输入变一输入变量，二种量，二种组合组合二输入变二输入变量，四种量，四种组合组合三输入变三输入变量，八种量，八种组合组合（1-71）真值表真值表（四输入变量）（四输入变量）逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法A B C D Y0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 10 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1

47、1 1A B C D Y1 0 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0 11 1 0 1 11 1 1 0 11 1 1 1 1四输入变四输入变量，量，16种种组合组合（1-72） n个变量可以有个变量可以有2n个组合，个组合，一般按二进制的顺序，输出与一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有输入状态一一对应，列出所有可能的状态。可能的状态。（1-73）二、二、 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式（1-74）逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 对于一个任意的逻辑函数通常有“积之和积之和”与“和和之积之积”两种基本表达形式，且其表达形式并

48、不是唯一的，如 是“积之和积之和”的形式，又称“与与或或”表达式表达式； 而 则是“和之积和之积”的形式，又称“或或与与”表达式表达式。但一个逻辑函数的标准形式却是唯一的，逻辑函数标准形式的唯一性给用图表方法化简函数提供了方便，并且建立了逻辑函数与真值表的对应关系。CCBAABF)(CBBAF（1-75）1.1.最小项及逻辑函数的最小项及逻辑函数的 最小项之和的标准形式最小项之和的标准形式 逻辑函数的最小项逻辑函数的最小项* 1） 最小项定义最小项定义 在一个具有在一个具有n n变量的逻辑函数中，如果一个与项包含变量的逻辑函数中，如果一个与项包含了所有了所有n n个的变量，而且每个变量都是以原

49、变量或是反个的变量，而且每个变量都是以原变量或是反变量的形式作为一个因子仅出现一次，那么这样的与变量的形式作为一个因子仅出现一次，那么这样的与项就称为该逻辑函数的一个最小项。对于项就称为该逻辑函数的一个最小项。对于n n个变量的全个变量的全部最小项共有部最小项共有2 2n n个。个。（1-76） 例如，在三变量的逻辑函数例如，在三变量的逻辑函数F（A、B、C）中，它们中，它们组成的八个乘积项即组成的八个乘积项即 、 、 、 、 、 、 、 、都符合最小项的定义。、都符合最小项的定义。因此，我们把这八个与项称为三变量逻辑函数因此，我们把这八个与项称为三变量逻辑函数F（A、B、C）的最小项。除此之

50、外的最小项。除此之外 ， 还有还有 、 等与等与项，都不满足最小项的定义，所以，都不是三变量项，都不满足最小项的定义，所以，都不是三变量逻辑函数逻辑函数F（A、B、C）的最小项。的最小项。CBACBACBABCACBACBACABABCABCA（1-77） 2 2）最小项的性质）最小项的性质 列出了三变量的所有最小项的真值表。列出了三变量的所有最小项的真值表。由该表可知最小项具有下列性质：由该表可知最小项具有下列性质： （1 1）对于任意一个最小项，有且仅有一组变对于任意一个最小项，有且仅有一组变量取值使其值为量取值使其值为1，而其余各种变量取值均使，而其余各种变量取值均使它的值为它的值为0。

51、 （2 2）不同最小项，使其值为不同最小项，使其值为1的变量取值也不的变量取值也不相同。相同。 （3 3）对于变量的任意一组取值，任意两个不对于变量的任意一组取值，任意两个不同最小项的乘积均为同最小项的乘积均为0。 （4 4）对于变量的任意一组取值，全体最小项对于变量的任意一组取值，全体最小项的和恒为的和恒为1 。（1-78） 3 3）最小项编号）最小项编号 为了表达方便，人们通常用为了表达方便，人们通常用mi表示最小项，表示最小项，其下标其下标i为最小项的编号。为最小项的编号。编号的方法是编号的方法是：最小项：最小项中的原变量取中的原变量取1，反变量取，反变量取0，则最小项取值为一，则最小项

52、取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。如三变量最小项编号。如三变量最小项 对应的变量取值为对应的变量取值为100，它对应的十进制数为它对应的十进制数为4，因此，最小项，因此，最小项 的编号的编号为为m4。其余最小项的编号以此类推。其余最小项的编号以此类推。 值得注意的是，在规定值得注意的是，在规定n变量最小项的编号时，变量最小项的编号时，对变量的排列顺序是重要的。例如，把对变量的排列顺序是重要的。例如，把 记作记作m4。其中隐含了。其中隐含了A是最高位，而是最高位，而C是最低位这一排是最低位这一排列顺序。三变量全体最小项的编号如列顺序

53、。三变量全体最小项的编号如所列。所列。CBACBACBA（1-79） 表表 1.10 量所有最小项真值表量所有最小项真值表 ABCABC0001000000000101000000010001000000110001000000000001000101000001001100000001011100000001最小项编号最小项编号m0m1m2m3m4m5m6m7CBACBABCACBACBACABCBA（1-80） 4）最小项之和的标准形式）最小项之和的标准形式 由最小项的逻辑或的形式所构成的逻辑函数表由最小项的逻辑或的形式所构成的逻辑函数表达式称之为逻辑函数的达式称之为逻辑函数的最小项之和的

54、标准形式最小项之和的标准形式。如：如： BCACBACABCBAF),(=m6+m4+m3又记为：又记为：)6 , 4 , 3(m)C,B,A(F这是一个三变量逻辑函数，其变量按这是一个三变量逻辑函数，其变量按（A，B，C）排列，函数本身由排列，函数本身由3个最小项构成。上述表达式即个最小项构成。上述表达式即为逻辑函数的最小项之和的标准形式。为逻辑函数的最小项之和的标准形式。（1-81）2. 最大项及逻辑函数的最大项及逻辑函数的 最大项之积的标准形式最大项之积的标准形式 逻辑函数的最大项逻辑函数的最大项 1）最大项定义）最大项定义 在一个具有在一个具有n变量的逻辑函数中，如果一个或变量的逻辑函

55、数中，如果一个或项包含了所有项包含了所有n个的变量，而且每个变量都是个的变量，而且每个变量都是以原变量或是反变量的形式作为一个因子仅出以原变量或是反变量的形式作为一个因子仅出现一次，那么这样的或项就称为该逻辑函数的现一次，那么这样的或项就称为该逻辑函数的一个一个最大项最大项。对于。对于n个变量的全部最大项共有个变量的全部最大项共有2n个。个。（1-82）例如，在三变量的逻辑函数例如，在三变量的逻辑函数F（A、B、C）中，中，它们组成的八个和项即它们组成的八个和项即 CBACBACBACBACBACBACBACBA都符合最大项的定义。因此，我们把这八个都符合最大项的定义。因此，我们把这八个或项称

56、为三变量逻辑函数或项称为三变量逻辑函数F（A、B、C）的的最大项。除此之外，还有最大项。除此之外，还有 、最大项。最大项。 BACA等或项，都不满足最大项等或项，都不满足最大项的定义，的定义，都不是三变量逻辑函数都不是三变量逻辑函数F（A、B、C） 的的所以，所以，（1-83） 2 2）最大项的性质）最大项的性质 逻辑函数的逻辑函数的最大项最大项具有下列具有下列性质性质： （1 1）对于任意一个最大项，有且仅有一组变量取对于任意一个最大项，有且仅有一组变量取值使其值为值使其值为0，而其余各种变量取值均使它的值为，而其余各种变量取值均使它的值为1。 （2 2）不同最大项，使其值为不同最大项，使其

57、值为0的变量取值也不相的变量取值也不相同。同。 （3 3）对于变量的任意一组取值，任意两个不同最对于变量的任意一组取值，任意两个不同最大项的和均为大项的和均为1。 （4 4）对于变量的任意一组取值，全体最大项的积对于变量的任意一组取值，全体最大项的积恒为恒为0。 （1-84） 3 3）最大项编号）最大项编号 最大项编号最大项编号用用Mi表示最大项，其下标表示最大项，其下标i为最大为最大项的编号。项的编号。编号的方法是编号的方法是：最大项中的原变量：最大项中的原变量取取0，反变量取，反变量取1，则最大项取值为一组二进制，则最大项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最大项的编号。数，其对应的

58、十进制数便为该最大项的编号。 如如 三变量最大项对应的变量取值三变量最大项对应的变量取值为为011，它对应的十进制数为，它对应的十进制数为3， 因此，因此， 最大项的编号为最大项的编号为M3。其余最。其余最大项的编号以此类推大项的编号以此类推 CBACBA（1-85） 4）最大项之积的标准形式）最大项之积的标准形式 由最大项的逻辑与的形式所构成的逻辑函数表由最大项的逻辑与的形式所构成的逻辑函数表达式称之为逻辑函数的最大项之积的标准形式。达式称之为逻辑函数的最大项之积的标准形式。如：如：)()(),(CBACBACBACBAF=M1M3M4又记为：又记为：) 4 , 3 , 1 (),(MCBA

59、F是一个三变量逻辑函数，其变量按是一个三变量逻辑函数，其变量按（A，B，C）排列，函数本身由排列，函数本身由3个最大项构成。上述表达式个最大项构成。上述表达式即为逻辑函数的即为逻辑函数的最大项之积的标准形式最大项之积的标准形式。（1-86）3. 将逻辑函数展开为将逻辑函数展开为 两种标准形式的方法两种标准形式的方法 利用公式利用公式1 XX与与0 XX将函数将函数展开为两种标准形式展开为两种标准形式我们通过求解下面的例题来学习该方法的我们通过求解下面的例题来学习该方法的具体应用。具体应用。 将函数将函数)(),(CABACBAF展开为两种标准形式。展开为两种标准形式。（1-87） 解：解：（1

60、）求最小项之和的标准形式）求最小项之和的标准形式)(),(CABACBAF)(CABABCABCAABCA 将函数式变换为一般将函数式变换为一般“与与或或”表达表达式式 )()(CCABCBBA 运用公式运用公式1 XX变换为变换为最小项之和的形式最小项之和的形式CABABCCBABCA =m1+m3+m6+m7)7 , 6 , 3 , 1 (m=（1-88） （2）求最大项之积的标准形式 )(),(CABACBAF)(CABA)(CBBACCBA)()()(CBACBACBACBA)5 , 4 , 2 , 0(M0 XX= 将函数式变换为将函数式变换为 一般一般 “ “或或与与”表达表达式式运用运用=M0M2M4M5公式公式