2.4-倒格子PPT优秀课件

1、第四节第四节 倒格子倒格子 本节主要内容本节主要内容: :一、一、 概念的引入概念的引入三、三、 倒格矢与晶面倒格矢与晶面二、二、 倒格子是倒易空间的布拉维格子倒格子是倒易空间的布拉维格子四、四、 倒格子的点群对称性倒格子的点群对称性2.4 2.4 倒格子倒格子 一、概念的引入一、概念的引入 晶体结构的周期性，可以用晶体结构的周期性，可以用坐标空间坐标空间(r空间空间)的的布拉维格子布拉维格子来描述，这是前几节我们所讨论的内容，也是我们易于理解的来描述，这是前几节我们所讨论的内容，也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述。实物粒子的普遍描述。 然而，量子力学的学习使我们认识到，任何基本粒子都具有然

2、而，量子力学的学习使我们认识到，任何基本粒子都具有波粒二象性。亦即具有一定能量和动量的微观粒子，同时也是波粒二象性。亦即具有一定能量和动量的微观粒子，同时也是具有一定的波长和频率的波，具有一定的波长和频率的波，波也是物质存在的一种基本形式波也是物质存在的一种基本形式。 波矢波矢k可用来描述波的传播方向可用来描述波的传播方向.那么那么晶体结构的周期性是否晶体结构的周期性是否也可以用波矢也可以用波矢k来描述呢来描述呢？如果可以，在波矢如果可以，在波矢k空间，空间，k应满足应满足什么条件呢？什么条件呢？ 布拉维格子具有平移对称性布拉维格子具有平移对称性，因而相应的只与位置有关的物，因而相应的只与位置

3、有关的物理量，由于布拉维格点的等价性，均应是理量，由于布拉维格点的等价性，均应是布拉维格矢布拉维格矢R的周期的周期函数函数，如：，如：格点密度、质量密度、电子云密度、离子实产生的格点密度、质量密度、电子云密度、离子实产生的势场势场等都是如此。等都是如此。不失一般性，上述函数可统一写为：不失一般性，上述函数可统一写为：( )()nF rF rR布拉维格矢布拉维格矢 由于由于F(r)是布拉维格矢是布拉维格矢R的周期函数的周期函数,所以可以将其展开成所以可以将其展开成傅里叶级数：傅里叶级数：( )( )ig rgF rA g e 展开系数展开系数 1. 周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开 展开

4、系数展开系数 1( )( )ig rA gF r edr 原胞体积原胞体积 ( )()nF rF rR因为：因为：1( )()ig rnA gF rR edr 所以：所以：nrrR令令则：则：nrrRdrdr()11( )( )( )nnig r Rig Rig rA gF r edrF r eedr 则则11( )( )( )nnig Rig Rig rig rA gF r eedrF r edr e ( )A g( )( )( )10nnig Rig RA gA g eA ge( ) 01nig RA gore( )( )0ig rgF rA g e 不合要求，应舍去不合要求，应舍去1ni

5、g Re所以所以( )()nF rF rR成立成立1nig Re也就是说，一定存在某些也就是说，一定存在某些 g 使得当使得当 成立时，成立时， 由于由于g与与R存在上述对应关系存在上述对应关系,R可以描述布拉维格子，可以描述布拉维格子，自然自然g也可以描述同样的布拉维格子，且也可以描述同样的布拉维格子，且g与第一章讨论自由与第一章讨论自由电子的波函数中的波矢类似，因而，凡是波矢和布拉维格矢电子的波函数中的波矢类似，因而，凡是波矢和布拉维格矢满足满足 的波矢，一定也可以描述布拉维格子。这的波矢，一定也可以描述布拉维格子。这就是就是倒格子倒格子的由来。的由来。1nig Re2. 定义定义 对布拉

6、维格子中所有格矢对布拉维格子中所有格矢 ，满足满足nR1hniG Re或2,hnGRm(m为整数为整数)的全部的全部 端点的集合，端点的集合，构成该布拉维格子，称为正格子的构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子倒格子(reciprocal lattice)hGcos() 12;intnng Rg Rmwheremiseger 从倒格子的定义可知，由格矢从倒格子的定义可知，由格矢 的端点所描述的布拉维格的端点所描述的布拉维格子，称为子，称为正格子正格子(direct lattice)nR由由 端点的集合所描述的布拉维格子，称为端点的集合所描述的布拉维格子，称为倒格子倒格子(reciprocal l

7、attice)hG 称为称为倒格矢倒格矢hG利用利用倒格矢，倒格矢，满足满足( )()nF rF rR的傅里叶展开为的傅里叶展开为: 1()( )()hhhiGiGhrhrGA GF rA G eF r edr把把上述上述满足满足坐标空间坐标空间中中的的某物理量某物理量转变为转变为倒格倒格子子空间，且空间，且只存在波矢只存在波矢为倒格矢的分量为倒格矢的分量。二、二、 倒格子是倒易空间的布拉维格子倒格子是倒易空间的布拉维格子将将1 12233nRn an an a代入代入2,hnGRm得：得：1122332hhhnGan Gan Gam欲使上式恒成立，且考虑到欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,

8、n3为任意整数，则要求：为任意整数，则要求：1223132;2;2hhhGaGahh Ghah1,h2,h3为整数为整数对布拉维格子中所有格矢对布拉维格子中所有格矢 ，满足满足nR1hniG Re或2,hnGRm(m为整数为整数)的全部的全部 端点的集合，端点的集合，构成该布拉维格子，称为正格子的构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子倒格子(reciprocal lattice)hG 称为称为倒格矢倒格矢hG1 1223 3nGhbh bh b显然，如果令显然，如果令 h1,h2,h3为整数，为整数， 1223132;2;2hhhGaGahh Gha当当2;1,2,3;1,2,3ijijbaij

9、满足时，则下式自然成立。满足时，则下式自然成立。2ijijba由于由于 为基矢，互不共面，则由为基矢，互不共面，则由 123,a a a 可知可知 亦应该不共面，从而可以用亦应该不共面，从而可以用 描述倒格子。描述倒格子。123,b b b 1 1223 3nGhbh bh b由于由于 为为倒格矢，如果把倒格矢所倒格矢，如果把倒格矢所在的空间称为倒格子空间，或倒易空间在的空间称为倒格子空间，或倒易空间(reciprocal space),则则1 1223 3nGhbh bh b由于由于 不共面，自然可以成为不共面，自然可以成为倒易空间的基矢。倒易空间的基矢。123,b b b 和和 对比，表明

10、对比，表明 对应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格子是倒易空间对应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格子是倒易空间的布拉维格子。从而的布拉维格子。从而1 12233nRn an an a1 1223 3nGhbh bh b1 1223 3nGhbh bh b2;1,2,3;1,2,3ijijb aij且且也可作为以也可作为以 为基的某一布拉维格子的倒格子的定义。为基的某一布拉维格子的倒格子的定义。123,a a a 讨论：讨论：2;1,2,3;1,2,3ijijb aij由由可知：可知：垂直垂直,因此，因此， 23,a a1b和和23aa1b与与平行平行1123()baa所以可令：所以可令：

11、两边同时两边同时点乘点乘 1a111 123()2abaaa112322()aaa2311232 ()()aabaa原胞的体积原胞的体积 1.123231312222baabaabaa其中其中 是正格基矢，是正格基矢，321,aaa 321aaa 是固体物理学原胞体积是固体物理学原胞体积同理可得同理可得23,b b 所以所以倒格子基矢与正格子基矢的关系倒格子基矢与正格子基矢的关系为：为： 1 12 23 3nGhbhbhb123(,)h hh 为整数 与与的列阵即为的列阵即为倒格子倒格子。所联系的各点所联系的各点许多的固体书中把上述描述作为倒格子的定义许多的固体书中把上述描述作为倒格子的定义

12、2.与正格子空间的与正格子空间的平面波平面波 类似类似，可以把，可以把hiGrelig Re看成看成倒空间的平面波倒空间的平面波， 是倒空间的任一矢量是倒空间的任一矢量g()hllhlli g GRig RiGRig Reeee所以，在所以，在倒空间中，矢量倒空间中，矢量 与与 代表相同的波或代表相同的波或相同的状态。相同的状态。 ghgG注：注：a. 晶格振动形成的晶格振动形成的格波格波，x射线被晶体衍射的射线被晶体衍射的电磁波电磁波以以及电子在晶体中运动的及电子在晶体中运动的几率波几率波等，它们的状态均用等，它们的状态均用波矢波矢来表征，来表征，其波矢取值应限制在倒格子空间中的一个原胞其波

13、矢取值应限制在倒格子空间中的一个原胞内内，一般限制在，一般限制在简约布里渊区简约布里渊区中中(单值性的要求单值性的要求)b.倒格子空间中的倒格子空间中的WS原胞原胞称为称为第一布里渊区第一布里渊区，也就，也就是所谓的是所谓的简约布里渊区简约布里渊区3.由正格子可以定义倒格子，反之亦可，因此，它们互为由正格子可以定义倒格子，反之亦可，因此，它们互为倒易格子。倒易格子。 三、三、 倒格矢与晶面倒格矢与晶面 ( (倒格子与正格子的几倒格子与正格子的几何关系何关系) ) 1. 体积关系体积关系除除 因子外，因子外，正格子原胞体积正格子原胞体积 和和倒格子原胞体积倒格子原胞体积 互为倒数互为倒数3(2

14、)*123 bb b *32 (其中其中 和和 *分别为正、倒格原胞体积分别为正、倒格原胞体积) 32331122a aa aa a 311231213112a aa aa aa aa aa a CBABCACBA 利用利用 1a=0332233*1(222)aaa 2.倒格矢与晶面倒格矢与晶面 1 12 23 3nGhbhbhb 倒格矢倒格矢 和和正格子中正格子中晶面族晶面族(h1h2h3)正交正交 1232hh h hGd且其且其倒格矢倒格矢长度为长度为其中其中 是正格子是正格子晶面族晶面族(h1h2h3)的面间距的面间距1 2 3h h hd首先我们证明首先我们证明1 12 23 3nG

15、hbhbhb 倒格矢倒格矢 和和正格子中正格子中晶面族晶面族(h1h2h3)正交正交 设平面设平面ABC为为晶面族晶面族(h1h2h3)中中离原点最近的晶面离原点最近的晶面， ABC在基矢在基矢 上的上的 截距分别为截距分别为 。123,a a a 312123,aaahhh由图可知：由图可知：3113CAOA OChhaa 3223CB OB OChhaa hGCA 121 1223 312()220aahbh bh bhhBCO2a1aAhG3ahGCB 321 1223 323()220aahbh bh bhh所以所以倒格矢倒格矢 与晶面族与晶面族(h1h2h3)正交。正交。1 12 2

16、3 3nGhbhbhb 1 2 331212311111122hhhhhhh hhaaannnhhhGaGahhGh GGdGh1232hh h hGd接着我们再证明倒格矢接着我们再证明倒格矢长度为长度为由于由于倒格矢倒格矢 与晶面族与晶面族(h1h2h3)正交。正交。1 12 23 3nGhbhbhb因而，晶面族因而，晶面族(h1h2h3)的的法线方向法线方向为为nGBCO2a1aAhG3a则则法线方向的单位矢量法线方向的单位矢量为：为：nnGnG因而，面间距因而，面间距1 2 32hh hhdG 这个关系很重要，后面分析这个关系很重要，后面分析XRD时要用时要用 表明，对任一倒格矢表明，对

17、任一倒格矢 以其在倒易空间的坐标数以其在倒易空间的坐标数(h1，h2，h3)表征的正格子空间中表征的正格子空间中的晶面族的晶面族(h1h2h3)，一定以一定以 为法线方向，且面间距为为法线方向，且面间距为 1 12 23 3nGhbhbhbnG2hG3b1b2b1a2a3a3.倒格基矢的方向和长度倒格基矢的方向和长度12323131222;2baabaabaa231122aabd222bd332bd一个倒格一个倒格子子基矢是和正格子原胞中一组晶面相对应的，它基矢是和正格子原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面

18、族面间距倒数的数的2 倍倍。3b1b2b1a2a3a设：设：1d23aa是是所在晶面族的面间距；所在晶面族的面间距；31aa2d是是所在晶面族的面间距；所在晶面族的面间距；12aa3d是是所在晶面族的面间距。所在晶面族的面间距。则有：则有：晶体结构晶体结构 正格子正格子 倒格子倒格子2.与晶体中与晶体中原子位置原子位置 相对应相对应；2.与晶体中与晶体中一族晶面相一族晶面相对应对应；3.是与真实空间相联系的是与真实空间相联系的倒格子空间中点的周期性倒格子空间中点的周期性排列；排列；3.是真实空间中点的周是真实空间中点的周期性排列；期性排列；4.线度量纲为线度量纲为长度长度4.线度量纲为线度量纲

19、为长度长度-11 12 23 31.nRnanana1 122331.nGhbh bh b已知晶体结构如何求其倒格子呢？已知晶体结构如何求其倒格子呢？晶体晶体结构结构正格正格子子正格子正格子基矢基矢倒格子倒格子基矢基矢倒格倒格子子123231312222baabaabaa2 ()20 ()ijijijb aij1 12233nGhbh bh b123,a a a 123, ,b b b aaaa1aai2aaj12aaiaaj例例1 1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。2 ()20 ()ijijijb aij111220abab

20、212202abab1222biabjaa2a21 122hGhbh b倒格子是边长为的正方形格子。倒格子是边长为的正方形格子。a212aaiaaj2 ()20 ()ijijijb aij例例2 2：证明体心立方的倒格证明体心立方的倒格子子是面心立方是面心立方。解：解： 体心立方的原胞基矢：体心立方的原胞基矢：123222aaijkaaijkaaijk312312aaaa 23222222ijkaaaaaaaa222222222222aaaaaaijkaaaaaa2222aajk123231312222baabaabaa倒格矢：倒格矢：同理得：同理得：体心立方的倒格子是边长为体心立方的倒格子是

21、边长为4 4 / /a的的面心立方面心立方 。23aa2222aajk312312aaaa 212322223abaajkjkaa232bija22bika32bija22bika12bjka与与p25fcc比较可知比较可知 例例3 3：证明简立方晶面：证明简立方晶面( (h1 1h2 2h3 3) )的面间距为的面间距为232221321hhhadhhh 证明：证明：1 2 32hh h hGd由由得：得：1 2 32h h hhdG 简立方：简立方：123,aai aaj aak12322baaia法一：法一：23122baaja31222baaka12 bia22 bja32 bka23

22、2221hhha 1 2 32h h hhdG2221232hGhhha1232h ih jh ka12 bia22 bja32 bka1 12233nGhbh bh b法二：法二：设设ABC为为晶面族晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，中离原点最近的晶面，ABC在基矢在基矢 上的截距分别为上的截距分别为 ，123,a a a 332211,hahaha则则112233andhandhandh111222333cos,cos,cos,aanh daanh daanh d对于立方晶系：对于立方晶系：aaaa 321321aaa 且：且：222123cos,cos,cos,1a na na n 22223122221hhhdaaa232221321hhhadhhh 111222333cos,cos,cos,aanh daanh daanh d111222333cos,cos,cos,h danah danah dana四、四、 倒格子