GCT数学需要熟记的公式

1、数学需要熟记的公式第一章算术【备考要点】算术部分重点考查的是数的概念和性质，四则运算及运用， 比和比例。这部分看似简单，但往往有考生在简单题目上出错，所以在解题过程中要比其它题目更加细心。【解题技巧】(一)必知公式1. 数的概念与性质自然数：0, 1，2,整数：，2， 1, 0,1 , 2,分数：将单位“ 1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，通常用“”来表示。数的整除：当整数 a除以非零整数b,商正好是整数而无余数时，则成a能被b整除或b能整除a。倍数，约数：当 a能被b整除时，称a是b的倍数，b是a的约数。素数：只有1和

2、它本身两个约数的数。合数：除了 1和它本身还有其它约数的数；互质数：公约数只有 1的两个数称为互质数。2. 数的四则运算数的加、减、乘、除法运算定律：加法交换律a b = b a加法结合律a b c彳a b c = a( b ) c乘法交换律a b = b a乘法结合律abcab c=a( b) c乘法分配律a (b c) = a b a c运算性质：交换性质a b-c二a-c ba-b-c二a-c-ba b/c 二a/c b a/ b/ c a/ c/ b结合性质a b - c = a ( b -)c 二 a(- c ) ba_b_c 二 a_(b c)a b/c=a (b/c)(c = 0

3、)a/b c =a/(b/c)(b = 0,c = 0)a/b/c=a/(b c)(b = 0,c = 0)比和比例a比的定义：两个数相除，又称为这两个数的比，即a：b二-b ；比的性质：比的前项与后项同乘（除）以同一个非零的数，其比值不变。a c比例的定义：两个比相等时，称为比例，用字母表示为a:b=c:d或：一b d a c比例的性质：b d ad = be （外项积=内项积）d c a b 或（互换外项或内项）b a c d金 a b c d （合比定理）b da - b c _ d （分比疋理）b d 二乞卫（合分比定理）a -b c -d第二章初等代数这部分主要考查代数等式和不等式的

4、变换和计算。包括：实数和复数；乘方和开方； 代数式的运算和因式分解；方程和不等式的解法；数学归纳法，数列；二项式定理，排列， 组合和概率及统计的基本知识等。第一节数和代数式【备考要点】数与代数式部分主要考察实数和复数的概念和简单的性质，以及它们的四则运算与运 用，来培养数学的运算能力。根据数的概念、公式、原理、法则，进行数、式、方程的正确 运算和变形；通过已知条件分析，寻求与设计合理、简捷的运算途径。【解题技巧】（一）必知公式1. 实数的运算（1）乘方与开方（乘积与分式的方根、根式的乘方与化简）aXxy. xy a .x-yx x xxy. xya a a y, y = a 刁,（ab） =

5、a b , （a ） a y.a（2）绝对值的性质a,a 0a=«O,a=O , a+b 兰 |a + b , - a 兰a 兰 a.a,a £02. 复数（1）基本概念：虚数单位是i2 =-1 ；对复数z = a+bi的模长是z = Ja2 +b2，幅角tan。=b ,其中:0,2；它的实部是a，虚部是b。它的共轭复数是 a-bi。(2) 基本形式代数形式：z=a+bi，三角形式：z=z(co殳+isina)，指数形式：z= zeiCf(3) 复数的运算及其几何意义加法：za<nb!i, z2=a2+b2i ,乙 + z2 =(印+a2)+i(b+b2)数乘：z =

6、 a+bi，人z=入 a*bi乘法：乙=z1 (cos + is in %), z2 = z2 (co倂2 + isi na2),ZZ2 =乙忆2 (cos街 +口2) +i si ng +a2)，除法： 勺=jz.(cos&1-0(2)+i si一0(2)z2囤3. 代数式(单项式、多项式)(1) 几个常用公式(和与差的平方，和与差的立方，平方差，立方和，立方差等)(2) 简单代数式的因式分解(3) 多项式的除法第二节集合、映射和函数【备考要点】集合、映射和函数主要考察集合的概念， 集合的子交并补的性质；函数的概念，及函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的判断和应用；幕函数、指数函数

7、、对数函数的初等 性质。以此来培养 数学的逻辑推理能力：对数学问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；能用演绎、归纳和类比进行推理。【解题技巧】(一)必知公式1 集合(1) 概念空集门；集合的表示法：A=x|0 ： X ： ：;几个常用的集合：N , Z Q, R, C。(2 )包含关系子集A B= x A= x B ；真子集；两个集合相等的条件A B且B A;子集的个数的计算。(3) 运算交集、并集、补集、全集、运算律、摩根律：A B , A B , A(CI(A),A B C=A (B C) , A (B C) =(A B) (A C),函数(1)概念函数的两个要素是： 定义域和对应法

8、则。 反函数的概念y=f'(x),若(a,b)在原函数 的图像上，贝U (b, a)在它的反函数图像上。(2) 简单性质函数的四个性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性的定义和判断的方法。有界性：f(x) eM ； 奇偶性：奇函数：f(x) = f(x),偶函数：f(x)= f (x)；周期性：f (x f (x T)。 一个关于周期函数的重要的变换：g(x) = f (ax + b) = f (ax + b +T) = f (a(x+£) + b) = g(x + £)(4) 幕函数、指数函数、对数函数的定义、性质、图像和常用公式。y=xa, y=ax, yloga

9、X, y=lgx, y = l nx , In xy = l nx Iny ,In x = lnx-lny , Inxy =ylnx, loga x = logb x ylogb a第三节代数方程和简单的超越方程【备考要点】代数方程和简单的超越方程主要考察方程的求解，函数性质在方程中的应用。来培养 数学的综合解决问题的能力：理解和分析用数学语言所表述的问题，列出方程；综合应用数学的知识和思想方法解出方程。【解题技巧】(一)必知公式1. 一元一次方程、二元一次方程一元一次方程的形式是ax B0,其中a = 0，它的根为x二-Pa工qx Qy = g二元一次方程组的形式是1，如果aib-a2bi

10、= 0，则方程组有唯一解a2x dy = c2(x, y).2. 一元二次方程2一元二次方程的形式是 ax bx 0(1)判别式：厶=b2-4ac2b 二 b -4acbc(3) 根与系数的关系：x1 X2, X1X2 :aa(4) 二次函数的图像2 i/ b 亡 4ac-b2y =ax bx c =a(x )2a 4abz b 4acb2、以x为对称轴，(，)为顶点的抛物线。2a2a 4a3. 简单的指数方程和对数方程例如：2x2 1 =53x 4,lg(2x2x 3) =1等，像这样的方程可用换元法化为代数方程来求解。第四节 不等式【备考要点】不等式主要考察不等式的解法和不等式的应用。来培

11、养数学的计算能力和综合解决问题的能力。【解题技巧】(一)必知公式1. 不等式的基本性质及基本不等式：算术平均数与几何平均数、绝对值不等式。2. 几种常见的不等式解法绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、指数不等式、对数不等式等。(二)真题例解1. 特殊值法通过选取合适的特殊值，将正确选项找出是处理选择题的最有效方法之一。2. 求导数法这种方法在处理不等式问题时很可行，在第一章节我们也用到了这种方法。第五节数列、数学归纳法【备考要点】数列主要考察数列的概念，等差数列和等比数列的求和及应用。数学归纳法是一种重要的证明关于自然数问题的方法。以此来培养综合解决问题的能力。【解题技巧】(一)必知公式

12、1. 数列的概念n 数列的形式：ai,a2,a3,，通项为a.，前n项和为Sn=aia''a ak,kT2. 等差数列(1) 概念1定义：an 1 -an 二 d ,通项：an = a< (n -1)d ,前 n 项和：S na- 1)d(2) 简单性质：中项公式、平均值an_kan k - 2an，岂亠弓(ai an)3. 等比数列(1) 概念定义：an = 0,an 1an=q，通项:ann i1 -qn=aq ，前 n 项和：& = a 一1-q(2) 简单性质:中项公式:an _kan k2=an4. 数学归纳法证明：J kn(n 1)k A2第六节 排列

13、、组合、二项式定理和古典概率(2)排列数公式：Pnm=n(n-1)( n- 2)(n-m 1)排列、组合、二项式定理主要是为概率论来服务的，主要考察排列和组合的定义。古 典概率是现代概率的基础，主要考察等可能事件概率的计算。以此来培养理解实际问题和解决问题的能力。【解题技巧】(一)必知公式1. 加法原理如果完成一件事可以有n类办法，在第i类办法中有 mi种不同的方法(i=1,2，n)，那么完成这件事共有 N =mi m2亠亠mn种不同的方法。2. 乘法原理如果完成一件事需要分成n个步骤，做第i步有mi种不同的方法(i =1,2，,n)，那么完成这件事共有Nrgmh： mn种不同的方法。3. 排

14、列与排列数(1) 定义：从n个不同的元素中任取 m(m n)个，按照一定的顺序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的一个排列；所有这些排列的个数，称为排列数，记为Pnm。注：阶乘(全排列)莖=m!(2)排列数公式：Pnm=n(n-1)( n- 2)(n-m 1)4. 组合与组合数(1) 定义：从n个不同的元素中任取 m(m乞n)个并成一个组，称为从 n个元素中取出组合数公式:m个元素的一个组合；所有这些组合的个数，称为组合数，记为Cnm。(2)n(3)基本性质：cm 二, cji 二cm - cmJ， c2nk=05. 二项式定理n(a b)n 八 C：akbnJ<k=06. 古典概率

15、的基本概念样本空间、样本点、随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件、和事件、积事件、互不 相容事件、对立事件。7. 概率的概念与性质(1) 定义(非负性、规范性、可加性)(2)性质：0mp(A) E1, P(：)=0, P(A B) = P(A) P(B)_P(A B)7.几种特殊事件发生的概率(1) 等可能事件(古典概型)P(A)n(2) 互不相容事件P(A B)二P(A) P(B)对立事件P(A) P(B) =1(3) 相互独立事件P(A B) =P(A)P(B)(4) 独立重复试验如果在一次试验中某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k) =C

16、：pk(1 - p)n*第三章几何与三角 这部分主要考查 三角形、四边形、圆形以及多边形等平面几何图形的角度、周长、面积等 计算和运用；长方体、正方体以及圆柱体等各种规范立体图形的表面积和体积的计算和运用； 三角学；以及解析几何方面的知识等。第一节平面几何图形【备考要点】平面几何部分重点考查的是三角形、四边形、圆形以及(正)多边形等平面几何图形的角度、周长、面积等计算和运用；【解题技巧】(一)必知公式1三角形(1 )三角形内角之和123 =丁三角形外角等于不相邻的两个内角之和。(2 )三角形面积公式1 1 s uqahhqabsinC = p(p _a)(p _b)(p _ c) , 2p =

17、 a b c其中h是a边上的高，c是a,b边所夹的角，p为三角形的半周长。(3) 三角形三边关系：两边之和大于第三边，即a b c(4) 几种特殊三角形(直角、等腰、等边)勾股定理：c2 = a2 b2等腰直角三角形的三边之比：1:1: .22 四边形(1) 矩形(正方形)矩形两边长为a, b，面积为S二ab，周长I =2(a b)，对角线长= a2 b2。(2) 平行四边形(菱形)平行四边形两边长是 a, b，以b为底边的高为h，面积为S=bh，周长I =2(a，b)。(3) 梯形1 1上底为a，下底为b，高为h，中位线=? (a b)，面积为s (a b)h。3. 圆和扇形(1 )圆 圆的

18、圆心为0,半径为r，直径为d,则面积是s =：R2。(2)扇形 扇形OAB中，圆心角为 二，贝UAB弧长I = Rr1扇形面积s RI2第二节空间几何体【备考要点】空间几何体部分重点考查的是长方体、正方体以及圆柱体等各种规范立体图形的表面积和体积的计算和运用，所以记牢一些基本立方体的体积及表面积很关键。【解题技巧】(一) 必知公式1. 长方体设长方体的3条相邻的棱边长是 a,b,c.体积：V =abc全面积：f =2(ab bc ca)对角线长： a2 b2 c22. 圆柱体设圆柱体的高为h,底半径为R.体积：V FfR2h侧面积：S«= 2 Rh全面积：F =25底+2侧=2 R

19、2 Rh3正圆锥体设正圆锥体的高为 h，底半径为R.体积：V = 1 二R2h3母线：IhjRh22兀R侧面积：5侧=二RI ,其侧面展开图为一扇形，该扇形的圆心角为全面积：F二S底+5侧=二 RI .4. 球设球半径为R 体积：v=4：R33面积：S = 4二 R2第三节三角学【备考要点】 三角学部分重点考查的是三角函数的定义及，常用的三角函数恒等式， 反三角函数的定义及性质，熟练掌握特殊角的三角函数值也是很有必要的。【解题技巧】（一） 必知公式1定义（符号、特殊角的三角函数值）2.三角函数的图像和性质3 常用的三角函数恒等式Sin2口 +COS 口 =122*1 +tan m =sec a

20、1 + cot2 = csc a"sin(a + 0) =s in。cos0 +cost sin P cosg + B) =cost cos0 -sina sinE sin2 ：二 2sin ： cos cos2 ： =cos2 : -sin2 ： =1-2sin2 ： = 2cos2 : -1sin( ) = cos： , cos( ) = -sin :, sin(二：)二sin :4. 反三角函数y 二 arcsinx,y = arctanx,y=arccosx, x 0,二；yarccotx , x (0,二)5. 正弦定理和余弦定理(1 )正弦定理sinA _ sinB _

21、sinCa b c(2 )余弦定理2bc_ 2a ； cosB2ac2 2 2cosC， 72ab第四节平面解析几何【备考要点】平面解析几何部分重点考查的是平面直线方程，直线之间的位置关系及点到直线的距离，常见圆锥曲线，如椭圆，抛物线和双曲线的方程及性质。【解题技巧】（一） 必知公式-、平面直线1直线方程点斜式：y-y。身；X- Xo斜截式：y 二 y。k(x - Xo)；截距式：y = kx b ;一般式：ax by c = 02两条直线的位置关系（相交、平行、垂直、夹角）li: y =kx b ； I2: y 二 k2X bh 12ki = k?, b丄 bax0 + bx0 + c.a2

22、 b23. 点到直线的距离l: ax by 0，点（xg ,y°）到l的距离为d二、圆锥曲线 1圆：至L定点距离相等的点的集合方程：(x - Xg)2 (y - yo)2 二 R22 椭圆(i)定义：到两点距离之和为一常数的点的集合。(2)方程：2y2 =1，其中 a -b =c ,a2b2(3)离心率e = c ： 1a(4)准线：亠a2x = ±(-c,O),(c,O)为焦点;3双曲线（i）定义：至俩点距离之差为一常数的点的集合。2 2(2)方程:(-c,O),(c,O)为焦点;xy2.221, a b c , a2b2c(3)离心率：e1a(4 )渐近线：y=_bXa

23、(5)准线：X =c4. 抛物线(1) 定义：到一定点与到一定直线的距离相等的点的集合。(2) 方程：y2 =2px，焦点为 (f，0)，(3) 离心率：e=1(4) 准线：x = 卫2第四章一元函数微积分这部分主要考查极限与连续 ，导数的概念，求导法则及基本求导公式，高阶导数，微分的概念即微分中值定理与导数应用，不定积分和定积分的概念，牛顿-莱布尼兹公式，不定积分和定积分的计算，定积分的简单应用等。第一节极限与连续【备考要点】函数是数学研究中一个非常重要的对象，为了清楚地了解函数，求极限是考察函数性质的一个基本的方法。因此要求考生学习和掌握一些常见函数的基本定义，极限的求法。同时掌握函数连续

24、性的定义、熟练掌握极限的运算法则并能够求一些初等函数和数列的极限。【解题技巧】(一)必知公式1极限四则运算法则lim f (x) 一 g(x) = lim f (x) -lim g(x)。lim f (x)g(x) =lim f (x) lim g(x)2. 两个基本极限公式sin x / 第二节lim1x >0 xlim(V x)x =e 元函数微分学x >0【备考要点】这一节要求考生学习和掌握导数的基本概念和定义，求导法则及基本求导公式，高阶导数，微分。同时还需要掌握微分中值定理与导数初等应用 【解题技巧】(一)必知公式1初等函数求导公式y =cy' = 0x/ay =

25、xwio a Ay = axx/xy =ay| = axl nay = ioga xy' ge 1 y -.xxln ay = si nxy' = cosxy = cosxy'= -si nxy = tgxy'2x1y = sec x =2cos xy = ctgxy_cscx_2sin xy =secx1y' = ()' = secx tgxcosxy= cscxy' = - cscx ctgxy = arcsinxy'_一71 -x2y = arccoscy ” 2为1 - xy = arctgxy'- 1 21 +

26、x2y = arcctgxy'=y 1 + x22 导数四则运算法则(1)( “数乘”)对任意常数C , y =(Cx)丄Cx'C。(2) (“加减法”)对任意常数 A, B, y 二Au(x) Bv(x) =Au(x) Bv(x)(3) (“乘积”)y 二u(x)v(x) u(x)v(x) u(x)v(x)(4)(“除法”)u(x) v(x)u(x)v(x) -u(x)v (x)v2(x),(v(x 03复合函数的求导法则已知 f=f(u),u=u(x),则dfdxdf dudu dx4 微分的四则运算法则(1) ( “数乘”)对任意常数 C , dy = d(Cx)二 Cd

27、x。(2) (“加减法”)对任意常数 A, B, dy = dAu(x) Bv(x) = Adu(x) Bdv(x)(3) (“乘积”)dy =du(x)v(x) =du(x)v(x) u(x)dv(x)(4) (“除法”)dy = d詈少(x)v(幕(x)dv(x) ,( v(XO )5. 中值定理与导数应用:拉格郎日中值定理：f(b)-f (a) = f ( )(b-a)第三节一元函数积分学【备考要点】这一节要求考生学习和掌握不定积分和定积分的概念，牛顿-莱布尼兹公式，不定积分和定积分的计算，定积分的简单应用。【解题技巧】(一)必知公式1常用不定积分公式(i).kdx = kx C (k是

28、常数),(2).xndx 二铝 C (n - -1),(3).竽=1 n|x| C,(5) cosxdxsinx C,(7) exdx 二 ex C,2.不定积分的运算法则(1)( “数乘”)对任意常数C ,(4) 占=arctanx+C ,(6) sin xdx 二-cosx C(8) . axdx 二為 C,Cf (x)dx =C f (x)dx.。(2)(“加减法”)对任意常数 A, B , Af(x) Bg(x)dx= A f (x)dx B g(x)dx.3. 分部积分公式u(x)v (x)dx 二 u(x)v(x) - u (x)v(x)dx4. 换元积分法(i)若 f (x)二

29、g( (x) ：(X), x a,b 则jf(x)dx j g (沏)(X刊仗a s du称之为第一换元积分法(ii) “反过来”,又若(x)-0,g(u)du = .g( ：(x)(x)dx 二 f (x)dx称之为第二换元积分法.【注】对于定积分有类似于上面的公式。5. 牛顿-莱布尼茨公式如果函数F x是连续函数f(x)在区间a，b】上的一个原函数，b则a f(xdx = F(b)-F(a)6定积分的应用一平面图形的面积求函数y二f (x)和y = g(x)与两条直线x=a, x = b所围图形的面积S =bf dSLa=f【f(x)-g(x)dx【备考要点】第五章线性代数线性代数部分的考

30、点主要包括行列式，矩阵，向量，线性方程组和特征值问题五个部 分。其中行列式部分主要考查行列式的概念和性质，行列式展开定理，行列式的计算；矩 阵部分主要考查矩阵的概念，矩阵的运算，逆矩阵，矩阵的初等变换；向量部分主要考查 向量组的线性相关和线性无关，向量组的秩和矩阵的秩；线性方程组主要考查线性方程组 的克莱姆法则，线性方程组解的判别法则，齐次和非齐次线性方程组的求解；特征值问题 主要考查特征值和特征向量的概念，相似矩阵，特征值和特征向量的计算，n阶矩阵可化为对角矩阵的条件和方法。第一节行列式行列式是线性代数的一个重要工具。线性代数中很多重要的问题都可以用行列式来讨 论，例如，n阶行列式可以用来判

31、断 n元向量的线性相关性，判别矩阵是否可逆，判别系数 矩阵为方阵的线性方程组的解是否唯一，当有唯一解时还可以用克莱姆法则求线性方程组的解，还可以用来求矩阵的特征值。因此，就备考GCT考试来说，掌握行列式是至关重要的第一站。【解题技巧】【必知公式】行列式的定义： 一阶行列式定义为Bi =印1二阶行列式定义为aiia21=a“a22 - 812821在n阶行列式中，划去元素aij所在的第i行和第j列，剩余元素构成n-1阶行列式，成为元素aij的余子式，记做 Mj 。令A =（-1）（i4j） Mj，则称Aj为aij的代数余子式。n阶行列式的定义为aiiai2aina2ia22a2n=aiiAii

32、+ ai2A12 ain Ainanian2ann行列式的性质: *行列式中行列互换，其值不变ai2ai3aiia2ia3ia22a23=ai2a22a32a32a33ai3a23a33aiia2ia3i行列式中两行（列）对换，其值变号aiiai2ai3a2ia22a23a2ia22a23=aiiai2ai3a3ia32a33a3ia32a33*行列式中如果某行（列）元素有公因子，可以将公因子提到行列式外a1iai2ai3aiiai2ai3ka2ika22ka23=ka2ia22a23a3ia32a33a3ia32a33*行列式中如果有一行（列）每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行

33、列式的和aiiai2ai3aiiai2ai3aiiai2ai3a2i * b2ia22 * b22a23 * b23=a2ia22a23+S5b23a3ia32a33a3ia32a33a3ia32a33由以上四条性质，还能推出下面几条性质：*行列式中如果有两行（列）元素对应相等，则行列式的值为0行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则行列式为0行列式中如果有一行（列）元素全为0,则行列式值为 0行列式中某行（列）元素的 k倍加到另一行（列），则其值不变aiiai2ai3aiial2al3a2ia22a23=a2ia22a23a3ia32a33a3i * kaiia32 * kai2a33 *

34、 kai3n阶行列式的展开性质：ai1越2aina2ia22a2nD = A. . Ji A. an1an2ann等于它的任意一行的各元素与其对应的代数余子式的乘积和，即D = aiiAi + ai2A2 +ain Ani = 1,2, n*按列展开定理D = aij Aij + a2j A2j +* anj Anjj 1,2, n* n阶行列式D的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积和等与零，即aii Aji+ai2Aj2 ' ainAjn = 0*按列展开的性质aii Aij + a2i A2jani Anj = 0"j特殊行列式Cia22ann=印1比2an

35、n ；ainania2( n)n(n -1)=(_i) 2 ain a2( nV)ani上（下）三角行列式和上面的对角行列式的结果相同。第二节矩阵矩阵是线性代数中最重要的研究对象，熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置、求逆 和初等变换等运算是学好线性代数的重要基础。【解题技巧】【必知公式】1.矩阵的概念和运算矩阵的加法、数乘、乘法、转置、方阵的幕乘的定义及性质。*矩阵乘法定乂： （AB）q =、k Ak Bq*矩阵乘法不满足交换律和消去律。满足结合律和左（右）乘分配律。若A可逆，则AB二AC= B=C A，B是n阶方阵，则AB =Ab AB 二 BtAt2 逆矩阵*定义：对方阵 A，若存在方阵

36、B使得AB=BA=I A可逆二 A严0*公式:AJ1A|A讣 A二（AB宀B*3.伴随矩阵*T定义：A = （Aj）T基本关系式：AA*=AI *与逆矩阵的关系:*n -1*行列式：A= A4 矩阵方程设A是n阶方阵，B是n m矩阵，若a可逆，则矩阵方程 AX = B有解，其解为X 二AB.*设A是n阶方阵，B是n m矩阵，若A可逆，则矩阵方程 XA=B有解，其解为X =BA5. 矩阵的秩*在m n矩阵A中，任取k行k列，位于这k行k列交叉处的k2个元素按其原来的次序组成一个k阶行列式，称为A的一个k阶子式。*若矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所有r+ 1阶子式全为零，则称矩阵A的秩为r,记作

37、r（A）.显然有 r(A) = 0= A = 0 ,r(Am n) - m i m(i, n);r(A) _ r ：= A中有一个r阶子式不为零；r(A)乞r二A中所有r +1阶子式全为零；对于 n 阶方阵 a, r(A)二n： =|A = °对于n阶方阵A，若r(A) = n，则称A是满秩方阵。6. 矩阵的秩有以下一些常用的性质：* r(A) -r(AT), r(A) = r(kA) ,( k = 0)； r(A B)汀(A) r(B)； r(AB) < r(A), r(AB) < r(B)；* r(A) - r(B)岂n - r(AB)，其中n为矩阵a的列数；若 Am

38、nBns，则(A) r(B)乞 n。* 若 a 可逆，则 r(AB)=r(B)；若 b 可逆，则 r(AB) = r(A)。n,r(A) = n r(A*)»1,r(A) =n-1P，r(A) £ n _1第三节向量【必知公式】1. 向量组的线性组合与线性表示*设是n维向量，ki,k2,.,ks是数，则ki： i k2： 2ks： s称为向量OtjOt?，,Gs的一个线性组合。若krk 2. k s，则称可由：、，,线性表出。2. 线性相关与线性无关定义：设a 12,.as是n维向量，若存在不全为零的数k1,k2,.,ks ,使得krk 2. k s = 0,则称:-1/-

39、2,./-s线性相关，否则称为线性无关。定理：若a12,.as线性无关，而a1«2,.as , P线性相关，贝U卩可由o 1«2,.as线性表出，且表示法唯一。判断*设r,2,.s是n维向量，宀，/,线性相关二(r,，.,s) ： S：=存在某 个向量可被其余s- 1个向量线性表出。 n 个 n 维向量：l,：2,.n 线性相关二 |：1,：2,.二 n 1=0。* n+ 1个n维向量1,2,.,n 1必线性相关。*增加向量组向量的个数，不改变向量组的线性相关性；减少向量组向量的个数，不改变向量组的线性无关性。*增加向量组向量的维数，不改变向量组的线性无关性；减少向量组向量

40、的维数，不改变向量组的线性相关性。含有零向量的向量组必线性相关。含有两个相同向量的向量组必线性相关。3 向量组的秩和极大线性无关组定义：设向量组：_:%,.,-%是向量组- 1/- 2,./' s的一个部分组，满足(1) 订，,.,:飞线性无关；(2) 向量组a们0,.,0%的每一个向量都可以由向量组a h ,aL ,.,°线性表示出,则称ot2，.严是向量组«1 a2,.as的一个极大线性无关组。向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩。求法*任何矩阵都可以通过矩阵的行初等变换化作阶梯形。*求极大线性无关组的步骤:(1) 将向量依次按列写成矩阵;(

41、2 )对矩阵施行行初等变换，化作阶梯形;(3)主元所在列标对应到原向量构成一个极大线性无关组。例如 主兀所在列是第1列、第2列、第4列，因此一:，二2,二3,二4,二5的一个极大线性无关组是(12,34,5)=A (行初等变换)>10-102、012010001-200000丿4向量组的秩与矩阵的秩设a是m n矩阵，将矩阵的每个行看作行向量，矩阵m个行向量构成一个向量组，该向量组的秩称为矩阵的行秩。*将矩阵的每个列看作列向量，矩阵的n个列向量构成一个向量组，该向量组的秩称为矩阵的列秩。*矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的秩。(三秩相等)第四节线性方程组【必知公式】1 齐次线性方程组有非零解的

42、判定条件*设A M mn，齐次线性方程组 AX=O有非零解=r(A)<n ;AX=O只有零解=r(A) = 0,即系数矩阵满秩。设A是n阶方阵，齐次方程组 AX=O有非零解二 A = ° ；AX=O只有零解二A = 0.*设A Mmn，当m<n时，齐次线性方程组 AX=O必有非零解。2 齐次线性方程组解的性质若1, 2是齐次线性方程组 AX=O的解，则和 2仍是AX=O的解；若是齐次线性方程组 AX=O的解，则 的任意常数倍 k仍是AX=O的解。3. 齐次线性方程组 AX=O解的结构* AX=O的一个基础解系 1,；,t.其要点为：(1) 1, 2/' , t 都是 AX=O 的解；(2) 它们是线性无关的；(3) AX=O的任何一个解都可以由它们线性表出。因此基础解系往往不是唯一的。*若n元齐次线性方程组 AX= O的系数矩阵A的秩r(A)=r ,则基础解系中含有 n r个线性 无关的解向量。(这一点和上面的(3)等价，即t=n r)若】，2，1是齐次线性方程组 AX=O的一个基础解系，则齐次线性方程组AX=O的通解(一般解)是X = kiXi k2X2 . ktXt