Poisson泊松分布及应用

1、Poisson分布及其应用分布及其应用一、一、Possion分布的概念分布的概念 Possion分布由法国数学家分布由法国数学家S.D.Possion创立的，创立的，用以描述罕见事件发生次数的概率分布。也可视为用以描述罕见事件发生次数的概率分布。也可视为观察例数观察例数n很大，发生的概率很大，发生的概率很小时二项分布很小时二项分布B（ n,）的极限情形。）的极限情形。 以一毫升水样中大肠杆菌数为例。设某河中，以一毫升水样中大肠杆菌数为例。设某河中，平均每毫升水中有平均每毫升水中有个大肠杆菌，从该河中随机抽取个大肠杆菌，从该河中随机抽取一毫升水，将一毫升水，将1毫升水等分成毫升水等分成n个相当于

2、一个大肠杆个相当于一个大肠杆菌的微小体积，则每个体积中平均大肠杆菌数为菌的微小体积，则每个体积中平均大肠杆菌数为/ n。这里。这里n很大，每一个微小体积可能是水也可能是很大，每一个微小体积可能是水也可能是大肠杆菌，大肠杆菌数与大肠杆菌，大肠杆菌数与n之比为之比为p， p很小很小，很小很小，因此一毫升水样中大肠杆菌数是一罕见事件。因此一毫升水样中大肠杆菌数是一罕见事件。分析：分析：每个体积中只能有两种结果，每个体积中只能有两种结果，每个每个体积中出现大肠杆菌数的概率均为体积中出现大肠杆菌数的概率均为/ n 。不同不同体积上大肠杆菌出现与否相互独立。体积上大肠杆菌出现与否相互独立。 因此，在这因此

3、，在这n个体积中出现的大肠杆菌数服个体积中出现的大肠杆菌数服从二项分布从二项分布B（ n, / n ），概率函数为），概率函数为 xnxxnnnCXP 1数学上可以证明，当数学上可以证明，当 n 时，时，P（X）的极限为）的极限为!)(xeXPx !)(XeXPX 若稀有事件发生数为若稀有事件发生数为0，1，2，其相应，其相应的概率函数为的概率函数为 ，则称此变量，则称此变量服从参数为服从参数为的的Poisson分布。分布。式中，式中， X为观察单位内某稀有事件的发生数；为观察单位内某稀有事件的发生数；e为自然对数的底，为常数，约等于为自然对数的底，为常数，约等于2.71828 ，为为Pois

4、son分布的总体均数，分布的总体均数，=n 或为观察单或为观察单位内的平均发生数。位内的平均发生数。Poisson分布的应用条件分布的应用条件1 必须符合二项分布的三个条件。必须符合二项分布的三个条件。2 要求要求或或1-接近接近0或或1（例如（例如0.999）例如，上例中平均每毫升水中有例如，上例中平均每毫升水中有8个细菌，则从该河个细菌，则从该河中随机抽取中随机抽取1毫升水中的细菌数毫升水中的细菌数X服从服从=8的的Poisson分分布。布。!)(xexeXPxx88 求求1毫升水中不含细菌的概率，含毫升水中不含细菌的概率，含1个细菌的概率个细菌的概率408103543080 .!)(eP

5、318106842181 .!)(ePPoisson分布可视为观察例数分布可视为观察例数n很大，发生的很大，发生的概率概率很小时二项分布很小时二项分布B（ n,）的极限情形。）的极限情形。当当n很大时，二项分布概率的计算相当复杂，很大时，二项分布概率的计算相当复杂，利用二项分布的利用二项分布的Poisson近似这一性质，当近似这一性质，当n很大且很大且(0.01)很小时，可以用很小时，可以用Poisson分分布的概率计算近似代替二项分布的概率计布的概率计算近似代替二项分布的概率计算。算。例例4-7 如果某地新生儿先天性心脏病的发病概率如果某地新生儿先天性心脏病的发病概率为为8那么该地那么该地1

6、20名新生儿中有名新生儿中有4人患先天性心脏人患先天性心脏病的概率有多大？病的概率有多大？分析：新生儿先天性心脏病的发病率分析：新生儿先天性心脏病的发病率= 8，新，新生儿人数生儿人数n=120，其中患先天性心脏病的人数服，其中患先天性心脏病的人数服从二项分布。因为从二项分布。因为8较小，较小，120较大，也可以认较大，也可以认为患先天性心脏病的人数近似地服从为患先天性心脏病的人数近似地服从Poisson分布。分布。96. 0008. 0120 n014. 0! 496. 0)4(496. 0 eXP二、二、 Poisson分布的特征分布的特征（1） Poisson分布的总体均数与总体方差相等

7、，分布的总体均数与总体方差相等，均为均为。 若从该河中随机抽取无数个若从该河中随机抽取无数个1毫升水，显然毫升水，显然1毫升水中的细菌数毫升水中的细菌数X各不相同，这些细菌数各不相同，这些细菌数X的的总体均数即总体均数即Poisson分布的参数分布的参数，而且这些细菌，而且这些细菌数数X的总体方差也等于此参数的总体方差也等于此参数。（2） Possion分布的观察结果有可加性。分布的观察结果有可加性。若从总若从总体均数为体均数为1 的的Poisson分布总体中随机抽出一份样本，分布总体中随机抽出一份样本，其中稀有事件的发生次数为其中稀有事件的发生次数为X1，再独立地从总体均数为，再独立地从总体

8、均数为2的的Poisson分布总体中随机抽出另一份样本，其中稀有分布总体中随机抽出另一份样本，其中稀有事件的发生次数为事件的发生次数为X2，则它们的合计发生数，则它们的合计发生数T=X1+X2也也服从服从Poisson分布，总体均数为分布，总体均数为1 + 2 。 上述性质推广到多个上述性质推广到多个Poisson分布的情形，例如，分布的情形，例如，上例中，平均每毫升水含有上例中，平均每毫升水含有8个细菌，从该河中独立地个细菌，从该河中独立地取水样取水样5次，每次水样中的细菌数分别为次，每次水样中的细菌数分别为Xi，均服从，均服从=8的的Poisson分布，那么把分布，那么把5份水样混合，其合

9、计菌落数也份水样混合，其合计菌落数也服从服从=40 的的Poisson分布，分布，若已知参数若已知参数的取值，则可按的取值，则可按Poisson分布的概率函分布的概率函数式计算不同数式计算不同X值时的概率，然后以值时的概率，然后以X为横轴，以取为横轴，以取值概率值概率P为纵轴，可绘制出为纵轴，可绘制出Poisson分布的图形。分布的图形。（3） Poisson分布的图形特征分布的图形特征0.000.020.040.060.080.100.120.140.160.180.200.220.240.260.280100.000.020.040.060.080.100.120.140.160.180.

10、200102 4 6 8 10 =22 4 6 8 10 12 =40.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.100.110.120.130.140.150.160.170100.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.100.110.120.130.140.150.160.170102 4 6 8 10 12 14 16 =62 4 6 8 10 12 14 16 18 =10由前面的由前面的Poisson分布图可见，当总体均分布图可见，当总体均数数较小时，为偏峰，较小时，为偏峰，越小分布愈偏，随越小分布愈偏，

11、随的增大，的增大， Poisson分布的对称性越来越好。分布的对称性越来越好。 当当20时，时， Poisson分布近似正态分布分布近似正态分布),( N利用利用Poisson分布的正态近似性，可以分布的正态近似性，可以解决不少解决不少Poisson分布的统计推断问题。分布的统计推断问题。三、三、 Possion分布的应用分布的应用（一）概率估计（一）概率估计（二）单侧累计概率计算（二）单侧累计概率计算若稀有事件发生次数的总体均数为若稀有事件发生次数的总体均数为，那么该稀有事件，那么该稀有事件发生次数至多为发生次数至多为k次的概率为次的概率为 kXXXekXP0!)( 若稀有事件发生次数的总体

12、均数为若稀有事件发生次数的总体均数为，那么该稀有事，那么该稀有事件发生次数至少为件发生次数至少为k次的概率为次的概率为 kXXXekXPkXP0!111)( 例例4-8 例例4-7中，至多有中，至多有4人患先天性心脏病的概论人患先天性心脏病的概论有多大？至少有有多大？至少有5人患先天性心脏病的概率有多大？人患先天性心脏病的概率有多大？至多有至多有4人患先天性心脏病的概率为人患先天性心脏病的概率为997. 0! 496. 0! 396. 0! 296. 0! 196. 0! 096. 0!96. 0)()4(496. 0396. 0296. 0196. 0096. 04096. 040 eeee

13、eXeXPXPXXX至少有至少有5人患先天性心脏病的概率为人患先天性心脏病的概率为 003. 0997. 0141)5( XPXP例例4-9 实验显示某实验显示某100cm2的培养皿中平均菌落数为的培养皿中平均菌落数为6个，试估计该培养皿中菌落数小于个，试估计该培养皿中菌落数小于3个的概率，大个的概率，大于于1个的概率。个的概率。分析：分析：因培养皿中菌落数服从因培养皿中菌落数服从Poisson分布，因此分布，因此可用可用Poisson分布的概率函数来计算分布的概率函数来计算该培养皿中菌落数小于该培养皿中菌落数小于3个的概率个的概率 062. 0! 26! 16! 06! 0632026160

14、60620 XXeeeeXPXP该培养皿中菌落数大于该培养皿中菌落数大于1个的概率个的概率 983. 0! 16! 06110111606 eeXPXPXP三、三、 Poisson分布的正态近似法分布的正态近似法 当当20时，依据时，依据Poisson分布近似正态分布的原理，分布近似正态分布的原理，可以对其总体均数进行推断。可以对其总体均数进行推断。（一）一组样本资料的（一）一组样本资料的Z检验检验 0100: : HH00 XZ为为Poisson分布的总体均数，分布的总体均数，0为已知的一个定值。为已知的一个定值。例例6-10 某地十年前计划到某地十年前计划到2000年把孕产妇死亡率年把孕产

15、妇死亡率降到降到25/10万以下，万以下，2000年监测资料显示，该地区年监测资料显示，该地区平均而言，每平均而言，每10万例活产儿孕产妇死亡万例活产儿孕产妇死亡31人，问该人，问该地区降低孕产妇死亡的目标是否达到？地区降低孕产妇死亡的目标是否达到？了了预预定定目目标标。，可可以以认认为为该该地地区区达达到到不不拒拒绝绝值值，做做推推断断结结论论确确定定计计算算检检验验统统计计量量：，：准准建建立立假假设设，确确定定检检验验水水005. 010H 0.05,P . 32 . 12525-31Z2.0.05 25H 25 1 ZZPH （二）两组独立样本资料的（二）两组独立样本资料的Z检验检验应

16、用条件：两总体均数均大于应用条件：两总体均数均大于202121XXXXZ 当两样本观测单位数相等时，计算检验当两样本观测单位数相等时，计算检验统计量为统计量为假设为假设为211210:,: HH当两样本观测单位数不相等时，计算检验统当两样本观测单位数不相等时，计算检验统计量为计量为221121nXnXXXZ 例例6-11 甲、乙两检验师分别观察甲、乙两检验师分别观察15名正常人末梢名正常人末梢血嗜碱性白细胞数量，每张血片均观察血嗜碱性白细胞数量，每张血片均观察200个视野，个视野，结果甲计数到嗜碱性粒细胞结果甲计数到嗜碱性粒细胞26个，乙计数到个，乙计数到29个。个。试问两位检验师检查结果是否一致？试问两位检验师检查结果是否一致？2 计算检验统计量计算检验统计量40452. 029262926 Z1 建立检验假设建立检验假设0.05 :,:211210 HH3 确定确定P值和做推断值和做推断0.05P 05. 0 ZZ按按=0。05水准，尚不能拒绝水准，尚不能拒绝H0，尚不能认，尚不能认为两检验师检查结果有差异。为两检验师检查结果有差异。例例6-12 某车间改革生产工艺前，测得三次粉尘浓度，某车间改革生产工艺前，测得三次粉尘浓度，每升空气中分别有每升空气中分别有38、29、36颗粉尘；改进工艺后，颗粉尘；改进工艺后，测取两次，