27173概率论与数理统计课后答案第7章答案

1、习题711. 设总体X服从指数分布x > 0,入 > 0;x V 0试求入的极大似然估计若某电子元件的使用寿命服从该指数分布，现随机抽取16,1%50,68,100,130,140,340,410,450,520,620,190,210,求入的估计值. 解：n18个电子元件，测得寿命数据如下（单位:小时）:似然函数为L（入）=n=入-入理=曲1=1270,280,800,1100.lnL(A) = nlnA 一 入Xj11d lnL(A)d入i=ln 12匸1绚 X 拾(16+19+,，1100)13182.设总体X的概率密度为Ox0-1, 0<x< 1;0,其他.试求

2、0的矩估计无；（2）0的极大似然估计§2.解：（1）f(x)=E(X) =+ oorlrlxf(x)dx = I x 0x0-1dx = I 0xGdx =-oo丿0丿0E(X) = x =0的矩估计& =丄丄X似然函数为 L(0) = n Ox?-1 = 0n(x1x2,-xn)G-11=1d lnL(0) nde - = 0T=i解得lnL(0) = nln6 + (8 1)1皿丄 + lnx2, - lnxn=n=nln0 4- (6 1)lnxj令3. 设总体X服从参数为入(入> 0)的泊松分布，试求入的矩估计名和极大似然估计 烏(可参考例7-8)解:由X服从参

3、数为入的泊松分布a E(X) = A由矩法，应有疋=入A：入 1 = X似然函数为L(入)1=1 1d lnL(A)d入'人lnL(A)=(xj In解得入的极大似然估计为i=l入-n入-ln(x1!x2! -xn!)习题721. 证明样本均值乂是总体均值H的相合估计.证：a2v E(x) = p, D(x) => 0(n -> 8)n由定理7-1知乂是i的相合估计.2. 证明样本的k阶矩Ak =是总体k阶矩E(xk)的相合估计量.证:/ n / n n E(AQ = E 扭 Xjk ) = E(xk), D(Ak) = D匹 xf =D(x$)t 0(n t 0)n：Ak

4、 = f是E(xk)的相合估计.3 设总体XN(», 1),-8 V” V OO, (xn x2,x3)为其样品.试证下述三个估计最P1 =钗1+存2+孰；(2) p2 =扌X】+ 扌X2 + 存3；(3) p3 =扌X1 + 钗2+孰都是卩的无偏估计，并求出每一估计最的方差，问哪个方差最小？ 证：/ 、13/ 、1 , 、131E(Pi)=护伽)+迈£仗2)+ 尹仗3)= 尹 +迈|1 + 尹 =x-、11 / 、5 , 、115E(p2)=尹伽)+ E(x2) + 辽 E(X3)= -x + -I + i =E(p3)=亍 E(xjl) + -E(x2) + 2 E(X

5、3)=尹 + 尹 + 尹=|i：Pi,p2, 口3都是P的无偏估计./ 、19, 、1 , 、19119D(山)=厉 D(xJ + 而 Dg) + 40(x3) = 25 + ioO + 4 = 5o1 125112525D(p2)= 9°(X1) + 16D(X2)+ 144D(X3)=9 + 16+144 = 721111117D(4) = §D(xJ + 3D(x2) + 汕伽)= 9 + 36 + 4=18故仍的方差最小.4. 设总体X-u(e,20),其中e > 0是未知参数，又xx,x2,-xn为取白该总体的样品 ，乂为样品均值.(1)证明=扌乂是参数6的

6、无偏估计和相合估计；(2)求e的极大似然估计.(1)证：E丽 E(/) =|e® = |*|e = e33 2ta(n l)s ta(n l)s6 =亍乂是参数0的无偏估计又02 2D® = D(詞=討何諾呼二売-0(8)2 e = -x参数e的相合估计.(2) X-u(0,29)故其分布密度为3 =靑心5(e>o)(0,其他似然函数乜)=侍 (i = 12.n)I 0,其他因对所有X有0 M X M 20 (i = 1,2,n) 0 兰 maxx1/x2l-xn兰 20习题7.31. 土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.己知这批材料的抗断强 SX-N(P,

7、0.22).现从中抽取容量为6的样本测得样本观测值并算的疋=8.54, 求卩的置信度0.9的置信区间.解:a = 1 - 0.9 = 0丄 U0.05 = 1.64置信度为0.9的运信区间是_ a X Ua-=2 <n8.54 一 1.64 *0.2,8.54 + 1.64*» 8.41,8.672. 设轮胎的寿命X服从正态分布，为估计某种轮胎的平均寿命，随机地抽取12只 轮胎试用，测得它们的寿命(单位:万千米)如下：4.684.854.324.854.615.025.204.604.584.724.384.7试求平均寿命的0.95的置信区间(例7-21, a未知时p的置信区间

8、)解:x= 4.7092,S2 = 0.0615.a = 1 一 0.95 = 0.05,查 t 分布表知t0.025(ll)=2.2010平均寿命U的0.95的置信区间为：2.2010 * V0.06152.2010 * V0.06151=4.7092 =, 4.7092 +V12V12=4.5516,486683两台午床生产同一种型号的滚珠，己知两午床生产的滚珠直径X,Y分别服从N（山Q）,N（畑於），其中卅,山未知（i = 1,2）.现由甲，乙两车床的产品中分别抽出25个和15个，测 得 sf = 6.38, s 孑=5.15.求两总体方差比&/砖的置信度0.90的置信区间.解:

9、此处珥=25, n2 = 15, sf = 6.38, sf = 5.15, a = 1 -0.90 = 0.1,-= 0.05於的置信度0.90的置信区间为:X17ta(n l)s ta(n l)sta(n l)s ta(n l)s=6.3816.381545 Fo.o5(24,14)' 545 ° F0.95(24,14)1= 1.24,1.24*4某工厂生产滚珠，从某1生产的产品中随机抽取9个，测得直径（单位:毫米）如 下：14.614.715.114.914.815.015.115.214.8设滚珠直径服从正态分布，若己知滚珠直径的标准差。=0.15毫米;未知标准差6

10、求直径均值卩的置信度0.95的置信区间.解：（1）乂= 14.91,a = 1 -0.95 = 0.05, Uq.025 = 1-96直径均值卩的置信度0.95的置信区间为：ta(n l)s ta(n l)sta(n l)s ta(n l)s14.91- 1.96*0.15,14.91 + 1.96*ta(n l)s ta(n l)s« 14.812,15.008(2)x = 14.91, S2 = 0.041, a = 1 一 0.95 = 0.05,5.025(8) = 2.306 置信度0.95的置信区间为：ta(n l)s ta(n l)sv v -4入f，入Tlynyni4

11、.9i_2306(i4.9i + 2.306* VOTI1V9=14.754,15.066V9ta(n l)s ta(n l)sta(n l)s ta(n l)sta(n l)s-F>X + Vn1509.5 一2.1315*710385,1509.5 +2.1315 *V1038.55. 设灯泡厂生产的一大批灯泡的寿命X服从正态分布N（p,°2）,其中儿。2未知 令随机地抽取16个灯泡进行寿命试验，测得寿命数据如下（单位:小时）：1502148014851511151415271603148015321508149014701520150514851540求该批灯泡平均寿命p

12、的置信度0.95的置信区间.解:乂 = 1509.5,S2 = 1038.5,a = 1 - 0.95 = O.O5,to.o2s(15) = 2.1315 置信度0.95的置信区间为：ta(n l)sVnta(n l)s ta(n l)sta(n l)s ta(n l)s=1492.328,1526.6726. 求上题灯泡寿命方差以的置信度0.95的置信区间.解:S2 = 1038.5, a = 1 -0.95 = 0.05,查表知Xo.o2s（15）=27.488,x 爲 75（15） = 6.262置信度0.95的置信区间为：(n l)s2 (n 一 l)s2 XaCn-D'x

13、«(n_ i) .2 1 2rl5 * 1038.5 15* 1038.527.488'6.262=566.702,2487.6247. 某厂生产一批金属材料，其抗弯强度服从正态分布.现从这批金属材料中随机抽取11个试件，测得它们的抗弯强度为（单位:公斤）：42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.143百注意这里堆求的置信 求（1）平均抗弯强度卩的置信度0.95的置信区间.一I呂叫结奧更开弐:一一（2）抗弯强度标准差。的置信度0.90的置信区间：解:（l）x = 43.4, S2 = 0.5207, a = 1 - 0.95 =

14、0.05,查表知t0.025（10） = 2.2281置信度0.95的置信区间为：ta(n l)s ta(n l)sVHta(n l)s ta(n l)sta(n l)s ta(n l)s43.4 - 2 2281 严7 43 4 * 2.2281 严7V1TV1T=42.915,43.885(2) S2 = 0.5207, a = 1 - 0.90 = 0.1,査表知Xo.os(10)=18.307,x 爲 5(1°)= 3.940亍置信度0.90的置信区间为：(n l)s2 (n l)s210 *0.5207 10* 0.520718.307 '3.940=0.284,1

15、.322故r的置信度0.90的置信区间为0.53,1.15&设两个正态总体N（山q2）,n（p2,o2）中分别取容最为10和12的样本，两样本互 相独立.经算得玄=20, y=24,X两样本的样本标准差巧=5,S2 = 6.求山- 应的置信度0.95的置信区间.解：(nx 一 l)sf + (n2 一 l)sfnx + n2 29* 25 4- 11 * 36 J 10 + 12-2=5.572ta(n l)s ta(n l)sa = 1 0.95 = 0.05,查表知to.o25（2O） = 2.086 故山-也的置信度0.95的置信区间为：Sw>x-y + ta(ni + n

16、2 - 2)=20-24-2.086* 伸2* 5.572,20- 24 + 2.086* 詁吉J10 12J10 12*5.572=一 8.975,0.9759.为了估计磷肥对农作物增产的作用，现选20块条件大致相同的土地.10块不施 磷肥，另外10块施磷肥，得亩产量（单位:公斤）如下：不施磷肥的560590560570580570600550570550施磷肥的620570650600630580570600600580设不施磷肥亩产和施磷肥亩产均服从正态分布，其方差相同.试对施磷肥半均 亩产与不施磷肥半均亩产之差作区间估计（c（ = 0.05）.解返=570疗=600小？=詈,歸=響a

17、= 0.05,査表知5.025（18） = 2.1009Sw =（n】一 l）sf + （n2 一 1）S24400-g- =22.11nx + n2 2I1 +110 +10600-570- 2.1009* 22.11,600- 570 + 2.1009 *1 +11O +10*22.11=9.23,50.7710.有两位化验员A,B独立地对某种聚合的含氮最用同样的方法分别进行10次和 11次测定，测定的方差分别为s =0.5419,s； = 0.6065.设AB两位化验员测定 值服从正态分布，其总体方差分别为處,硝.求方差比&的置信度0.9的置信 区间.解：a = 1 - 0.9

18、= 0.1,査表知Fo.O5（9,1O） = 3.02,F0.95（9,10）=1F°.o5（1O,9）13AA= 0.318故诡/於的置信度0.9的置信区间为:21s22s-n2I1-1a_20.5419/0.6065 0.5419/0.60651=3?0210.318=0.295,2.81自测题7一、填空题设总f$X-N（p,o2）x1,x2,x3是米自X的样本，则当常数a =寸时,ji =扌X】+ax2 + £x3是未知参数p的无偏估计.6解:口 = ix! + ax2 +丸3是未知参数卩的无偏估计 36则 E(R)=扌 E(xJ + aE(x2) + i E(x3)

19、=扣 + ap + 扣1a =2:、一台白动车床加匸零件长度X(单位:匣米)服从正态分布N(p,(j2)从该车床加 工的零件中随机抽取4个，测得长度分別为:12.6,13.4,12.8,13.2.试求：(1)样本方差S2;总体方差亍的置信度为95%的置信区间.(附:Uo.o25 = 1.96,u0b05 = 1.645,X0.025 =9.348,x：.975 = 0.216,xg.o25 =11.143,X 爲 75 =0.484)解:12.6 + 13.4 + 12.8 + 13.2x = 134i=i置信度0.90的置信区间为:(n - l)s2 (n - l)s29.348'0.216=0.04,1.85三、设总体XN(p,(y2),抽取样本x»X2 -xx =扌y