20132014学年第二学期期末解析版

1、一、选择题，根据题目要求，在题下选项中选出一个正确（本题共 36 分，每小题各 4 分）n 为来自 X 的样本， (n ³ 2) ；1、设总体 X N(m,s 2 ),1nn1nå xii=1s2 =å(x - x )2记 x =，。n -1 i=i1在未知方差s 2 ，检验假设 H : m = m 时，选取检验用的统计量是 A。00T = x - m0U = x - m0 t (n -1) ； N(0,1) ；A.B.ssnnT = x - m t (n -1)x - m0 t (n -1)D. T =C.；。ss n -1nAnswer: 作为统计量的一定是未

2、知量，C 就是因为 m 为未知量而不可行的。又由于方差未知，所以选择 t 分布。s 2x N(m,)nx - m0 N(0,1)sn(n - 1)s2 c (n - 1)2s 2T = x - m0 t (n - 1)snx - m0sed : T =n= x - m0 ¸ s= x - m0sss(n 1)s2nns 2(n - 1)2、设 X 为随量,且 EX = 1, DX = 0.1 ,则一定成立的是 B。A. P-1 < X < 1 ³ 0.9 ；B. P0 < X < 2 ³ 0.9 ；C. P| X + 1 |³ 0

3、.1 £ 0.9 ；Answer:此题考查的是切比雪夫不等式：D. P| X |³ 0.1 £ 0.1。)eP(| X - 1|³ 1) £ 0.1 =0.11P(| X - 1|< 1) ³ 1-0.1=0.9P(0 < X < 2) ³ 0.91100å kX =X2100 为总体 X N(1,2 ) 的一个样本,3、设,100k =1选取常数a, b ，使得Y = a X + b N (0,1) ,则选。A. a = -5, b = 5B. a = 5,b = 5；C. a = 1 , b

4、= - 1D. a = - 1 , b = 1 。；2222X N(1, 22 )1004a2aX N(a,)1004a2aX + b N (a + b,)100Answer:a + b = 04a2 =1100ìïa = -5或ì a = 5í b = 5îb = -5íïî2, Xn 为来自总体 X 的样本， (n ³ 2) ；总体均值 EX = m ，4、设1nn1nå XkB =å( XX =- X )2 ,总体方差 DX = s 2 ，记，2kn k =k =11下列表述中正

5、确的结论是。ns 2s 2B c 2 (n -1)A. X N(m,) ；nC. B2 是s 2 的无偏估计量；B.。21nå XkB2 =22- XD.；n k =1Answer:本题 A 项陷阱在于，题目并未提及：n 服从正态分布，所以并不可以说s 2s 2nX N(m,) ，但是可以说 X 的均值为 m ,方差为.nA 卷 5 页-12, Xn 服从正态分布,注意这里 B2B 项与 A 项的毛病是相同的，式子本身没错，缺少了前提条件并不是 s2 . B2 学名为 2 阶中心矩. C 项里应当是 s2 为s 2 的无偏估计量.D 项推导过程如下:= 1 ån(X - X

6、 )2B2knk=1= 1 ån2X X + X 2 )(knk=1= 1 ån2X X ) + X 2(knk=1nå Xk = 1 å(n× k=1) + X 22Xknnk=1nn2å Xk ×å Xk= 1 å Xn 2 - k=1k=1+ X 2kn2nk=1nå Xk = 1 å Xn2 - 2 ×( k=1)2 + X 2knnk=1= 1 ånX 2 - X 2knk=15、设随量 X 的概率密度为 f (x) ,分布函数为 F (x) ，且当 x

7、> 0时，f (x) > 0；当x £ 0时，f (x)=0 ； 对0 < a < 1,设 xa 是方程 F (x) = a 的解，下列表述中正确的结论是。< X £ x a = 1-a ；a = 1-a ；3< X £ xPPA.B.a2 a31-1-2P| X |£ x a = 1-a ；P| X |³ x a = 1-a 。C.D.1-1-22Answer:此题有一处陷阱，与某年原题并不相同，当 x > 0时，f (x) > 0；当x £ 0时，f (x)=0A 卷 5 页-2意味

8、着即可得到F(x)的图像只能是在 0+上的单调递增曲线,看< X £ x a = P0 < X £ x a 。：要注意 f(x)在左侧为 0，所以 Pa21-1-22那么我们根据 f(x)在左侧为 0 的规律去掉选项中的无效区域，即以下新选项：A、 P< X £ x a = P0 < X £ x a a21-1-22< X £ x a B、 P a31-3C、 P| X |£ x a = P-a = P0 < X £ x a 1-1-1-1-2222D、 P| Xa = PX ³

9、 x a È X £ -x a = PX ³ x a 1-1-1-1-2222求得去掉无效区域的选项后，我们如何求得题目要求的数据呢？P< X £ xa 如果以图像表示则是这样的：3 a31-图中浅蓝部分的面积是: 2 a ,浅蓝+深蓝部分的面积是: 1 - 1 a,所以夹在其33中的深蓝部分的面积即为: 1 - a ,那么即 P< X £ x a = 1-a a31-36、设随量( X ,Y ) 的分布函数为 F (x, y) ，对任意实数 z ，则有 PmaxX ,Y > z =。PX > z + PY > z

10、；PX > z,Y > z。F (z, z)A.；B.1- F (z, z)C.；D.Answer: PmaxX ,Y > z = 1- PminX ,Y £ z = 1- F (z, z)aex + e- x7、设随量 X 的概率密度为 f (x) =, - ¥ < x < +¥ ,（常数a > 0 ），A 卷 5 页-3则 P0 < X < ln 3 =。p112pA.；6ln 3B. ；6C.；12D.。ln 3aòò ex + e- x dxf (x)dx =0ln 30ln 3ò

11、;0aexaò=dx =d(ex )e2x + 1e2x + 103òp12 a 3|=dx = aarctan x=x2 + 111x由于lim ò f (x)dx = 1x ®¥ -¥a = 2pP0 < X < ln 3 = 168、在半径为a 的圆内,取定一直径，过此直径上任一点作垂直于此直径的弦,（常数a > 0 ），则弦长小于 2a 的概率为。2 ；22 ；2B. 2 -1；C.1 -D. a(2 -2) 。A.作图即可。属于几何概型。要求区域EX 2, EY9、设随量 X ,Y 的，下列不等式中正确的结

12、论是。1A. | E(X ) |> (EX 2) 2 ；111B. (E | X + Y |2) 2 ³ (EX 2) 2 + (EY 2) 2 ；11| E(XY ) |£ (EX 2) 2 × (EY 2) 2 。C. | Cov( X ,Y ) |³这个记住结论就好。DX ×DY；D.D 项推导过程如下:E(X + tY )2=E(X2 + 2tXY + t2Y 2 ) = E(Y 2 )t2 + 2E(XY )t + E(X2)(*)由于(X + tY )2 >0,所以 E( X + tY )2 >0,所以(*)式&g

13、t;0.又由于 E(Y 2 ) >0,所以(*)式代表的二次方程必然无解,即有D = 4E2(XY ) - 4E(Y 2 )E(X 2 ) < 0即：A 卷 5 页-4E2(XY ) < E(X2 )E(Y 2 ) ，E(XY ) < E(X2 )E(Y 2 )二、填空题（本题满分 36 分，每小题 4 分）1、设 A, B 为随机, P( A) = 0.6, P(B) = 0.8, P(B | A) = 0.85 ,则 P( A | B) =。P(B) = 1 - P(B) = 0.2P(B| A) = 1 - P(B| A) = 0.15P( AB) = P(B|

14、A)× P( A) = 0.15´ 0.4=0.06P( AB) = P(B) - P( AB) = 0.14P( A| B) = P( AB) = 0.14 = 0.70.2A发生的概率P( A) = eP(B)( 0 < e < 1),2、设在试验 E 中地重复做下去, 令 Bn =“在前n 次实验中A至少发生一次”，把试验E则lim P(Bn ) =。n®¥即可。Bn 不发生的概率会越来Answer:一旦涉及到lim P(X ) = ? 的题时，后面的不是 0 就是 1，根据经验n®¥越低，直到 0 为止。所以 Bn

15、 趋于 1.,×××, x3、设总体 X N (m ,s 2 ) ,为来自总体 X 的一组样本值， m 已知。2n00则参数s 2 的极大似然估计s2 = 。Answer:本题中与书上的不同之处在于 m0 已知。这意味着在s 2 表中不可以使用 X 来代替 m0n ( xi -m0 )2( x -m )2- åi=1n11- i 0 ;s ) = Õ2s 222s 2=L(een2psnni =1(2p )2 (s 2 )2(xi - m0 )2nnn-ln(2p ) -ln(s ) 222ln L = - å2s2i =11

16、0;¶ln L ö =n2(s )n(x - m )2 -å= 0ç÷i0è ¶(s22(s ) i =1222)øÙs 2 =1nå (xi - m0 )2n i =1n 为来自于总体 X 的样本；总体均值 EX = m ，总体方差 DX = s ，24、设n-1常数C ,使得Cå( Xi =1- X ) 为s 的无偏估计,则C =。22i +1iA 卷 5 页-5Answer:n-1n-1EC å(Xi +å) = C ×E(X- 2XX + X )2

17、22i +1i +1 iii =1i =1n-1= C × å E(Xi +1 - m + m)2 + E(Xi -m + m)2 - 2E(Xi +1 )E(Xi ) i =1= C × 2(n - 1)× m2 + å E(Xi +1 - m)2 + E(Xi - m)2 - 2(n - 1)× m2 i =1= C × 2(n - 1)×s 2n-11C =2(n - 1)f (x) = 1n, - ¥ < x < +¥ , (n = 1, 2,)量 X5、设随的概率密度为np

18、 1+ n2 x2。n则对任意e > 0 ，成立lim P| Xn |³ e =。n®¥Answer:可以看到,当 n 越大时, fn (x) 越小，而 P| Xn |³ e在图形中指的是 fn (x) 函数与 x 轴之间所夹的面积，所以 n 越大时，其值越小，趋于 06、设一袋中有n 个记 Ai = “第i 次取Answer:和m 个黑球,现在从中无放回接连抽取 N 个球,黑球”， (1 £ i £ N £ n + m )，则 P(Ai ) = 。本题需要对题目进行理解。这个问题可以参考一下抽签的问题。在我们并不知道

19、前 i 次所取得的球颜色时，我m n + m们取得某种球的概率和次数无关。这是抽签公平性的理论保障。所以 P( A ) =i7、设总体 X N(-1,42 ) ,9 为总体 X 的一个样本, X 为样本均值,则 P| X |< 1 =。Answer:(已知F(1.5) = 0.9332 )。421 -(-1)4X N (-1,4 ) , X N (-1,) ,P-1 < X < 1 = F(9= F(1.5) - F(0) = 0.9332 - 0.5000 = 0.43322) - F(0)3ì2xy,0 £ x £ 1,0 £ y

20、£ 2x8、设随量( X ,Y ) 的概率密度为 f (x, y) =í，î0,其它fY ( y) =。则Y 的边沿概率密度Answer:Y 的边沿密度应当是与 y 有，而与 x 并无，要把握这一点。所以，为了求导，在题目上是A 卷 5 页-6f (x,y) = ì2xy,0 £ x £ 1,0 £ y £ 2x 的形式，我们需要把它变成下列形式：íî0,其它ì2xy,0 £ y £ 2, y £ x £ 1f (x,y) = ï,通过

21、对 x 积分求出在0 £ y £ 2, 上 f (y) 的函数表，íïî0,其它求 fY (y) 过程如下：2Y11y3当0 £ y £ 2, fY (y) = ò2xy dx = x2y y = y -;4y22其余，0；9、某一射手向一目标射击,每次的概率都是 p(0 < p < 1) ,现连续向目标射击,为止,设的消耗量为 X ，则 EX =。直到第一次Answer:列出分布表，我们可以看到实际上这是一个级数求和的问题n-1EX = lim å kp(1 - p)k-1 可以看出 EX

22、实际上可以这么写n®¥ k =0nn(1 - p)设为x= lim åk(1 - x)xk-1 = lim å(1 - x)(xk )¢n®¥ k =1n®¥ k =1xn ) 1 - x= (1 -(0 < x < 1)¢n®¥ k =1)¢1n®¥= (1 -= (1 - x) ×(1 - x)21= 1=1 - xp EX = 1p三、（满分 8 分）接连不断地掷一颗匀称的,直到出现小于 5 的点数为止,以 X 表示最

23、后一次掷出的点数,以Y 表示掷的次数。试求：（1）求二维随量( X ,Y ) 的分布律；求( X ,Y ) 关于Y 的边沿分布律。（2） 求( X ,Y ) 关于 X 的边沿分布律；A 卷 5 页-7X123nPpp(1 - p)p(1 - p)2p(1 - p)n-1四、（满分 20 分）（此题学概率统计 A的学生做，学概率统计 B的学生不做）设随机过程 X (t) = a cos(wt + Q) , t Î (-¥,+¥) ,其中 a,w (¹ 0) 是实常数,Q 服从区间(0,2p ) 上的均匀分布,试求：（1）写出Q 的概率密度 f (q ) ；

24、（3） E X (t) X (t +t ) ；(2) E X (t) ；A 卷 5 页-8（4） lim 1X (e,t)dt ；（5） lim 1lòlòX (e,t) X (e,t +t )dt。2l-l2l-ll®+¥l®+¥四、（满分 20 分）（此题学概率统计 B的学生做；学概率统计 A的学生不做）n 为来自总体 X 的样本；总体均值 EX = m ，总体方差 DX = s 2 ，设= 1nåYX， (n = 1, 2,)记nk。nk =1试求：（1） EYn ， DYn ；（2）试证Yn 以概率收敛于m ；5）试

25、证lim E | Y - m |（3）E | Y - m |2 ；（4）E | Y + m |222= 0 。；（nnnn®¥一、单项选择题（每小题 4 分，满分 36 分）1、A ；2、B； 3、A ；4、D；5、B ；6、C；7、A ； 8、C；9、D。二、填空题（每小题 4 分，满分 36 分）A 卷 5 页-9= 1nålim P(B ) = 1s 2(x - m)21、 P( A | B) = 0.7 ； 2、。3、；ni0nn®¥i=1AN -1 A112(n -1)mn + m 。4、C =5、0；P( A ) = n+m-1 m

26、 =；6、iANn+mìy 2( y) = ïy(1 -),0 £ y £ 24；= 17、 0.4332 ；8、 fí9、 EX。Ypïî0,其它三、（满分 8 分）解 解 (1)依题意知 X 的可能取值为 1,2,3,4; Y 的可能取值为1,2,3,× × ×于是( X ,Y ) 的分布律为PX = i,Y = j = ( 2) j-1 × 1 = 1 × (1) j-1 , i = 1,2,3,4 ; j = 1,2,× × ×4 分66

27、63¥¥11111(2) PX = i = åPX = i,Y = j = å × ( )=×j -11 =, i = 1,2,3,4 ; 6 分j =1 63641-j =134PY = j = å PX = i,Y = ji =14= å1 × 1( ) j-1 = 4 ´ 1 × ( )1j -1 = 2j -11j = 1,2,× × × 。8 分( ),i =1 63633 3四、（满分 20 分）（此题学概率统计 A的学生做，学概率统计 B的学

28、生不做）ì1, 0 < q < 2pïq ) =p（1） f (解í2；4 分ïî0,其它+¥òwt + q ) f (q )dq=a cos(wt + Q（2） E X (t) = Ea cos()-¥ 1 p2òwt +q )dq = 0 ；8 分=a cos(2p0（3） E X (t) X (t + t ) = Ea cos(wt + Q) × a cos(w(t + t ) + Q)A 卷 5 页-10= Ea2 1 (cos(wt + w(t +t ) + 2Q) + coswt )2= a2E(cos(wt + w(t +t ) + 2Q) + E(coswt )2= a2coswt ；12 分2（4）时间均值 X (t) = X (e,t) = lim 1X (e,t)dtlò2l-ll®+¥12la1lòa cos(wt + Q)dt =w=limlim2l×sin(t + Q) |l-lw-ll®+¥l®+¥= 0 ，16 分= lim a sin(wl + Q) - sin(-wl + Q)2wll®+¥（5）时间相关