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1、第7讲 余数问题在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时,就产生余数,所以余数问题在小学数学中非常重要。余数有如下一些重要性质(a,b,c均为自然数):(1)余数小于除数。(2)被除数=除数×商+余数;除数=(被除数-余数)÷商;商=(被除数-余数)÷除数。(3)如果a,b除以c的余数相同,那么a与b的差能被c整除。例如,17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。(4)a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)。例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4
2、。注意:当余数之和大于除数时,所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。(5)a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23×16)除以5的余数等于3×1=3。注意:当余数之积大于除数时,所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23×19)除以5的余数等于(3×4)除以5的余数。性质(4)(5)都可以推广到多个自然数的情形。例1 5
3、122除以一个两位数得到的余数是66,求这个两位数。分析与解:由性质(2)知,除数×商=被除数-余数。5122-66=5056,5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数,得到5056=26×79。由性质(1)知,除数应大于66,再由除数是两位数,得到除数在6799之间,符合题意的5056的约数只有79,所以这个两位数是79。例2 被除数、除数、商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数。解:因为被除数=除数×商+余数=除数×33+52,被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数,所以 除数
4、215;33+52=2058-除数,所以 除数=(2058-52)÷34=59, 被除数=2058-59=1999。答:被除数是1999,除数是59。例3 甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数。解:因为 甲=乙×11+32,所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088,所以 乙=(1088-32)÷12=88, 甲=1088-乙=1000。答:甲数是1000,乙数是88。例4 有一个整数,用它去除70,110,160得到的三个余数之和是50。求这个数。分析与解:先由题目条件,求出这个数的大致范围。因为5
5、0÷3=162,所以三个余数中至少有一个大于16,推知除数大于16。由三个余数之和是50知,除数不应大于70,所以除数在1770之间。由题意知(7+110+160)-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数,得到290=2×5×29,290在1770之间的约数有29和58。因为110÷58=15250,所以58不合题意。所求整数是29。例5 求478×296×351除以17的余数。分析与解:先求出乘积再求余数,计算量较大。根据性质(5),可先分别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余数。478,296,351除以
6、17的余数分别为2,7和11,(2×7×11)÷17=91。所求余数是1。例6 甲、乙两个代表团乘车去参观,每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后,甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完,甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片,那么拍完最后一张照片后,相机里的胶卷还可拍几张照片?分析与解:甲代表团坐满若干辆车后余11人,说明甲代表团的人数(简称甲数)除以36余11;两代表团余下的人正好坐满一辆车,说明乙代表团余36-11=25(人),即乙代表团的人数(简称乙数)除以36余25;甲代表团的每
7、个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片,共要拍“甲数×乙数”张照片,因为每个胶卷拍36张,所以最后一个胶卷拍的张数,等于“甲数×乙数”除以36的余数。因为甲数除以36余11,乙数除以36余25,所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。(11×25)÷36=723,即最后一个胶卷拍了23张,还可拍36-23=13(张)。由例6看出,将实际问题转化为我们熟悉的数学问题,有助于我们思考解题。 练习71.今天是星期六,再过1000天是星期几?2.已知两个自然数a和b(ab),已知a和b除以13的余数分别是5和9,求a+b,a-b,a×b,a2-b2各自除以13的余数。3.2100除以一个两位数得到的余数是56,求这个两位数。4.被除数、除数、商与余数之和是903,已知除数是35,余数是
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