2017虹口高中三年级数学一模

1、2021年市虹口区高考数学一模试卷一、填空题16题每题4分，712题每题4分，本大题总分值54分1. 集合 A=1 , 2, 4, 6, 8 , B=x|x=2k , k A，那么 AH B=.2. 各i，那么复数z的虚部为.1 _ 13. 设函数 f x=s inx - cosx，且 fa =1,那么 sin2 a.4 .二元一次方程组门的增广矩阵是L,那么此方程组的解是.5. 数列an是首项为1,公差为2的等差数列，Sn是它前n项和，那么1讪p =j-iaII6. 角A是KBC的角，那么 冷如寺是蟲亦字的条件填 充分非必要、 必要非充分、 充要条件、 既非充分又非必要之一.7. 假设双曲线

2、X2-'=1的一个焦点到其渐近线的距离为 2 -:，那么该双曲线b的焦距等于.8 .假设正项等比数列an满足：a3+a5=4,那么a4的最大值为.9.一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是 60°勺平面所截，截面是一个椭圆，那么该椭圆的焦距等于.10.设函数f x=,那么当x <- 1时，那么ffx表达式的展开式中含x2项的系数是.11.点M20, 40，抛物线y2=2pxp>0的焦点为F,假设对于抛物线上的 任意点P, |PM|+|PF|的最小值为41,那么p的值等于.12 .当实数x, y满足x2+y2=l时,|x+2y+a|+|3- x - 2y|的取值与

3、x, y均无关,那么实数a的取围是.、选择题每题5分，总分值20分13.在空间,a表示平面，m, n表示二条直线，那么以下命题中错误的选项是假设m /m、n不平行，那么a不平行B.假设m /m、C.假设m±n不垂直，那么n不平行，那么a不垂直a不垂直D.假设m、n不垂直，那么a不平行兀、亠 、在区间0，a的取值围是14.函数 f)=sin(2x4其中a>0上单调递增，那么实数 aB.宀丄D. 2k兀兀唏,丄只与圆A.B.既与圆C.只与弦C的半径有关，又与弦AB的长度有关AB的长度有关D.是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值15. 如图，在圆C中，点A、B在圆上，那么厂r啲值

4、C的半径有关16. 定义fx=x其中x表示不小于x的最小整数为 取上整函数，例 如2.1=3，4=4 .以下关于 取上整函数性质的描述，正确的选项是 f 2x=2f x; 假设 fX1=fX2，那么 X1- X2V 1 ； 任意 X1，X2 R， fX1+X2WfX1+fX2; f(x)+f(xfy)-f(Sx).A B C D 三、解答题本大题总分值76分17在正三棱锥P- ABC中，底面等边三角形的边长为6,侧棱长为4.1求证：PA丄BC ；2求此三棱锥的全面积和体积.18如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至 A处，此时测得 其北偏东30°方向与它相距20海里的B处

5、有一外国船只，且D岛位于海监船正 东18海里处.1求此时该外国船只与D岛的距离；2观测中发现，此外国船只正以每小时 4海里的速度沿正南方航行.为了将 该船拦截在离D岛12海里的E处E在B的正南方向，不让其进入D岛12 海里的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值角度准确到 0.1 °,速 度准确到0.1海里/小时.19.二次函数 fx=ax2 - 4x+c 的值域为0， +g .1判断此函数的奇偶性，并说明理由；2判断此函数在号，+x的单调性，并用单调性的定义证明你的结论;3求出f x在1，+x上的最小值g a，并求g a的值域.2 220椭圆C：耳+宁13>b>Q

6、过点M2, 0，且右焦点为F1, 0，过F a2 b的直线I与椭圆C相交于A、B两点设点P4, 3，记PA、PB的斜率分别为ki 和 k2.1求椭圆C的方程；2如果直线I的斜率等于-1,求出ki?h的值；3探讨ki+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出 ki+k2的取21.函数 fx=2|x+2| |x+1|，无穷数列an的首项 ai=a.1如果an=fnn N，写出数列an的通项公式；2如果cb=fanin N*且n?2，要使得数列an是等差数列，求首项 a 的取值围；3如果an=f an1n N*且n>2,求出数列an的前n项和Sn.2021年市虹口区高考数学一模试卷参

7、考答案与试题解析一、填空题16题每题4分，712题每题4分，本大题总分值54分1. 集合 A=1 , 2, 4, 6, 8 , B=x|x=2k , k A，那么 AH B= 2 , 4, 8【考点】交集与其运算.【分析】先分别求出集合A和B，由此能出AHB .【解答】解：集合A=1 , 2, 4, 6, 8, B=x|x=2k , k A=2 , 4, 8, 12, 19, AH B=2 , 4, 8.故答案为：2 , 4, 8.2. 二二戈,那么复数z的虚部为 1.1 _ 1 【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】由-p72+i,得匸巧1 - D|,利用复数复数代数形式的乘法运算 化简，

8、求出z,那么答案可求.【解答】解：由-r-T-S+i,1 _ 1得. C. - ：2 - 2i+i - i2=3 - i,那么z=3+i.复数z的虚部为：1.故答案为：1.3. 设函数 f x=si nx - cosx，且 fa=1,那么 sin2 a=0 .【考点】二倍角的正弦.【分析】由可得sin a cos a =1两边平方，利用二倍角的正弦函数公式，同角三 角函数根本关系式即可得解.【解答】解：T f x=si nx-cosx，且 fa=1, I sin a cos a =1两边平方，可得：sin2 a +cosa- 2sin a cos a, =1 1 - sin2 a =1 可得：

9、sin2 a =0故答案为：0.4.二元一次方程组的增广矩阵是1 -1 f1 13;那么此方程组的解【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组.【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得.x 1【解答】解：由题意，方程组卄,故答案为5 数列an是首项为1,公差为2的等差数列，Sn是它前n项和，那么1询p 丄 n亠co旦桂寸【考点】数列的极限.【分析】求出数列的和以与通项公式，然后求解数列的极限即可.【解答】解：数列an是首项为1，公差为2的等差数列，Sn_. "(_希+n-1X2_2n- 1,_； T(2n - 1 )2:一-r故答案为:土；6角A是MBC的角，那么 衍詁

10、誌是总二字的 充分不必要 条件填充分非必要、必要非充分、 充要条件、 既非充分又非必要之一【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分必要条件的定义以与三角函数值判断即可.【解答】解：A为ABC的角，那么A 0，180°，1假设命题p： cosA_成立，那么A_60°，sinA_ .：;而命题q： sinA_号成立，又由A 0，180°，那么A_60°或120°因此由p可以推得q成立，由q推不出p，可见p是q的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.7 假设双曲线x=1的一个焦点到其渐近线的距离为 2 ：,那么该双曲线的焦距等于

11、6.【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论.【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y= - bx，即bx+y=O , 焦点坐标为Fc, 0，be那么焦点到其渐近线的距离d=b=2 .,那么 c= : 二 i 一 - “i=3,那么双曲线的焦距等于2c=6,故答案为：68 假设正项等比数列an满足：a3+a5=4，那么a4的最大值为 2.【考点】等比数列的性质.【分析】利用数列an是各项均为正数的等比数列，可得a3a5=a42，再利用根本不等式，即可求得a4的最大值.【解答】解：数列an是各项均为正数的等比数列，asa5=a42，等比

12、数列an各项均为正数，当且仅当a3=a5=2时，取等号， a3=a5=2时，a4的最大值为2.故答案是：2.9.一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是 60°勺平面所截，截面是一个 椭圆，那么该椭圆的焦距等于业1【考点】椭圆的简单性质.【分析】利用条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可.【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是 个椭圆，那么这个椭圆的短半轴为：R,长半轴为:，爲 =8， a2=b2+c2，A c=厂=2 .；，椭圆的焦距为:;故答案为：4. 10设函数fx=' ，那么当x<- 1时，那么ffx:表达

13、式_ 2k - 1) uSs - 1的展开式中含x2项的系数是 60.【考点】分段函数的应用.【分析】根据分段函数的解析式先求出ffx表达式，再根据利用二项展开式 的通项公式写出第叶1项，整理成最简形式，令x的指数为2求得r,再代入系 数求出结果【解答】解：由函数fx=K v1-2k - 1, rC - 1'当 x<- 1 时，fX= - 2x- 1， 此时 fxmin=f- 1=2 -仁1， ffx=- 2x- 16=2x+16+1心2匕当r=2时，系数为C62>22=60,故答案为：6011点M20, 40，抛物线y2=2pxp>0的焦点为F,假设对于抛物线上的任

14、意点P, |PM|+|PF|的最小值为41,那么p的值等于 42或22.【考点】抛物线的简单性质.【分析】过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D,那么|PF|=|PD,当M20, 40 位于抛物线，当M , P, D共线时，|PM|+|PF的距离最小，20+-=41,解得：p=42, 当M 20, 40位于抛物线外，由勾股定理可知： 亠 ； ' =41, p=22 或58,当p=58时，y2=116x，那么点M20, 40在抛物线，舍去，即可求得p 的值.【解答】解：由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，过P做抛物线的准线的垂线，垂足为 D，那么|PF|=|PD,当M

15、20, 40位于抛物线， |PM|+|PF|=|PM|+|PD|当M, P, D共线时，|PM|+|PF的距离最小，由最小值为41，即201=41，解得：p=42,当M 20, 40位于抛物线外，当P, M , F共线时,|PM|+|PF取最小值，即.4：_ j =41，解得：p=22 或 58,由当p=58时，y2=116x，那么点M20, 40在抛物线，舍去，故答案为：42或22.D/Mn .O1、FV1 12 .当实数x, y满足x2+y2=l时,|x+2y+a|+|3- x - 2y|的取值与x, y均无关， 那么实数a的取围是口，+g .【考点】圆方程的综合应用.【分析】根据实数x,

16、 y满足x2+y2=1，设x=cos Q y=sin 0求出x+2y的取值围, 再讨论a的取值围，求出|x+2y+a|+|3- x - 2y|的值与x, y均无关时a的取围.【解答】解：实数x，y满足x2+y2=1，可设 x=cos 0 y=sin 0那么 x+2y=cos 0 +2sin Q=sin0 +，其中 a =arctan2- . * x+2yW =，当 a> -时，|x+2y+a|+|3- x- 2y|=x+2y+a+3- x- 2y=a+3，其值与 x，y 均无关；实数a的取围是卜孔|，+灯.故答案为：i .二、选择题每题5分，总分值20分13. 在空间，a表示平面，m,

17、n表示二条直线，那么以下命题中错误的选项是 A .假设m / a, m、n不平行，那么n与a不平行B. 假设m/ a, m、n不垂直，那么n与a不垂直C. 假设m丄a m、n不平行，那么n与a不垂直D. 假设m丄a m、n不垂直，那么n与a不平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系.【分析】对于A，假设m/ am、n不平行，那么n与a可能平行、相交或n? a, 即可得出结论.【解答】解：对于A，假设m/ a, m、n不平行，那么n与a可能平行、相交或 n? a,故不正确.应选A.14. 函数己in匹汁丁在区间0，a其中a> 0上单调递增，那么实数 a的取值围是

18、A.C.B. 0<a<y|jTITJT沪仰十一D. 2k兀<必池兀p kN【考点】正弦函数的单调性.【分析】由条件利用正弦函数的单调性，可得 2aL-，求得a的围.【解答】解：函数汁丁在区间0， a其中a>0上单调递增,兀 7T兀7T那么2a -，求得 aw厂，故有 0v ar应选：B.15. 如图，在圆C中，点A、B在圆上，那么厂的值A .只与圆C的半径有关B. 既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C. 只与弦AB的长度有关D. 是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值【考点】平面向量数量积的运算.【分析】展开数量积，结合向量在向量方向上投影的概念可得 正寺I不I

19、?那么答案可求.【解答】解：如图，过圆心C作CD丄AB，垂足为D，那么-=|J,|j|?cog CAB=". 一 的值只与弦AB的长度有关.应选：C.16定义fx=x其中x表示不小于x的最小整数为 取上整函数，例 如2.1=3，4=4 以下关于 取上整函数性质的描述，正确的选项是 f 2x=2f x； 假设 fXI=fX2，那么 xi - X2V 1 ； 任意 xi，X2 R， f X1+X2Wfxi+f X2；A B C D 【考点】函数与方程的综合运用.【分析】充分理解取上整函数的定义如果选项不满足题意，只需要举例说 明即可【解答】解：对于，当x=1.4时，f2x=f2.8=3.

20、2，f 1.4=4 .所以f 2x工 2fx；错.对于，假设f fX1=f fX2.当X1为整数时，f fX1=X1，此时X2>X1 - 1，即 X1 - X2V 1 .当X1不是整数时，f f X1=X1 + 1 . X1表示不大于X1的最大整数.X2 表示比X1的整数局部大1的整数或者是和X1保持一样整数的数，此时-X1- X2 V 1.故正确.对于，当 X1， X2 Z，f f X1+X2=f f X1+f f X2，当 X1，X2?Z，f f X1+X2V fXI+fX2,故正确；对于，举例 f 1.2 +f 1.2+0.5=4f 2.4=3.故错误. 应选：C.三、解答题本大题

21、总分值76分17在正三棱锥P-ABC中，底面等边三角形的边长为6,侧棱长为4.1求证：PA丄BC ；2求此三棱锥的全面积和体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和外表积；直线 与平面垂直的性质.【分析】1取BC的中点M，连AM、BM.由ABC是等边三角形，可得AM 丄BC.再由PB=PC，得PM丄BC.利用线面垂直的判定可得 BC丄平面PAM， 进一步得到PA丄BC ；2记0是等边三角形的中心，那么 P0丄平面ABC .由求出高，可求三棱锥 的体积.求出各面的面积可得三棱锥的全面积.【解答】1证明：取BC的中点M，连AM、BM . ABC是等边三角形， AM 丄 BC.

22、又 PB=PC， PM 丄 BC . AMP PM=M， BC丄平面PAM，那么PA丄BC ；2解：记O是等边三角形的中心，那么 PO丄平面ABC . ABC是边长为6的等边三角形,二 A0-M=|-X6X-區-£=9五, W丄敬岭血叩0=6詞;I： .Vi.18.如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至 A处，此时测得 其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正 东18海里处.1求此时该外国船只与D岛的距离；2观测中发现，此外国船只正以每小时 4海里的速度沿正南方航行.为了将 该船拦截在离D岛12海里的E处E在B的正南方向，不让其进

23、入D岛12 海里的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值角度准确到 0.1 °,速 度准确到0.1海里/小时.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】1依题意，在ABD中，/ DAB=60，由余弦定理求得DB ;2法一、过点B作BH丄AD于点H，在RtMBH中，求解直角三角形可得HE、AE的值，进一步得到sin/EAH，那么/ EAH可求，求出外国船只到达 E 处的时间t,由求得速度的最小值.法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴.可 得A ,D ,B的坐标，设经过t小时外国船到达点b 1.:',结合ED=12, 得吒10, 4灵，列等式求得t ，

24、那么tanZ7 ，AH 105/EAD=arutar趕亘各41 81"，再由“A半求得速度的最小值.【解答】解：1依题意，在ABD中，/ DAB=60，由余弦定理得 DB2=AD2+AB2- 2AD?AB?cos60 =1$+202- 2X18X15>Cos60°364,. E '，即此时该外国船只与D岛的距离为I海里；2法一、过点B作BH丄AD于点H，在 RtMBH 中, AH=10， HD=AD - AH=8，以D为圆心，12为半径的圆交BH于点E,连结AE、DE,在RtADEH中，HE=JeM-HD亠4岳，二班刃0逅-皿,又AEM护廉,sin/Eah=-

25、1441.81.°，那么 Z'l-.-三二厂:.:-二外国船只到达点E的时间.一 J -''-.'.小时.海监船的速度2V>T-24l海里/小时.又 90°- 41.81 °48.2 °故海监船的航向为北偏东48.2 °速度的最小值为6.4海里/小时.法二、建立以点A为坐标原点,那么 A0, 0，D 18, 0，SC10, 10后 4t)|,AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴._ ，设经过t小时外国船到达点又ED=12,得"L - 一 . -；，此时t空二逅辺09小时.那么丄.丄y / - :_

26、10542肩ZEAD=arctan41. 81 °5监测船的航向东偏北41.81 °海监船的速度_海里/小时19.二次函数 fx=ax2- 4x+c 的值域为0, +B .1判断此函数的奇偶性，并说明理由；2|2判断此函数在二,+x的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；3求出f x在1, +2 上的最小值g a，并求g a的值域.【考点】二次函数的性质.【分析】1由二次函数fx=ax2- 4x+c的值域，推出ac=4,判断f- 1Mf1，f-1f 1，得到此函数是非奇非偶函数.2求出函数的单调递增区间.设X1、X2是满足二的任意两个数，列 出不等式，推出f X2>

27、fX1，即可判断函数是单调递增.3fx=ax2 - 4x+c，当吒亏1=1，即卩Ov a<2时，当 财专<1，即卩a>2时 求出最小值即可.【解答】解：1由二次函数f x=ax2- 4x+c的值域为0，+x，得a>0且4ac - 16叨，解得ac=4./ f 1=a+c- 4，f- 1=a+c+4，a> 0 且 c> 0，从而 f- 1Mf1，f-1f f 1,此函数是非奇非偶函数.2函数的单调递增区间是 4 , +X.设XI、X2是满足“>二的任意两个a£1 a数，从而有 窗#r 語二血八台?巧鄂.又a>0，从而-4-，：-.- -

28、二p函数在一,+X上是即且迟_飪丈匕>0彳1 4巧+彳,从而f X2>fXI,单调递增.3fx=ax2 - 4x+c，又 a>0, “，x 1, +x当 xn->l,即 0vaW2时，最小值 ga=fxo=0当KoVl,即a>2时，最小值昌G)二F二廿口- 4二且泄-m3L300<a<2综上，最小值- 4宜>21己当0v aW2时，最小值g a=0当 a>2 时，最小值 s(a)=a+- 4E +8) a综上y=g a的值域为0, +心2 220.椭圆C:笃+分1CQQQ)过点M2, 0，且右焦点为F1, 0，过Fa b的直线I与椭圆C相交

29、于A、B两点.设点P4, 3，记PA、PB的斜率分别为 ki 和 k2.1求椭圆C的方程；2如果直线I的斜率等于-1,求出ki?k2的值；3探讨ki+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出ki+k2的取值围.【分析】1利用条件求出b,即可求解椭圆方程.2直线I: y - x+1，设AB坐标，联立 .利用韦达定理以与斜率公式求解即可.3当直线AB的斜率不存在时，不妨设 A, B,求出斜率，即可；当直线 AB 的斜率存在时，设其为k，求直线AB : y=kx -1，联立直线与椭圆的方程组， 利用韦达定理以与斜率公式化简求解即可. 2 2【解答】解：1：a=2,又c=1，匚。二丽，椭圆方

30、程为=1 42直线 I: y - x+1，设 Axi， yi Bx2，y2，3-2 那么厂1，故 k1+k2=2.X；消 y 得 7x2-8x-8=0，有沖泮，k"Xi -3 y2 - 31-r£i一 一 0耳盜2梶Hl+x2+4K JA AJ A 2冗1 _ 4七_ Q工1 _ q七_ qX 1 汶2 厂勺切23当直线AB的斜率不存在时，不妨设 A 1,寺，B 1,当直线AB的斜率存在时，设其为k，那么直线AB : y=kx- 1，设AX1, y1BX2, y2，由肿以消y得4k2+3FIx2- 8k2x+ 4k2- 12=0,4k J 12Vi - 3 ¥厂 3kx 厂上7 2k X 1 K n - C51?+3) (j；. + z ?)+8 (k+3)+ b h 丄X 王二丄土J二 丄=1 2盘_4 蓋2_4疋1_4冨2_4勺乜 - 4(巧+羅J+162kk- 12 - (5M3" Tg(k43)24!?煮4“43"(kSl) £2-12 “吐2飞6他咕厂7_ 4, + 164L/